Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 54 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

54
Пример 2. Найти производную функции y=5x
4
– 3x
2
+ x – 6.
Решение.
y
′
=(5x
4
– 3x
2
+ x – 6)
′
=(5x
4
)
′
– (3x
2
)
′
+ (x)
′
– (6)
′
=5(x
4
)' – 3 (x
2
)
′
+(x)
′
– (6)
′
=
5⋅4
⋅
x
3
– 3⋅2
⋅
x+1 – 0= 20x
3
– 6x + 1.
Здесь мы воспользовались теоремами 1, 2, следствием 1 к теореме 3 и
формулой 1 в таблице производных элементарных функций при
x
u = .
Пример 3. Найти производную функции
2
x
ey = .
Решение. Данную функцию можно представить в виде
u
ey = , где
2
x
u = . Тогда по формуле (2.7) xeuyy
u
xux
2⋅=
′
⋅
′
=
′
. Заменив u на
2
x
, оконча-
тельно получим:
xey
x
2
2
⋅=
′
.
Пример 4. Найти производную функции xxy sin
3
⋅= .
Решение. Используя формулу (2.4), получим
()
()
xxxxxxxxy cossin3sinsin
3233
+⋅=
′
+⋅
′
=
′
.
Пример 5. Найти производную функции
1
2
2
+
=
x
x
y .
Решение. Воспользуемся формулой (2.5)
()( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
22
2
2
2222
1
2
1
212
1
11
+
=
+
⋅−+
=
+
′
+−+
′
=
′
x
x
x
xxxx
x
xxxx
y .
Пример 6. Найти производную функции
x
y
+
=
1
1
cos .
Решение. Воспользуемся формулой (2.8) дифференцирования сложной
функции. Здесь цепочка из трех звеньев: uy cos
=
; vu = ;
x
v
+
=
1
1
. В этом
примере следует сначала продифференцировать косинус. Так как косинус
вычисляется от квадратного корня, то вслед за этим надо продифференциро-
вать корень. Но корень вычисляется от дроби, а поэтому надо продифферен-
цировать дробь и все три полученные производные перемножить:
()
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−⋅
+
⋅
+
−=
′
2
1
1
1
1
2
1
1
1
sin
x
x
x
y .
производная производная производная
косинуса корня дроби
Окончательно
()
x
x
y
+
⋅
+
=
′
1
1
sin
12
1
2
3
.

Страницы