Математическая логика и теория алгоритмов. Самохин А.В. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

12 çÌÁ×Á I. íÎÏÖÅÓÔ×Á É ÍÏÝÎÏÓÔÉ
ÖÅ, ÓËÏÌØËÏ ÉÍÅÀÝÉÈ ÎÅÞ¾ÔÎÕÀ ÍÏÝÎÏÓÔØ. (õËÁÚÁÎÉÅ: ÆÉËÓÉÒÕÅÍ ÜÌÅ-
ÍÅÎÔ u ∈ U É ÏÂßÅÄÉÎÉÍ × ÐÁÒÙ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á, ÏÔÌÉÞÁÀÝÉÅÓÑ ÔÏÌØËÏ ×
ÔÏÞËÅ u.)
úÁÄÁÞÁ 21. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ C
0
n
−C
1
n
+C
2
n
−. . .+(−1)
n
C
n
n
= 0. (õËÁÚÁÎÉÅ:
ËÁË ÜÔÏ Ó×ÑÚÁÎÏ Ó ÐÒÅÄÙÄÕÝÅÊ ÚÁÄÁÞÅÊ?)
úÁÄÁÞÁ 22. äÏËÁÖÉÔÅ ÆÏÒÍÕÌÕ ÂÉÎÏÍÁ îØÀÔÏÎÁ:
(a + b)
n
= C
0
n
a
n
+ C
1
n
a
n−1
b + . . . + C
k
n
a
n−k
b
k
+ . . . + C
n
n
b
n
.
úÁÄÁÞÁ 23. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÓÐÏÓÏÂÏ× ÒÁÓÓÔÁÎÏ×ËÉ ÓËÏÂÏË (ÕËÁÚÙ×ÁÀ-
ÝÉÈ ÐÏÒÑÄÏË ÄÅÊÓÔ×ÉÊ) × ÎÅÁÓÓÏÃÉÁÔÉ×ÎÏÍ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÉ ÉÚ n ÜÌÅÍÅÎÔÏ×
ÓÔÏÌØËÏ ÖÅ, ÓËÏÌØËÏ ÓÐÏÓÏÂÏ× ÒÁÚÂÉÔØ ×ÙÐÕËÌÙÊ (n +1)-ÕÇÏÌØÎÉË ÎÁ ÔÒÅ-
ÕÇÏÌØÎÉËÉ ÎÅÐÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÍÉÓÑ ÄÉÁÇÏÎÁÌÑÍÉ. (äÌÑ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ÔÒ¾È ÍÎÏ-
ÖÉÔÅÌÅÊ ÅÓÔØ Ä×Á ×ÁÒÉÁÎÔÁ (ab)c É a(bc); Ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÅÓÔØ Ä×Á ÓÐÏ-
ÓÏÂÁ ÒÁÚÒÅÚÁÔØ ÞÅÔÙÒ¾ÈÕÇÏÌØÎÉË ÎÁ Ä×Á ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ, ÐÒÏ×ÅÄÑ ÄÉÁÇÏÎÁÌØ.
äÌÑ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ÞÅÔÙÒ¾È ÓÏÍÎÏÖÉÔÅÌÅÊ É ÄÌÑ ÐÑÔÉÕÇÏÌØÎÉËÁ ÉÍÅÅÔÓÑ
ÐÏ 5 ×ÁÒÉÁÎÔÏ×.)
§3. òÁ×ÎÏÍÏÝÎÙÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á
ä×Á ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÒÁ×ÎÏÍÏÝÎÙÍÉ, ÅÓÌÉ ÍÅÖÄÕ ÎÉÍÉ ÍÏÖÎÏ ÕÓÔÁ-
ÎÏ×ÉÔØ ×ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ, ÐÒÉ ËÏÔÏÒÏÍ ËÁÖÄÏÍÕ ÜÌÅÍÅÎÔÕ
ÏÄÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÒÏ×ÎÏ ÏÄÉÎ ÜÌÅÍÅÎÔ ÄÒÕÇÏÇÏ.
äÌÑ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÜÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ × ÎÉÈ ÏÄÉÎÁËÏ×ÏÅ ÞÉÓÌÏ ÜÌÅ-
ÍÅÎÔÏ×, ÎÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ÓÍÙÓÌ É ÄÌÑ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×. îÁÐÒÉ-
ÍÅÒ, ÏÔÒÅÚËÉ [0, 1] É [0, 2] ÒÁ×ÎÏÍÏÝÎÙ, ÐÏÓËÏÌØËÕ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ x 7→ 2x ÏÓÕ-
ÝÅÓÔ×ÌÑÅÔ ÉÓËÏÍÏÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ.
úÁÄÁÞÁ 24. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÌÀÂÙÅ Ä×Á ÉÎÔÅÒ×ÁÌÁ (a, b) É (c, d) ÎÁ ÐÒÑ-
ÍÏÊ ÒÁ×ÎÏÍÏÝÎÙ.
úÁÄÁÞÁ 25. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÌÀÂÙÅ Ä×Å ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÎÁ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ ÒÁ×-
ÎÏÍÏÝÎÙ. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÌÀÂÙÅ Ä×Á ËÒÕÇÁ ÎÁ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ ÒÁ×ÎÏÍÏÝÎÙ.
úÁÄÁÞÁ 26. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÐÏÌÕÉÎÔÅÒ×ÁÌ [0, 1) ÒÁ×ÎÏÍÏÝÅÎ ÐÏÌÕÉÎ-
ÔÅÒ×ÁÌÕ (0, 1].
îÅÓËÏÌØËÏ ÂÏÌÅÅ ÓÌÏÖÎÁ ÔÁËÁÑ ÚÁÄÁÞÁ: ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÉÎÔÅÒ×ÁÌ (0, 1) É ÌÕÞ
(0, +∞) ÒÁ×ÎÏÍÏÝÎÙ. üÔÏ ÄÅÌÁÅÔÓÑ ÔÁË. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ x 7→ 1/x
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ×ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÙÍ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅÍ ÍÅÖÄÕ (0, 1) É (1, +∞), Á x 7→
7→ (x−1) ¡ ×ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÙÍ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅÍ ÍÅÖÄÕ (1, +∞) É (0, +∞),
12                                              çÌÁ×Á I. íÎÏÖÅÓÔ×Á É ÍÏÝÎÏÓÔÉ

ÖÅ, ÓËÏÌØËÏ ÉÍÅÀÝÉÈ ÎÅÞ¾ÔÎÕÀ ÍÏÝÎÏÓÔØ. (õËÁÚÁÎÉÅ: ÆÉËÓÉÒÕÅÍ ÜÌÅ-
ÍÅÎÔ u ∈ U É ÏÂßÅÄÉÎÉÍ × ÐÁÒÙ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á, ÏÔÌÉÞÁÀÝÉÅÓÑ ÔÏÌØËÏ ×
ÔÏÞËÅ u.)
  úÁÄÁÞÁ 21. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ Cn0 −Cn1 +Cn2 −. . .+(−1)nCnn = 0. (õËÁÚÁÎÉÅ:
ËÁË ÜÔÏ Ó×ÑÚÁÎÏ Ó ÐÒÅÄÙÄÕÝÅÊ ÚÁÄÁÞÅÊ?)
     úÁÄÁÞÁ 22. äÏËÁÖÉÔÅ ÆÏÒÍÕÌÕ ÂÉÎÏÍÁ îØÀÔÏÎÁ:
          (a + b)n = Cn0an + Cn1an−1 b + . . . + Cnk an−k bk + . . . + Cnn bn.
   úÁÄÁÞÁ 23. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÓÐÏÓÏÂÏ× ÒÁÓÓÔÁÎÏ×ËÉ ÓËÏÂÏË (ÕËÁÚÙ×ÁÀ-
ÝÉÈ ÐÏÒÑÄÏË ÄÅÊÓÔ×ÉÊ) × ÎÅÁÓÓÏÃÉÁÔÉ×ÎÏÍ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÉ ÉÚ n ÜÌÅÍÅÎÔÏ×
ÓÔÏÌØËÏ ÖÅ, ÓËÏÌØËÏ ÓÐÏÓÏÂÏ× ÒÁÚÂÉÔØ ×ÙÐÕËÌÙÊ (n + 1)-ÕÇÏÌØÎÉË ÎÁ ÔÒÅ-
ÕÇÏÌØÎÉËÉ ÎÅÐÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÍÉÓÑ ÄÉÁÇÏÎÁÌÑÍÉ. (äÌÑ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ÔÒ¾È ÍÎÏ-
ÖÉÔÅÌÅÊ ÅÓÔØ Ä×Á ×ÁÒÉÁÎÔÁ (ab)c É a(bc); Ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÅÓÔØ Ä×Á ÓÐÏ-
ÓÏÂÁ ÒÁÚÒÅÚÁÔØ ÞÅÔÙÒ¾ÈÕÇÏÌØÎÉË ÎÁ Ä×Á ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ, ÐÒÏ×ÅÄÑ ÄÉÁÇÏÎÁÌØ.
äÌÑ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ÞÅÔÙÒ¾È ÓÏÍÎÏÖÉÔÅÌÅÊ É ÄÌÑ ÐÑÔÉÕÇÏÌØÎÉËÁ ÉÍÅÅÔÓÑ
ÐÏ 5 ×ÁÒÉÁÎÔÏ×.)


     §3. òÁ×ÎÏÍÏÝÎÙÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á
   ä×Á ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÒÁ×ÎÏÍÏÝÎÙÍÉ, ÅÓÌÉ ÍÅÖÄÕ ÎÉÍÉ ÍÏÖÎÏ ÕÓÔÁ-
ÎÏ×ÉÔØ ×ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ, ÐÒÉ ËÏÔÏÒÏÍ ËÁÖÄÏÍÕ ÜÌÅÍÅÎÔÕ
ÏÄÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÒÏ×ÎÏ ÏÄÉÎ ÜÌÅÍÅÎÔ ÄÒÕÇÏÇÏ.
   äÌÑ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÜÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ × ÎÉÈ ÏÄÉÎÁËÏ×ÏÅ ÞÉÓÌÏ ÜÌÅ-
ÍÅÎÔÏ×, ÎÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ÓÍÙÓÌ É ÄÌÑ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×. îÁÐÒÉ-
ÍÅÒ, ÏÔÒÅÚËÉ [0, 1] É [0, 2] ÒÁ×ÎÏÍÏÝÎÙ, ÐÏÓËÏÌØËÕ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ x 7→ 2x ÏÓÕ-
ÝÅÓÔ×ÌÑÅÔ ÉÓËÏÍÏÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ.
  úÁÄÁÞÁ 24. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÌÀÂÙÅ Ä×Á ÉÎÔÅÒ×ÁÌÁ (a, b) É (c, d) ÎÁ ÐÒÑ-
ÍÏÊ ÒÁ×ÎÏÍÏÝÎÙ.
  úÁÄÁÞÁ 25. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÌÀÂÙÅ Ä×Å ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÎÁ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ ÒÁ×-
ÎÏÍÏÝÎÙ. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÌÀÂÙÅ Ä×Á ËÒÕÇÁ ÎÁ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ ÒÁ×ÎÏÍÏÝÎÙ.
  úÁÄÁÞÁ 26. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÐÏÌÕÉÎÔÅÒ×ÁÌ [0, 1) ÒÁ×ÎÏÍÏÝÅÎ ÐÏÌÕÉÎ-
ÔÅÒ×ÁÌÕ (0, 1].
    îÅÓËÏÌØËÏ ÂÏÌÅÅ ÓÌÏÖÎÁ ÔÁËÁÑ ÚÁÄÁÞÁ: ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÉÎÔÅÒ×ÁÌ (0, 1) É ÌÕÞ
(0, +∞) ÒÁ×ÎÏÍÏÝÎÙ. üÔÏ ÄÅÌÁÅÔÓÑ ÔÁË. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ x 7→ 1/x
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ×ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÙÍ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅÍ ÍÅÖÄÕ (0, 1) É (1, +∞), Á x 7→
7→ (x−1) ¡ ×ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÙÍ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅÍ ÍÅÖÄÕ (1, +∞) É (0, +∞),

Страницы