Математическая логика и теория алгоритмов. Самохин А.В. - 106 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

106 çÌÁ×Á V. ñÚÙËÉ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ
äÒÕÇÉÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ,
[∀ξ ϕ](π) =
_
m∈M
[ϕ](π + (ξ 7→ m)).
(÷ ÐÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ ÓÔÏÉÔ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÁÑ ÄÉÚßÀÎËÃÉÑ, ËÏÔÏÒÁÑ ÉÓÔÉÎÎÁ, ÅÓ-
ÌÉ ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÄÉÎ ÉÚ Å¾ ÞÌÅÎÏ× ÉÓÔÉÎÅÎ.)
úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ × Ä×ÕÈ ÐÏÓÌÅÄÎÉÈ ÐÕÎËÔÁÈ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ ξ × ÏÃÅÎËÅ
π ÎÅ ÉÇÒÁÅÔ ÒÏÌÉ. üÔÏ ÐÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÌÅÇËÏ ÄÏËÁÚÁÔØ (ÉÎÄÕËÃÉÅÊ ÐÏ ÐÏÓÔÒÏÅÎÉÀ
ÆÏÒÍÕÌÙ) ÔÁËÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ: ÅÓÌÉ Ä×Å ÏÃÅÎËÉ π
1
É π
2
ÐÒÉÄÁÀÔ ÏÄÉÎÁËÏ-
×ÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ×ÓÅÍ ÐÁÒÁÍÅÔÒÁÍ ÆÏÒÍÕÌÙ ϕ, ÔÏ [ϕ](π
1
) = [ϕ](π
2
). äÒÕÇÉÍÉ
ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÉÓÔÉÎÎÏÓÔØ ÆÏÒÍÕÌÙ ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÚÎÁÞÅÎÉÑÍÉ Å¾ ÐÁÒÁÍÅÔÒÏ×.
úÁÄÁÞÁ 132. ðÒÏ×ÅÄÉÔÅ ÜÔÏ ÉÎÄÕËÔÉ×ÎÏÅ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅ ÐÏÄÒÏÂÎÏ.
úÁÄÁÞÁ 133. ðÒÉ×ÅľÎÎÙÅ ×ÙÛÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÐÒÉÍÅÎÉÍÙ Ë ÌÀÂÏÊ ÆÏÒ-
ÍÕÌÅ, × ÔÏÍ ÞÉÓÌÅ É Ë ÓÔÒÁÎÎÏÊ ÆÏÒÍÕÌÅ ∀y A(x). ëÁËÉÅ Õ Îž ÐÁÒÁÍÅÔÒÙ?
ðÒÉ ËÁËÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ÐÁÒÁÍÅÔÒÏ× ÏÎÁ ÉÓÔÉÎÎÁ? (ïÔ×ÅÔ: ÏÎÁ ÉÍÅÅÔ ÅÄÉÎ-
ÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÐÁÒÁÍÅÔÒ x É ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÁ ÆÏÒÍÕÌÅ A(x).)
úÁÄÁÞÁ 134. ÷ ËÁËÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÂÕÄÅÔ ÉÓÔÉÎÎÁ ÆÏÒÍÕÌÁ ∀x ∃x A(x)? ôÏÔ
ÖÅ ×ÏÐÒÏÓ ÄÌÑ ÆÏÒÍÕÌÙ ∃x ∀x A(x). (ïÔ×ÅÔ: ÐÅÒ×ÁÑ ÉÚ ÜÔÉÈ ÆÏÒÍÕÌ ÜË×É-
×ÁÌÅÎÔÎÁ ÆÏÒÍÕÌÅ ∃x A(x), Á ×ÔÏÒÁÑ ¡ ÆÏÒÍÕÌÅ ∀x A(x).)
æÏÒÍÕÌÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÚÁÍËÎÕÔÏÊ, ÅÓÌÉ ÏÎÁ ÎÅ ÉÍÅÅÔ ÐÁÒÁÍÅÔÒÏ×. úÁÍËÎÕ-
ÔÙÅ ÆÏÒÍÕÌÙ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÔÁËÖÅ ÓÕÖÄÅÎÉÑÍÉ. ëÁË ÍÙ ÄÏËÁÚÁÌÉ, ÉÓÔÉÎÎÏÓÔØ
ÚÁÍËÎÕÔÏÊ ÆÏÒÍÕÌÙ ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ×ÙÂÏÒÏÍ ÉÎÔÅÒÐÒÅÔÁÃÉÉ (É ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ
ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ).
§3. ÷ÙÒÁÚÉÍÙÅ ÐÒÅÄÉËÁÔÙ
ðÕÓÔØ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÁ ÎÅËÏÔÏÒÁÑ ÓÉÇÎÁÔÕÒÁ σ É Å¾ ÉÎÔÅÒÐÒÅÔÁÃÉÑ Ó ÎÏÓÉÔÅ-
ÌÅÍ M. íÙ ÈÏÔÉÍ ÏÐÒÅÄÅÌÉÔØ ÐÏÎÑÔÉÅ ×ÙÒÁÚÉÍÏÇÏ (Ó ÐÏÍÏÝØÀ ÆÏÒÍÕÌÙ
ÄÁÎÎÏÊ ÓÉÇÎÁÔÕÒÙ × ÄÁÎÎÏÊ ÉÎÔÅÒÐÒÅÔÁÃÉÉ) k-ÍÅÓÔÎÏÇÏ ÐÒÅÄÉËÁÔÁ.
÷ÙÂÅÒÅÍ k ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ x
1
, . . . , x
k
. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÕÀ ÆÏÒÍÕÌÕ
ϕ, ×ÓÅ ÐÁÒÁÍÅÔÒÙ ËÏÔÏÒÏÊ ÓÏÄÅÒÖÁÔÓÑ × ÓÐÉÓËÅ x
1
, . . . , x
k
. éÓÔÉÎÎÏÓÔØ ÜÔÏÊ
ÆÏÒÍÕÌÙ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÔÏÌØËÏ ÏÔ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ x
1
, . . . , x
k
. ôÅÍ ÓÁÍÙÍ
×ÏÚÎÉËÁÅÔ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ M
k
→ B = {é, ì}, ÔÏ ÅÓÔØ ÎÅËÏÔÏÒÙÊ k-ÍÅÓÔÎÙÊ
ÐÒÅÄÉËÁÔ ÎÁ M. çÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ ÜÔÏÔ ÐÒÅÄÉËÁÔ ×ÙÒÁÖÁÅÔÓÑ ÆÏÒÍÕÌÏÊ ϕ. ÷ÓÅ
ÐÒÅÄÉËÁÔÙ, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÏÖÎÏ ÐÏÌÕÞÉÔØ ÔÁËÉÍ ÓÐÏÓÏÂÏÍ, ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ×ÙÒÁÚÉ-
ÍÙÍÉ (ñÓÎÏ, ÞÔÏ ËÏÎËÒÅÔÎÙÊ ×ÙÂÏÒ ÓÐÉÓËÁ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ ÒÏÌÉ ÎÅ ÉÇÒÁÅÔ.)
óÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÉÍ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÍÎÏÖÅÓÔ×Á M
k
(ÏÂÌÁÓÔÉ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ
×ÙÒÁÚÉÍÙÈ ÐÒÅÄÉËÁÔÏ×) ÔÁËÖÅ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ×ÙÒÁÚÉÍÙÍÉ.
106                                          çÌÁ×Á V. ñÚÙËÉ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ

      äÒÕÇÉÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ,
                                   _
                     [∀ξ ϕ](π) =         [ϕ](π + (ξ 7→ m)).
                                   m∈M
      (÷ ÐÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ ÓÔÏÉÔ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÁÑ ÄÉÚßÀÎËÃÉÑ, ËÏÔÏÒÁÑ ÉÓÔÉÎÎÁ, ÅÓ-
      ÌÉ ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÄÉÎ ÉÚ Å¾ ÞÌÅÎÏ× ÉÓÔÉÎÅÎ.)
   úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ × Ä×ÕÈ ÐÏÓÌÅÄÎÉÈ ÐÕÎËÔÁÈ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ ξ × ÏÃÅÎËÅ
π ÎÅ ÉÇÒÁÅÔ ÒÏÌÉ. üÔÏ ÐÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÌÅÇËÏ ÄÏËÁÚÁÔØ (ÉÎÄÕËÃÉÅÊ ÐÏ ÐÏÓÔÒÏÅÎÉÀ
ÆÏÒÍÕÌÙ) ÔÁËÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ: ÅÓÌÉ Ä×Å ÏÃÅÎËÉ π1 É π2 ÐÒÉÄÁÀÔ ÏÄÉÎÁËÏ-
×ÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ×ÓÅÍ ÐÁÒÁÍÅÔÒÁÍ ÆÏÒÍÕÌÙ ϕ, ÔÏ [ϕ](π1) = [ϕ](π2). äÒÕÇÉÍÉ
ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÉÓÔÉÎÎÏÓÔØ ÆÏÒÍÕÌÙ ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÚÎÁÞÅÎÉÑÍÉ Å¾ ÐÁÒÁÍÅÔÒÏ×.
  úÁÄÁÞÁ 132. ðÒÏ×ÅÄÉÔÅ ÜÔÏ ÉÎÄÕËÔÉ×ÎÏÅ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅ ÐÏÄÒÏÂÎÏ.
  úÁÄÁÞÁ 133. ðÒÉ×ÅľÎÎÙÅ ×ÙÛÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÐÒÉÍÅÎÉÍÙ Ë ÌÀÂÏÊ ÆÏÒ-
ÍÕÌÅ, × ÔÏÍ ÞÉÓÌÅ É Ë ÓÔÒÁÎÎÏÊ ÆÏÒÍÕÌÅ ∀y A(x). ëÁËÉÅ Õ Îž ÐÁÒÁÍÅÔÒÙ?
ðÒÉ ËÁËÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ÐÁÒÁÍÅÔÒÏ× ÏÎÁ ÉÓÔÉÎÎÁ? (ïÔ×ÅÔ: ÏÎÁ ÉÍÅÅÔ ÅÄÉÎ-
ÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÐÁÒÁÍÅÔÒ x É ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÁ ÆÏÒÍÕÌÅ A(x).)
  úÁÄÁÞÁ 134. ÷ ËÁËÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÂÕÄÅÔ ÉÓÔÉÎÎÁ ÆÏÒÍÕÌÁ ∀x ∃x A(x)? ôÏÔ
ÖÅ ×ÏÐÒÏÓ ÄÌÑ ÆÏÒÍÕÌÙ ∃x ∀x A(x). (ïÔ×ÅÔ: ÐÅÒ×ÁÑ ÉÚ ÜÔÉÈ ÆÏÒÍÕÌ ÜË×É-
×ÁÌÅÎÔÎÁ ÆÏÒÍÕÌÅ ∃x A(x), Á ×ÔÏÒÁÑ ¡ ÆÏÒÍÕÌÅ ∀x A(x).)
   æÏÒÍÕÌÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÚÁÍËÎÕÔÏÊ, ÅÓÌÉ ÏÎÁ ÎÅ ÉÍÅÅÔ ÐÁÒÁÍÅÔÒÏ×. úÁÍËÎÕ-
ÔÙÅ ÆÏÒÍÕÌÙ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÔÁËÖÅ ÓÕÖÄÅÎÉÑÍÉ. ëÁË ÍÙ ÄÏËÁÚÁÌÉ, ÉÓÔÉÎÎÏÓÔØ
ÚÁÍËÎÕÔÏÊ ÆÏÒÍÕÌÙ ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ×ÙÂÏÒÏÍ ÉÎÔÅÒÐÒÅÔÁÃÉÉ (É ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ
ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ).

  §3. ÷ÙÒÁÚÉÍÙÅ ÐÒÅÄÉËÁÔÙ
   ðÕÓÔØ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÁ ÎÅËÏÔÏÒÁÑ ÓÉÇÎÁÔÕÒÁ σ É Å¾ ÉÎÔÅÒÐÒÅÔÁÃÉÑ Ó ÎÏÓÉÔÅ-
ÌÅÍ M. íÙ ÈÏÔÉÍ ÏÐÒÅÄÅÌÉÔØ ÐÏÎÑÔÉÅ ×ÙÒÁÚÉÍÏÇÏ (Ó ÐÏÍÏÝØÀ ÆÏÒÍÕÌÙ
ÄÁÎÎÏÊ ÓÉÇÎÁÔÕÒÙ × ÄÁÎÎÏÊ ÉÎÔÅÒÐÒÅÔÁÃÉÉ) k-ÍÅÓÔÎÏÇÏ ÐÒÅÄÉËÁÔÁ.
   ÷ÙÂÅÒÅÍ k ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ x1, . . . , xk . òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÕÀ ÆÏÒÍÕÌÕ
ϕ, ×ÓÅ ÐÁÒÁÍÅÔÒÙ ËÏÔÏÒÏÊ ÓÏÄÅÒÖÁÔÓÑ × ÓÐÉÓËÅ x1, . . . , xk . éÓÔÉÎÎÏÓÔØ ÜÔÏÊ
ÆÏÒÍÕÌÙ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÔÏÌØËÏ ÏÔ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ x1, . . . , xk . ôÅÍ ÓÁÍÙÍ
×ÏÚÎÉËÁÅÔ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ M k → B = {é, ì}, ÔÏ ÅÓÔØ ÎÅËÏÔÏÒÙÊ k-ÍÅÓÔÎÙÊ
ÐÒÅÄÉËÁÔ ÎÁ M. çÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ ÜÔÏÔ ÐÒÅÄÉËÁÔ ×ÙÒÁÖÁÅÔÓÑ ÆÏÒÍÕÌÏÊ ϕ. ÷ÓÅ
ÐÒÅÄÉËÁÔÙ, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÏÖÎÏ ÐÏÌÕÞÉÔØ ÔÁËÉÍ ÓÐÏÓÏÂÏÍ, ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ×ÙÒÁÚÉ-
ÍÙÍÉ (ñÓÎÏ, ÞÔÏ ËÏÎËÒÅÔÎÙÊ ×ÙÂÏÒ ÓÐÉÓËÁ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ ÒÏÌÉ ÎÅ ÉÇÒÁÅÔ.)
óÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÉÍ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÍÎÏÖÅÓÔ×Á M k (ÏÂÌÁÓÔÉ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ
×ÙÒÁÚÉÍÙÈ ÐÒÅÄÉËÁÔÏ×) ÔÁËÖÅ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ×ÙÒÁÚÉÍÙÍÉ.

Страницы