Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

41
мого разрыва первого рода, а разность
(
)
(
)
00
00
−
−
+
xfxf
называется скач-
ком функции
()
xf в точке
0
x (рис. 14).
Пример 7. Дана функция
()
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
>
≤−
=
.2при
,2при
2
1
2
xx
xx
xf
Найти точки разрыва функции, скачок функции в каждой точке разры-
ва и построить график.
Решение. Функция
()
xf определена на всей числовой оси. Но из этого
не следует, что она и непрерывна на всей числовой оси, так как эта функция
неэлементарная; она задана двумя различными формулами для различных
интервалов изменения аргумента
x
и может иметь разрыв в точке 2=
x
, где
меняется её аналитическое выражение.
Исследуя точку 2
=
x
, находим односторонние пределы функции при
стремлении аргумента к этой точке слева и справа:
()
2
2
1
limlim
2
0202
−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
−→−→
xxf
xx
,
так как слева от точки 2
=
x
функция
()
2
2
1
xxf
−=
;
(
)
2limlim
0202
=
=
+→+→
xxf
xx
,
так как справа от точки 2
=
x
функция
(
)
xxf
=
.
Левый и правый пределы функции конечны, но не равны между собой.
Поэтому 2
=
x
– точка неустранимого разрыва первого рода. В этой точке
разрыва функция имеет конечный скачок:
()
(
)
(
)
422limlim
0202
=
−
−
=
−
−→+→
xfxf
xx
.
Во всех остальных точках числовой оси функция
(
)
xf непрерывна, так
как обе формулы, которыми она задана, представляют собой элементарные
непрерывные функции. График этой функции приведен на рис. 15.
Рис. 13
Рис. 14

Страницы