Математическая логика и теория алгоритмов. Самохин А.В. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§3. òÁ×ÎÏÍÏÝÎÙÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á 13
ÐÏÜÔÏÍÕ ÉÈ ËÏÍÐÏÚÉÃÉÑ x 7→ (1/x) − 1 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÉÓËÏÍÙÍ ×ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞ-
ÎÙÍ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅÍ ÍÅÖÄÕ (0, 1) É (0, +∞).
÷ÏÏÂÝÅ, ËÁË ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÒÁ×ÎÏÍÏÝÎÏÓÔÉ ÅÓÔØ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÜË×É-
×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ. üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÏÎÏ ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏ (ËÁÖÄÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÒÁ×-
ÎÏÍÏÝÎÏ ÓÁÍÏÍÕ ÓÅÂÅ), ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ (ÅÓÌÉ A ÒÁ×ÎÏÍÏÝÎÏ B, ÔÏ É B ÒÁ×-
ÎÏÍÏÝÎÏ A) É ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏ (ÅÓÌÉ A ÒÁ×ÎÏÍÏÝÎÏ B É B ÒÁ×ÎÏÍÏÝÎÏ C, ÔÏ
A ÒÁ×ÎÏÍÏÝÎÏ C). ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÓÔÉ ÍÙ ÔÏÌØËÏ ÞÔÏ ×ÏÓÐÏÌØÚÏ×Á-
ÌÉÓØ, ×ÚÑ× ÌÕÞ (1, +∞) × ËÁÞÅÓÔ×Å ÐÒÏÍÅÖÕÔÏÞÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á.
åݾ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÐÒÉÍÅÒÏ×:
• íÎÏÖÅÓÔ×Ï ÂÅÓËÏÎÅÞÎÙÈ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÎÕÌÅÊ É ÅÄÉÎÉà ÒÁ×ÎÏ-
ÍÏÝÎÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ ×ÓÅÈ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ× ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÇÏ ÒÑÄÁ. (÷ ÓÁÍÏÍ
ÄÅÌÅ, ÓÏÐÏÓÔÁ×ÉÍ Ó ËÁÖÄÏÊ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØÀ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÎÏÍÅÒÏ×
ÍÅÓÔ, ÎÁ ËÏÔÏÒÙÈ ÓÔÏÑÔ ÅÄÉÎÉÃÙ: ÎÁÐÒÉÍÅÒ, ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÉÚ
ÏÄÎÉÈ ÎÕÌÅÊ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÐÕÓÔÏÍÕ ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ, ÉÚ ÏÄÎÉÈ ÅÄÉÎÉà ¡
ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÍÕ ÒÑÄÕ, Á ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ 10101010 . . . ¡ ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ
Þ¾ÔÎÙÈ ÞÉÓÅÌ.)
• íÎÏÖÅÓÔ×Ï ÂÅÓËÏÎÅÞÎÙÈ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÃÉÆÒ 0, 1, 2, 3 ÒÁ×ÎÏ-
ÍÏÝÎÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÙÈ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÃÉÆÒ 0 É 1. (÷
ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ÍÏÖÎÏ ÚÁËÏÄÉÒÏ×ÁÔØ ÃÉÆÒÙ 0, 1, 2, 3 ÇÒÕÐÐÁÍÉ 00, 01, 10,
11. ïÂÒÁÔÎÏÅ ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ ÒÁÚÂÉ×ÁÅÔ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÎÕÌÅÊ É
ÅÄÉÎÉÃ ÎÁ ÐÁÒÙ, ÐÏÓÌÅ ÞÅÇÏ ËÁÖÄÁÑ ÐÁÒÁ ÚÁÍÅÎÑÅÔÓÑ ÎÁ ÃÉÆÒÕ ÏÔ 0
ÄÏ 3.)
• íÎÏÖÅÓÔ×Ï ÂÅÓËÏÎÅÞÎÙÈ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÃÉÆÒ 0, 1, 2 ÒÁ×ÎÏÍÏÝ-
ÎÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÙÈ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÃÉÆÒ 0 É 1. (íÏÖÎÏ
ÂÙÌÏ ÂÙ ÐÙÔÁÔØÓÑ ÒÁÓÓÕÖÄÁÔØ ÔÁË: ÜÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÚÁËÌÀÞÅÎÏ ÍÅÖÄÕ
Ä×ÕÍÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ ÏÄÎÏÊ É ÔÏÊ ÖÅ ÍÏÝÎÏÓÔÉ, É ÐÏÔÏÍÕ ÒÁ×ÎÏÍÏÝÎÏ
ËÁÖÄÏÍÕ ÉÚ ÎÉÈ. üÔÏÔ ÈÏÄ ÍÙÓÌÅÊ ÐÒÁ×ÉÌÅÎ, ËÁË ÐÏËÁÚÙ×ÁÅÔ ÔÅÏÒÅÍÁ
ëÁÎÔÏÒÁ âÅÒÎÛÔÅÊÎÁ ÉÚ ÒÁÚÄÅÌÁ 5. îÏ ÚÄÅÓØ ÍÏÖÎÏ ÏÂÏÊÔÉÓØ É ÂÅÚ
ÜÔÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ, ÅÓÌÉ ÚÁËÏÄÉÒÏ×ÁÔØ ÃÉÆÒÙ 0, 1 É 2 ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÑ-
ÍÉ 0, 10 É 11: ÌÅÇËÏ ÓÏÏÂÒÁÚÉÔØ, ÞÔÏ ×ÓÑËÁÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÎÕÌÅÊ
É ÅÄÉÎÉà ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÒÁÚÂÉ×ÁÅÔÓÑ ÎÁ ÔÁËÉÅ ÂÌÏËÉ ÓÌÅ×Á ÎÁÐÒÁ×Ï. ôÁËÏÊ
ÓÐÏÓÏ ËÏÄÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÐÒÅÆÉËÓÎÙÍ ËÏÄÏÍ.)
• ðÒÉÍÅÒ Ó ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÑÍÉ ÎÕÌÅÊ É ÅÄÉÎÉà ÍÏÖÎÏ ÏÂÏÂÝÉÔØ:
ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ× ÌÀÂÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á U (ÏÎÏ ÏÂÙÞÎÏ ÏÂÏÚÎÁÞÁ-
ÅÔÓÑ P (U) É ÐÏ-ÁÎÇÌÉÊÓËÉ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ power set) ÒÁ×ÎÏÍÏÝÎÏ ÍÎÏÖÅ-
ÓÔ×Õ ×ÓÅÈ ÆÕÎËÃÉÊ, ËÏÔÏÒÙÅ ÓÔÁ×ÑÔ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ËÁÖÄÏÍÕ ÜÌÅÍÅÎÔÕ
x ∈ U ÏÄÎÏ ÉÚ ÞÉÓÅÌ 0 É 1 (ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÔÁËÉÈ ÆÕÎËÃÉÊ ÏÂÙÞÎÏ ÏÂÏÚÎÁ-
ÞÁÀÔ 2
X
). (÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ËÁÖÄÏÍÕ ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ X ⊂ U ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ
ÅÇÏ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ.)
§3. òÁ×ÎÏÍÏÝÎÙÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á                                             13

ÐÏÜÔÏÍÕ ÉÈ ËÏÍÐÏÚÉÃÉÑ x 7→ (1/x) − 1 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÉÓËÏÍÙÍ ×ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞ-
ÎÙÍ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅÍ ÍÅÖÄÕ (0, 1) É (0, +∞).
   ÷ÏÏÂÝÅ, ËÁË ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÒÁ×ÎÏÍÏÝÎÏÓÔÉ ÅÓÔØ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÜË×É-
×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ. üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÏÎÏ ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏ (ËÁÖÄÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÒÁ×-
ÎÏÍÏÝÎÏ ÓÁÍÏÍÕ ÓÅÂÅ), ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ (ÅÓÌÉ A ÒÁ×ÎÏÍÏÝÎÏ B, ÔÏ É B ÒÁ×-
ÎÏÍÏÝÎÏ A) É ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏ (ÅÓÌÉ A ÒÁ×ÎÏÍÏÝÎÏ B É B ÒÁ×ÎÏÍÏÝÎÏ C, ÔÏ
A ÒÁ×ÎÏÍÏÝÎÏ C). ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÓÔÉ ÍÙ ÔÏÌØËÏ ÞÔÏ ×ÏÓÐÏÌØÚÏ×Á-
ÌÉÓØ, ×ÚÑ× ÌÕÞ (1, +∞) × ËÁÞÅÓÔ×Å ÐÒÏÍÅÖÕÔÏÞÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á.

  åݾ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÐÒÉÍÅÒÏ×:
   • íÎÏÖÅÓÔ×Ï ÂÅÓËÏÎÅÞÎÙÈ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÎÕÌÅÊ É ÅÄÉÎÉà ÒÁ×ÎÏ-
     ÍÏÝÎÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ ×ÓÅÈ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ× ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÇÏ ÒÑÄÁ. (÷ ÓÁÍÏÍ
     ÄÅÌÅ, ÓÏÐÏÓÔÁ×ÉÍ Ó ËÁÖÄÏÊ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØÀ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÎÏÍÅÒÏ×
     ÍÅÓÔ, ÎÁ ËÏÔÏÒÙÈ ÓÔÏÑÔ ÅÄÉÎÉÃÙ: ÎÁÐÒÉÍÅÒ, ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÉÚ
     ÏÄÎÉÈ ÎÕÌÅÊ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÐÕÓÔÏÍÕ ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ, ÉÚ ÏÄÎÉÈ ÅÄÉÎÉà ¡
     ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÍÕ ÒÑÄÕ, Á ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ 10101010 . . . ¡ ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ
     Þ¾ÔÎÙÈ ÞÉÓÅÌ.)
   • íÎÏÖÅÓÔ×Ï ÂÅÓËÏÎÅÞÎÙÈ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÃÉÆÒ 0, 1, 2, 3 ÒÁ×ÎÏ-
     ÍÏÝÎÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÙÈ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÃÉÆÒ 0 É 1. (÷
     ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ÍÏÖÎÏ ÚÁËÏÄÉÒÏ×ÁÔØ ÃÉÆÒÙ 0, 1, 2, 3 ÇÒÕÐÐÁÍÉ 00, 01, 10,
     11. ïÂÒÁÔÎÏÅ ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ ÒÁÚÂÉ×ÁÅÔ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÎÕÌÅÊ É
     ÅÄÉÎÉÃ ÎÁ ÐÁÒÙ, ÐÏÓÌÅ ÞÅÇÏ ËÁÖÄÁÑ ÐÁÒÁ ÚÁÍÅÎÑÅÔÓÑ ÎÁ ÃÉÆÒÕ ÏÔ 0
     ÄÏ 3.)
   • íÎÏÖÅÓÔ×Ï ÂÅÓËÏÎÅÞÎÙÈ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÃÉÆÒ 0, 1, 2 ÒÁ×ÎÏÍÏÝ-
     ÎÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÙÈ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÃÉÆÒ 0 É 1. (íÏÖÎÏ
     ÂÙÌÏ ÂÙ ÐÙÔÁÔØÓÑ ÒÁÓÓÕÖÄÁÔØ ÔÁË: ÜÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÚÁËÌÀÞÅÎÏ ÍÅÖÄÕ
     Ä×ÕÍÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ ÏÄÎÏÊ É ÔÏÊ ÖÅ ÍÏÝÎÏÓÔÉ, É ÐÏÔÏÍÕ ÒÁ×ÎÏÍÏÝÎÏ
     ËÁÖÄÏÍÕ ÉÚ ÎÉÈ. üÔÏÔ ÈÏÄ ÍÙÓÌÅÊ ÐÒÁ×ÉÌÅÎ, ËÁË ÐÏËÁÚÙ×ÁÅÔ ÔÅÏÒÅÍÁ
     ëÁÎÔÏÒÁ âÅÒÎÛÔÅÊÎÁ ÉÚ ÒÁÚÄÅÌÁ 5. îÏ ÚÄÅÓØ ÍÏÖÎÏ ÏÂÏÊÔÉÓØ É ÂÅÚ
     ÜÔÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ, ÅÓÌÉ ÚÁËÏÄÉÒÏ×ÁÔØ ÃÉÆÒÙ 0, 1 É 2 ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÑ-
     ÍÉ 0, 10 É 11: ÌÅÇËÏ ÓÏÏÂÒÁÚÉÔØ, ÞÔÏ ×ÓÑËÁÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÎÕÌÅÊ
     É ÅÄÉÎÉà ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÒÁÚÂÉ×ÁÅÔÓÑ ÎÁ ÔÁËÉÅ ÂÌÏËÉ ÓÌÅ×Á ÎÁÐÒÁ×Ï. ôÁËÏÊ
     ÓÐÏÓÏ ËÏÄÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÐÒÅÆÉËÓÎÙÍ ËÏÄÏÍ.)
   • ðÒÉÍÅÒ Ó ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÑÍÉ ÎÕÌÅÊ É ÅÄÉÎÉà ÍÏÖÎÏ ÏÂÏÂÝÉÔØ:
     ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ× ÌÀÂÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á U (ÏÎÏ ÏÂÙÞÎÏ ÏÂÏÚÎÁÞÁ-
     ÅÔÓÑ P (U) É ÐÏ-ÁÎÇÌÉÊÓËÉ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ power set) ÒÁ×ÎÏÍÏÝÎÏ ÍÎÏÖÅ-
     ÓÔ×Õ ×ÓÅÈ ÆÕÎËÃÉÊ, ËÏÔÏÒÙÅ ÓÔÁ×ÑÔ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ËÁÖÄÏÍÕ ÜÌÅÍÅÎÔÕ
     x ∈ U ÏÄÎÏ ÉÚ ÞÉÓÅÌ 0 É 1 (ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÔÁËÉÈ ÆÕÎËÃÉÊ ÏÂÙÞÎÏ ÏÂÏÚÎÁ-
     ÞÁÀÔ 2X ). (÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ËÁÖÄÏÍÕ ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ X ⊂ U ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ
     ÅÇÏ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ.)

Страницы