ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
30
Пример 20. Найти предел
1
32
lim
2
1
−
+−
→
x
x
x
.
Решение. Имеем неопределенность вида
0
0
. Перенесем иррациональ-
ность из числителя в знаменатель и перейдем к пределу:
(
)
(
)
(
)
(
)
=
++−
+++−
=
−
+−
→→
321
3232
lim
1
32
lim
2
1
2
1
xx
xx
x
x
xx
(
)
(
)
=
++−
−−
→
321
34
lim
2
1
xx
x
x
=
()()
()
=
+++−
−
→
3211
1
lim
1
xxx
x
x
()
()
8
1
321
1
lim
1
−=
+++
−
→
xx
x
.
Замечание 8. При отыскании пределов вида
(
)
[
]
(
)
x
ax
xf
ϕ
→
lim (1.9)
в случае, когда существуют конечные пределы
(
)
xf
ax→
lim
и
()
x
ax
ϕ
→
lim
, имеет
место формула [ 6 ]:
()
[]
()
()
()
x
ax
x
ax
ax
xfxf
ϕ
→
ϕ
→
→
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
lim
limlim . (1.10)
В формуле (1.9) a может обозначать и число, и один из символов
∞,
+
∞, - ∞.
Пример 21. Найти предел
13
3
5
1
lim
+
∞→
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
x
x
x
x
.
Решение. На основании формулы (1.10)
(
)
00
1
lim
1
lim
1
5
13
3
lim
13
3
5
===
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∞→
+
+
∞→
∞→
x
x
x
x
x
x
x
x
x
.
Если в (1.9)
()
1lim =
→
xf
ax
, а
(
)
±
∞
=
ϕ
→
x
ax
lim
, то формула (1.10) неприме-
нима. В этом случае имеем неопределенность вида
∞
1. Рассмотрим общий
прием для раскрытия этой неопределенности. Функцию
()
xf представим в
виде
() ()
[]
11 −+= xfxf , а показатель степени
(
)
x
ϕ
запишем в виде
()
()
()
[]
()
xxf
xf
x ϕ−
−
=ϕ 1
1
1
.
Тогда
()
[]
()
()()
[]
()
()
[]
()
=−+=
ϕ−
−
→
ϕ
→
xxf
xf
ax
x
ax
xfxf
1
1
1
11limlim
()()
[]
()
(
)
[
]
(
)
xxf
xf
ax
ax
xf
ϕ−
−
→
→
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−+=
1lim
1
1
11lim .
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 28
- 29
- 30
- 31
- 32
- …
- следующая ›
- последняя »
