Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

24
Пример 4. Функция α
(
)
x =
(
)
3
1−x есть бесконечно малая при 1→
x
,
так как
1
lim
→x
α
()
x =
1
lim
→x
()
3
1−x =0.
Пример 5. Функция β
()
x
2
/
1
x
=
есть бесконечно большая при 0→
x
и
бесконечно малая при ∞→
x
, так как
0
lim
→x
β
(
)
x
0
lim
→
=
x
∞
=
2
/
1
x
, а
∞→x
lim
β
(
)
x
0/1lim
2
==
∞→
x
x
.
Определение 13. Функция y =
(
)
xf
называется ограниченной в облас-
ти
D (в которой функция определена), если существует такое положительное
число
К, что для всех значений аргумента
x
, взятых из области D, имеет ме-
сто неравенство
(
)
xf < К. (1.6)
Если нельзя найти такое число
К, чтобы неравенство (1.6) выполнялось одно-
временно для всех значений
x
∈ D, то функция
(
)
xf называется неограни-
ченной
в этой области.
В частности, можно говорить о функциях, ограниченных на сегменте, в
интервале и т. д. Если функция ограничена в интервале
(
)
+∞∞
−
,, то говорят,
что она ограничена на всей прямой, или просто ограничена.
Так как неравенство (1.6) равносильно неравенствам -
К< y< К, то огра-
ниченность функции
()
xf в области D геометрически означает, что точки
графика функции
y =
()
xf
, соответствующие всем абсциссам
x
∈ D, лежат
между двумя прямыми:
y = -К и y =К, параллельными оси OX (рис. 8).
Рис. 8
Распространение теорем о пределах
на случай произвольных функций
Для предела функции
(
)
xf при
0
xx → остаются верными все теоремы
о пределах, сформулированные в п. 1.3. В качестве примера рассмотрим тео-
рему о пределе суммы, разности, произведения и частного. Прежде всего за-
метим, что арифметические действия над функциями можно производить
только в общей части их областей определения.

Страницы