Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

27
Число e – иррациональное и поэтому не может быть точно выражено
какой-нибудь конечной дробью. С точностью до 15-го десятичного знака
число e =2,718281828459045… . При практических вычислениях обычно ог-
раничиваются первыми двумя–тремя десятичными знаками этого числа. Чис-
ло e играет очень важную роль в математическом анализе.
Теорема 6. Функция
()
x
x/11+ стремится при
∞
→
x
к пределу e :
(
)
ex
x
x
=+
∞→
/11lim . (1.8)
Этот предел часто называют
вторым замечательным пределом.
Замечание 4.
Наряду с (1.8) имеют место равенства [ 6 ]:
(
)
ex
x
x
=+
−∞→
/11lim ,
(
)
ex
x
x
=+
+∞→
/11lim ,
(
)
e
a
=α+
→α
/1
0
1lim .
Последнее равенство получается из (1.8) следующим образом: сделаем заме-
ну
x
a =
/
1. При α→0, x→∞.
x
/
1=α . Тогда
(
)()
ex
x
x
a
=+=α+
∞→→α
/11lim1lim
/1
0
.
Рассмотрим примеры на вычисление предела функций, сходящихся к
числу e .
Пример 12. Найти
x
x
x
k
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
∞→
1lim
, где
k
– некоторое число, отличное от
нуля.
Решение. Сделаем замену y
k
x
= . При x→∞, y→∞.
yx
k 1
=
, k
y
x
= . Тогда
k
k
y
y
k
y
y
ky
y
x
x
e
yyyx
k
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
∞→∞→∞→∞→
1
1lim
1
1lim
1
1lim1lim .
Пример 13. Найти
x
x
kx
1
0
)1(lim +
→
, где k – число, отличное от нуля.
Решение. Сделаем замену kx=y. При x→0, y→0.
y
k
x
=
1
. Тогда
()
k
k
y
y
k
y
y
y
k
y
x
x
eyyykx =
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+=+=+
→→→→
1
0
1
00
1
0
)1(lim1lim)1(lim)1(lim .

Страницы