ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
56
Производная показательно-степенной функции
Применяя логарифмическое дифференцирование, найдем производную
показательно-степенной функции (2.9). Пусть
(
)
xu
′
и
(
)
xv
′
существуют.
1) Прологарифмируем по основанию e обе части (2.9):
(
)
(
)
xuxvy lnln
=
.
2) Найдем производную от обеих частей последнего равенства
() () ()
(
)
()
xu
xu
xvxuxv
y
y
′
⋅+
′
=
′
ln
.
3) Умножая теперь обе части этого равенства на y и учитывая (2.9),
получим окончательно
()
[]
()
() () ()
(
)
()
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
′
⋅+
′
=
′
xu
xu
xvxuxvxuy
xv
ln
.
Пример 8. Найти производную функции
x
xy =
(
)
0>x .
Решение. Применяя логарифмическое дифференцирование, последова-
тельно находим:
1)
x
x
y lnln = .
2) Дифференцируем обе части этого равенства, считая yln сложной
функцией от
x
:
()
1ln
1
ln1lnln +=⋅+⋅=
′
⋅+⋅
′
=
′
x
x
xxxxxx
y
y
.
3) Выражаем
y
′
:
(
)
(
)
xxxyy
x
ln11ln +=+=
′
.
Производные высших порядков. Формула Лейбница
Пусть функция
()
xfy = дифференцируема на некотором отрезке
[
]
ba,.
Значения производной
()
xf
′
, вообще говоря, зависят от
x
, то есть производ-
ная
()
xf
′
представляет собой тоже функцию от
x
. Дифференцируя эту
функцию, мы получаем так называемую вторую производную от функции
()
xf .
Производная от первой производной называется
производной второ-
го порядка,
или второй производной от первоначальной функции, и обо-
значается символом
y
′′
или
(
)
xf
′
′
или
2
2
dx
yd
:
() ()
2
2
dx
yd
xfyy
=
′′
=
′′
=
′
′
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 54
- 55
- 56
- 57
- 58
- …
- следующая ›
- последняя »
