Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

32
Пример 1. Функции
x
3sin и
x
5sin являются при 0→
x
бесконечно
малыми одного порядка, так как
5
3
5sin
3sin
lim
0
=
→
x
x
x
. (См. пример 9 в п. 1.5).
Среди бесконечно малых одного порядка особое место занимают бес-
конечно малые, называемые эквивалентными.
Определение 2. Две бесконечно малые
α
и
β
называются эквива-
лентными
, если предел их отношения при a
x
→ существует и равен едини-
це, то есть если
1)/(lim
=
β
α
→ax
.
В этом случае пишут α ∼
β
.
Пример 2. Функции
x
sin и
x
являются при 0→
x
эквивалентными
бесконечно малыми, так как
1
sin
lim
0
=
→
x
x
x
.
Определение 3. Если
0)/(lim
=
β
α
→ax
(а
∞
=
α
β
→
)/(lim
ax
), то α называется
бесконечно малой
высшего порядка малости по сравнению с бесконечно
малой
β, напротив, β называется при этом бесконечно малой низшего по-
рядка
малости по сравнению с
α
.
Основное содержание этого определения состоит в том, что если поря-
док бесконечно малой
α выше порядка бесконечно малой β , то α стремится
к нулю как бы «быстрее», чем
β
.
Пример 3. При 0→
x
функция
(
)
4
5xx =α является бесконечно малой
высшего порядка по сравнению с бесконечно малой
(
)
2
xx =β , так как
05lim
5
limlim
2
0
2
4
00
===
β
α
→→→
x
x
x
xxx
.
Пример 4. При ∞→
x
функция
(
)
3
/4 xx =α будет бесконечно малой
более высокого порядка, чем бесконечно малая
(
)
xx /1
=
β
, так как
0
4
lim
/1
/4
limlim
2
3
===
β
α
∞→∞→∞→
x
x
x
xxx
.
В отдельных случаях оказывается недостаточно знать, что из двух дан-
ных бесконечно малых одна является бесконечно малой высшего порядка,
чем другая. Нужно еще оценить количественно – числом, насколько выше
или как высок этот порядок. Последнее имеет важное значение при изучении
характера изменения бесконечно малых.
Определение 4. Бесконечно малая
α
называется бесконечно малой
k-го порядка
по отношению к бесконечно малой
β
, если α и
k
β будут бес-
конечно малыми одного порядка, то есть если
0lim ≠=
β
α
→
A
k
ax
.

Страницы