Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

29
Пример 17. Найти предел
(
)
4lim
2
−−
+∞→
xx
x
.
Решение. Имеем неопределенность вида ∞ – ∞. Решаем аналогично
примеру 4 в п. 1.4. Разделив и умножив на
4
2
−+ xx , получим
(
)
(
)
(
)
0
4
4
lim
4
44
lim4lim
22
22
2
=
−+
=
−+
−+−−
=−−
+∞→+∞→+∞→
xxxx
xxxx
xx
xxx
.
Пример 18. Найти предел
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
+
∞→
112
3
14
lim
2
2
3
x
x
x
x
x
.
Решение. Здесь имеем неопределенность вида ∞ – ∞. Произведём вы-
читание дробей
48
1
1124
48
3
1
lim
112448
3
lim
112
3
14
lim
32
23
232
2
3
=
+++
−
=
+++
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
+
∞→∞→∞→
x
x
x
x
xxx
xx
x
x
x
x
xxx
.
Замечание 6. Для того чтобы определить предел дробно-рациональной
функции
m
mmm
n
nnn
ax
bxbxbxb
axaxaxa
++++
++++
−−
−
−
→
...
...
lim
2
2
1
10
2
2
1
10
(
)
0,0
00
≠
≠
ba
в случае, когда при a
x
→ числитель и знаменатель дроби имеют пределы,
равные нулю, надо числитель и знаменатель дроби разделить на a
x
−
()
ax
≠
и перейти к пределу.
Пример 19. Найти предел
44
23
lim
23
2
1
−
+
−
−−
→
x
x
x
xx
x
.
Решение. Имеем неопределенность вида 0
/
0. Воспользуемся приемом,
изложенным в замечании 6.
3
x
2
-
x
-2
x
-1
3
x
2
-3
x
3
x
+2
2
x
-2
2
x
-2
0
x
3
-
x
2
+ 4
x
- 4
x
-1
x
3
-
x
2
x
2
+4
4
x
- 4
4
x
- 4
0
Разделив числитель и знаменатель дроби на 1
−
x
, получим
1
4
23
lim
44
23
lim
2
1
23
2
1
=
+
+
=
−
+
−
−−
→→
x
x
x
x
x
xx
xx
.
Замечание 7. Чтобы найти предел дроби, содержащей иррациональное
выражение в случае, когда предел и числителя, и знаменателя дроби равны
нулю, надо перенести иррациональность из числителя в знаменатель или на-
оборот. После чего сделать упрощения и перейти к пределу.

Страницы