Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 22 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

22
Геометрически определение 8 означает, что все точки графика функции
y =
()
xf , для которых
x
(
0
x δ,
0
x + δ), лежат ниже прямой y =М, где М < 0
произвольно, а δ подобрано в зависимости от М (рис. 6).
Рис. 6
Если бесконечный предел функции
(
)
xf в точке
0
x получается при
стремлении
x
к
0
x только слева
(
)
0
0
xx или только справа
()
0
0
+
xx ,
то в этом случае имеем дело с
односторонними бесконечными пределами.
Предел функции на бесконечности
Выше введено определение предела функции в данной точке
x
=
0
x
.
Введём теперь понятие предела функции на бесконечности.
Пусть функция
()
xf задана на неограниченном множестве D.
Определение 9. Число А называется пределом функции
()
xf при
x
стремящемся к бесконечности
(
)
x , если для любого ε > 0 найдётся та-
кое вещественное число Р, что для всех
x > Р, принадлежащих области оп-
ределения функции, выполняется неравенство
(
)
xf А⏐< ε.
Если А есть предел функции f(x) при
x
, стремящемся к бесконечности,
то пишут
(
)
=
xf
x
lim
А.
Число А при этом часто называют
пределом функции
()
xf на беско-
нечности
.
Неравенство
()
xf А⏐< ε равносильно неравенству Аε <
()
xf < А+ε.
Учитывая последнее, можно дать следующее геометрическое истолкование
предела функции на бесконечности:
(
)
=
xf
x
lim
А геометрически означает,
что какое бы ε > 0 мы ни взяли, найдётся такое Р, что для всех значений