Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

25
Теорема 3. Пусть функции
(
)
xf
и g
(
)
x , определённые на некотором чи-
словом множестве
D, в точке
0
x , предельной для этого множества, имеют ко-
нечные пределы
0
lim
xx→
()
xf =А и
0
lim
xx→
g
(
)
x =В. Тогда функции, представляющие
собой сумму, разность, произведение и частное этих функций (последнее при
условии
В ≠ 0), имеют в точке
0
x также конечные пределы, причём
0
lim
xx→
[
()
xf ± g
(
)
x ]=А ± В;
0
lim
xx→
[
()
xf
⋅ g
(
)
x ]=А ⋅ В;
0
lim
xx→
()
xf / g
(
)
x =А / В.
Пример 6. Найти
(
)
563lim
2
1
+−
→
xx
x
.
Решение. Применяя теоремы о пределах функций, найдём
(
)
5lim6lim3lim563lim
11
2
1
2
1 →→→→
+−=+−
xxxx
xxxx
2516135lim6lim3
1
2
1
=+⋅−⋅=+−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
→
→
xx
x
x
.
Пример 7. Найти
763
12
lim
23
2
2
+
−
−
→
x
x
x
x
.
Решение. Применяя теоремы о пределе суммы и произведения функ-
ций, находим
(
)
,712lim
2
2
=−
→
x
x
(
)
.7763lim
23
2
=+−
→
xx
x
Таким образом, пределы числителя и знаменателя существуют и предел
знаменателя отличен от нуля. Теперь, пользуясь теоремой о пределе частно-
го, получаем:
763
12
lim
23
2
2
+
−
−
→
x
x
x
x
1
7
7
== .
Первый замечательный предел
Теорема 4.
Функция
x
x
sin
при 0
→
x
имеет предел, равный 1:
1
sin
lim
0
=
→
x
x
x
.
Доказательство этой теоремы приведено, например, в [ 1 ].

Страницы