Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

39
Пример 5. Доказать равенство
a
x
a
x
ln
1
lim
0
=
−
→
x
. (1.16)
Решение. Для доказательства этого равенства положим β=−1
x
a . То-
гда
β+=1
x
a ,
()
β+= 1log
a
x
. При 0→
x
по непрерывности показательной
функции 1
→
x
a ; следовательно 0→
β
и, пользуясь уже решенным примером 4,
получим
()
a
ex
a
aa
x
x
ln
log
1
1log
lim
1
lim
00
==
β+
β
=
−
→β→
.
Докажите самостоятельно следующее равенство:
(
)
μ=
−+
μ
→
x
x
x
11
lim
0
(
)
constμ
−
. (1.17)
Пределы (1.14) – (1.17) используются в дифференциальном исчисле-
нии. С их помощью легко решаются также многие задачи на раскрытие неоп-
ределенностей.
Пример 6. Найти
()
13
1ln
lim
2
0
−
+
→
x
x
x
.
Решение. Преобразуем выражение
()()
(
)
x
x
xx
x
xx
xxx
/)19(
11ln
13
1ln
13
1ln
22
−
⋅
+
=
−
⋅
+
=
−
+
,
так как
xx
93
2
= . Тогда
()
(
)
9ln
1
/)19(
11ln
lim
13
1ln
lim
0
2
0
=
−
⋅
+
=
−
+
→→
x
x
xx
x
x
x
x
.
Здесь мы использовали формулы (1.15) и (1.16).
Некоторые свойства непрерывных функций
Теорема 4.
Всякая непрерывная на сегменте
[
]
ba, функция ограничена
на этом сегменте (рис. 10).
Рис. 10

Страницы