Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

26
Рассмотренный предел часто называют
первым замечательным пре-
делом
. Он находит большое применение при отыскании пределов величин, в
выражении которых участвуют тригонометрические функции.
Пример 8. Найти
x
kx
x
sin
lim
0→
(
k
– const).
Решение. Сделаем замену: yk
x
=
. При 0→
x
0→y .
k
y
x =
, тогда
kk
y
y
k
y
yk
k
y
y
x
kx
yyyx
=⋅====
→→→→
1
sin
lim
sin
lim
sin
lim
sin
lim
0000
.
Пример 9. Найти
lx
kx
x
sin
sin
lim
0→
(
k
,
l
– const).
Решение.
l
k
x
lx
x
kx
x
lx
x
kx
lx
kx
x
x
xx
===
→
→
→→
sin
lim
sin
lim
sin
sin
lim
sin
sin
lim
0
0
00
.
Пример 10. Найти
x
kx
x
tg
lim
0→
(
k
– const).
Решение. kk
kxx
kx
kxx
kx
x
kx
xxxx
==⋅==
→→→→
0cos
1
cos
1
lim
sin
lim
cos
sin
lim
tg
lim
0000
.
Пример 11. Найти
2
0
cos1
lim
x
mx
x
−
→
( m – const).
Решение.
222
2
2
sin
lim
2
sin
lim2
2
sin2
lim
cos1
lim
2
00
2
2
0
2
0
mmm
x
mx
x
mx
x
mx
x
mx
xxxx
=⋅⋅=⋅==
−
→→→→
.
Второй замечательный предел
В математическом анализе встречается несколько важных пределов пе-
ременных величин. Одним из таких является предел переменной
n
n
n
x
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
1
1
, (1.7)
где n = 1, 2, 3, … .
Теорема 5. Переменная величина (1.7) при n→∞ имеет предел, заклю-
ченный между 2 и 3.
Определение 11. Предел переменной величины
(
)
n
n/11+
при n→∞ на-
зывается числом e :
(
)
n
n
ne /11lim +=
∞→
.

Страницы