Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 55 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

55
Логарифмическое дифференцирование
Дифференцирование многих функций значительно упрощается, если их
предварительно прологарифмировать по основанию e , а потом уже присту-
пить к дифференцированию. Этот прием получил название
логарифмиче-
ского дифференцирования
. Производная от логарифма функции называется
логарифмической производной.
Рассмотрим способ логарифмического дифференцирования. Пусть тре-
буется найти производную y
′
функции
(
)
xfy
=
.
1) Прологарифмируем эту функцию по основанию e :
(
)
(
)
xxfy
ϕ
=
=
lnln
.
2) Продифференцируем обе части полученного равенства, учитывая,
что yln есть сложная функция от
x
:
()
x
y
y
ϕ
′
=
′
.
3) Заменим y его выражением через
x
и определим y
′
:
(
)
(
)
(
)
xxfxyy
ϕ
′
=
ϕ
′
=
′
.
Логарифмическое дифференцирование полезно применять, когда за-
данная функция содержит логарифмирующиеся операции (умножение, деле-
ние, возведение в степень, извлечение корня) и, в частности, для нахождения
производной от показательно-степенной функции
(
)
[]
(
)
xv
xuy =
,
(
)
(
)
0>xu , (2.9)
то есть когда и основание, и показатель степени есть функции от
x
.
Пример 7. Найти производную функции
()
3
2
arctg1
1sin
xx
xx
y
⋅−
+⋅
= .
Решение.
1) Прологарифмируем данную функцию:
() () ()( )
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−−++= xxxxy arctgln1ln21ln
2
1
sinln
3
1
ln .
2) Продифференцируем обе части полученного равенства:
()
()
()
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−
−
+
+
+=
′
=
′
2
1arctg
1
1
2
12
1
sin
cos
3
1
ln
xx
xxx
x
y
y
y .
3) Найдем y
′
:
()
()
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−
−
−
+
+⋅=
′
2
1arctg
1
1
2
12
1
ctg
3
1
xx
xx
xyy .
Заменяя y его выражением через
x
, получим окончательно
()
()()
()
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−
−
−
+
+⋅
⋅−
+⋅
=
′
2
3
2
1arctg3
1
13
2
16
1
ctg
3
1
arctg1
1sin
xx
xx
x
xx
xx
y
.

Страницы