Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

31
Сделаем подстановку
(
)
zxf
=
−
1 . Так как по предположению при
a
x
→
()
1→xf
, то
()
[]
01lim
=
−
→
xf
ax
, то есть 0→z , когда a
x
→ .
На основании предыдущего равенства
()
[]
()
()
(
)
[
]
(
)
()
[]
()
xxf
xxf
z
z
x
ax
ax
ax
ezxf
ϕ−
ϕ−
→
ϕ
→
→
→
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+=
1lim
1lim
1
0
1limlim . (1.11)
Пример 22. Найти предел
38
2
2
2
52
32
lim
+
∞→
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
x
x
x
x
.
Решение.
Обозначим
()
52
32
2
2
+
+
=
x
x
xf ;
(
)
38
2
+=ϕ xx .
()
1
52
32
limlim
2
2
=
+
+
=
∞→∞→
x
x
xf
xx
;
()
(
)
∞=+=ϕ
∞→∞→
38limlim
2
xx
xx
. Имеем неопределенность вида
∞
1. Воспользуемся
формулой (1.11):
() ()
[]
e
xfx
x
x
x
x
x
1lim
38
2
2
2
52
32
lim
−ϕ
+
∞→
∞→
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
.
Здесь
()
52
2
1
52
32
1
22
2
+
−=−
+
+
=−
x
x
x
xf ;
() ()
[]
(
)
8
52
382
lim1lim
2
2
−=
+
+
−=−ϕ
∞→∞→
x
x
xfx
xx
.
Поэтому
e
x
x
x
x
8
38
2
2
2
52
32
lim
−
+
∞→
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
.
1.6. Сравнение бесконечно малых
Пусть функции
()
xα=α и
(
)
x
β
=
β
являются бесконечно малыми при
a
x
→ , то есть
(
)
0lim =α
→
x
ax
и
(
)
0lim
=
β
→
x
ax
, причем a может быть как числом,
так и одним из символов +∞, -∞, ∞.
Определение 1. Две бесконечно малые
α
и
β
называются бесконечно
малыми
одного порядка, если предел их отношения равен некоторому чис-
лу, отличному от нуля, то есть если
0)/(lim
≠
=
β
α
→
A
ax
.
Бесконечно малые одного порядка характеризуются как бы «одинако-
вой скоростью» стремления к нулю.

Страницы