Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

48
,0)(lim)(lim
;0lim)(lim
00
00
=−=
=
=
−→−→
+→+→
xxf
xxf
xx
xx
так что
)(lim
0
xf
x +→
существует и равен нулю. Но и f(0)=0. Таким образом, функ-
ция f(x) непрерывна в точке х = 0 (как, впрочем, и во всякой другой точке).
2)
Покажем, что функция f(x)= | x | не имеет производной в точке х = 0.
В самом деле,
⎩
⎨
⎧
<Δ−
>Δ+
=
Δ
Δ
=
Δ
−Δ+
Δ
=
Δ
=
−Δ+
.0при1
,0при1
)0()0(
,)()0()0(
x
x
x
x
x
fxf
xxffxf
Отсюда очевидно, что
,1
)0()0(
lim
0
+=
Δ
−
Δ
+
+→Δ
x
fxf
x
в то время как
.1
)0()0(
lim
0
−=
Δ
−
Δ
+
−→Δ
x
fxf
x
Таким образом, записанные правый и левый пределы различны и, зна-
чит,
x
fxf
x
Δ
−Δ+
→Δ
)0()0(
lim
0
не существует, то есть для данной функции не су-
ществует производной в точке x = 0. С геометрической точки зрения это оз-
начает, что график функции y = f(x) не имеет в точке x
0
= 0 касательной
(см. рис. 18).
Механический смысл производной
Возвращаясь к задаче, рассмотренной в начале п. 2.1.1, получим
,lim
0
d
t
ds
t
s
v
t
=
Δ
Δ
=
→Δ
то есть скорость v прямолинейного неравномерного движения материальной
точки в момент времени t есть производная от пути s по времени t.
В этом и заключается механический смысл производной.
Геометрический смысл производной
Пусть функция f(x) имеет при x=x
0
производную f ′(x
0
). Покажем, что
кривая y=f(x) имеет в точке М(x
0
, f(x
0
)) касательную, причем угловой коэффи-
циент этой касательной равен значению производной f '(x
0
). С этой целью да-
дим значению аргумента x
0
приращение Δх и обозначим через N точку (x
0
+Δх,
f (x
0
+Δх)) (см. рис. 19). Секущая MN образует с положительным направлени-
ем оси ОХ некоторый угол β. Как видно из чертежа,

Страницы