Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

57
Пример 9. Найти вторую производную функции
5
xy = .
Решение.
4
5xy =
′
,
(
)
34
205 xxy =
′
=
′′
.
Производная от второй производной называется
производной третье-
го порядка,
или третьей производной, и обозначается y
′′
′
или
()
xf
′′′
или
3
3
dx
yd
:
() ()
3
3
dx
yd
xfyy
=
′′′
=
′′′
=
′
′′
·1
Вообще,
производной n-го порядка от функции f(x) называется про-
изводная (первого порядка) от производной (
n – 1)-го порядка и обозначается
символом
()
n
y
или
(
)
()
xf
n
, или
n
n
dx
yd
:
() ( )
()
()
()
n
n
nnn
dx
yd
xfyy
==
′
=
−1
.
(Порядок производной берется в скобки для того, чтобы его нельзя было
принять за показатель степени).
Производные четвертого, пятого и высших порядков обозначаются
также с помощью римских цифр:
IV
y
,
V
y
,
VI
y
,... В таком случае порядок
производной можно писать без скобок. Например, если
5
xy = , то
4
5xy =
′
,
3
20xy =
′′
,
2
60xy =
′′′
,
()
xyy 120
4IV
== ,
(
)
120
5V
== yy ,
(
)()
0...
76
=== yy .
Производные, начиная со второй, называются
производными высше-
го порядка
.
Для нахождения производной высшего порядка от данной функции
приходится последовательно находить все ее производные низших порядков.
Для произведения двух функций можно получить производную любого
n-го порядка, пользуясь формулой Лейбница:
()
()
() ( )
(
)
()
()( )
()() () ()
nnkkn
nnn
n
uvvunvu
k
knnn
vu
nn
vnuvuuv
+
′
++
+−−
+
++
′′
−
+
′
+=
−−
−−
1
21
......
!
1...1
...
!2
1
,
где
()
xuu = ,
()
xvv = – некоторые функции, имеющие производные любого
порядка.
Пример 10. Найти производную
(
)
n
y от функции
2
xey
ax
⋅=
()
const=a .
Решение.
ax
eu
=
,
2
x
v
=
,
ax
aeu =
′
,
x
v 2
=
′
,
ax
eau
2
=
′′
, 2
=
′
′
v ,
.............................
()
axnn
eau = ,
(
)
0...
IV
=
=
=
=
′′′
n
vvv ,

Страницы