Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

58
тогда по формуле Лейбница:
()
(
)
2
21
1
2
212
⋅⋅
⋅
−
+⋅+⋅=
−− axnaxnaxnn
ea
nn
xenaxeay =
(
)
[
]
212
12
−−
−++=
nnnax
annxnaxae .
Дифференцирование неявных функций
До сих пор, рассматривая функции, заданные аналитически, мы все
время предполагали, что в левой части равенства, определяющего функцию,
стоит только y , а в правой – выражение, зависящее от
x
:
()
xfy = . Именно
такие функции мы и будем называть
явными.
Определение 1. Неявной функцией y аргумента
x
называется функ-
ция, значения которой находятся из уравнения
(
)
0,
=
yxf , (2.10)
связывающего
x
и y и не разрешенного относительно y .
Для нахождения производной от неявно заданной функции обе части
уравнения (2.10) дифференцируются по
x
с учетом, что y есть функция от
x
, и из полученного уравнения определяется y
′
.
Пример 11. Найти производную y
′
неявной функции 01
22
=−+ yx .
Решение. Дифференцируя уравнение по
x
и имея ввиду, что y есть
функция от
x
, получаем 022
=
′
+ yyx , откуда
y
x
y −=
′
.
Параметрическое задание функций.
Дифференцирование функций, заданных параметрически
Зависимость функции y от аргумента
x
не всегда выражается форму-
лой, связывающей непосредственно y и
x
. Связь между ними может осуще-
ствляться и через посредство некоторой третьей переменной
t
, называемой
параметром:
(
)
()
⎭
⎬
⎫
ψ=
ϕ
=
ty
tx
(
)
β
≤
≤
α
t . (2.11)
В этом случае говорят, что функция y от
x
задана параметрически.
Если
x
и y рассматривать как прямоугольные координаты точки на
плоскости, то уравнения (2.11) ставят в соответствие каждому значению
t
из
некоторой области его изменения
[
]
β
α
, определенную точку
()
yx, на плоско-
сти. С изменением
t
точка
(
)
yx,
опишет некоторую кривую на плоскости.
Уравнения (2.11) называются
параметрическими уравнениями этой кри-
вой.

Страницы