Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

35
1.7. Непрерывность функции.
Точки разрыва и их классификация
С понятием предела функции тесно связано другое важное понятие ма-
тематического анализа – понятие непрерывности функции.
Различные определения непрерывности
Пусть функция
()
xfy = определена на множестве
{}
xD = и
0
x – пре-
дельная точка этого множества. Говоря в п. 1.5 о пределе функции
()
xfA
xx
0
lim
→
= , мы совершенно не интересовались тем, определена ли данная
функция
()
xf в самой точке
0
x , а если определена, то каково именно её зна-
чение в этой точке. Тем самым мы допускали возможность существования
следующих случаев:
1) Предел А существует, в то время как
(
)
xf в точке
0
x не определена.
2) Предел А существует, существует и
(
)
0
xf
, но А
(
)
0
xf
≠
.
3) Предел А существует и
(
)
0
xf существует, причем А=
()
0
xf .
Среди функций, имеющих пределы, в особый класс выделяются функ-
ции, отмеченные в случае 3, то есть функции, для которых выполняется ра-
венство
(
)
(
)
0
0
lim xfxf
xx
=
→
. (1.12)
Определение 1. Функция
(
)
xfy
=
называется непрерывной при
0
xx =
или в точке
0
x
, если
1) функция
()
xf определена в точке
0
x и в некоторой её окрестности;
2) функция
()
xf имеет конечный предел при
0
xx → ;
3) предел функции
()
xf при
0
xx → равен значению функции
(
)
xf в
точке
0
x , то есть выполняется равенство (1.12).
Если в точке
0
x функция непрерывна, то точка
0
x называется точкой
непрерывности
данной функции.
Замечание 1. Равенство (1.12), определяющее понятие непрерывности
функции в точке, можно представить в виде
()
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
→→
xfxf
xxxx
00
limlim (1.13)
(так как xx
xx
0
lim
0
→
= ) и словами можно сказать так: функция
()
xf непрерывна
в точке
0
x , если предел функции в этой точке равен значению функции от
предела аргумента, то есть если возможен предельный переход под знаком
функции. Таким образом, если функция
(
)
xf непрерывна и нужно вычислить
её предел при
0
xx → , то достаточно в выражение функции вместо
x
подста-

Страницы