Математическая логика и теория алгоритмов. Самохин А.В. - 120 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

120 çÌÁ×Á VI. éÓÞÉÓÌÅÎÉÅ ÐÒÅÄÉËÁÔÏ×
• ÌÀÂÏÅ ×ÈÏÖÄÅÎÉÅ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ × ÔÅÒÍ Ó×ÏÂÏÄÎÏ;
• Ó×ÏÂÏÄÎÙÅ ×ÈÏÖÄÅÎÉÑ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ × ÆÏÒÍÕÌÕ ϕ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ Å¾ Ó×ÏÂÏÄÎÙ-
ÍÉ ×ÈÏÖÄÅÎÉÑÍÉ × ÆÏÒÍÕÌÕ ¬ϕ;
• Ó×ÏÂÏÄÎÙÅ ×ÈÏÖÄÅÎÉÑ ÌÀÂÏÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ × ÏÄÎÕ ÉÚ ÆÏÒÍÕÌ ϕ É ψ Ñ×ÌÑ-
ÀÔÓÑ Ó×ÏÂÏÄÎÙÍÉ ×ÈÏÖÄÅÎÉÑÍÉ × (ϕ ∧ ψ), (ϕ ∨ ψ) É (ϕ → ψ);
• ÐÅÒÅÍÅÎÎÁÑ ξ ÎÅ ÉÍÅÅÔ Ó×ÏÂÏÄÎÙÈ ×ÈÏÖÄÅÎÉÊ × ÆÏÒÍÕÌÙ ∀ξ ϕ É ∃ξ ϕ;
Ó×ÏÂÏÄÎÙÅ ×ÈÏÖÄÅÎÉÑ ÏÓÔÁÌØÎÙÈ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ × ϕ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ Ó×ÏÂÏÄÎÙ-
ÍÉ ×ÈÏÖÄÅÎÉÑÍÉ × ÜÔÉ Ä×Å ÆÏÒÍÕÌÙ.
óÒÁ×ÎÉ×ÁÑ ÜÔÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ Ó ÉÎÄÕËÔÉ×ÎÙÍ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅÍ ÐÁÒÁÍÅÔÒÏ×
ÆÏÒÍÕÌÙ × ÒÁÚÄÅÌÅ 2, ÍÙ ×ÉÄÉÍ, ÞÔÏ ÐÁÒÁÍÅÔÒÙ ¡ ÜÔÏ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÅ, ÉÍÅÀ-
ÝÉÅ Ó×ÏÂÏÄÎÙÅ ×ÈÏÖÄÅÎÉÑ × ÆÏÒÍÕÌÕ.
÷ÈÏÖÄÅÎÉÑ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ, ÎÅ Ñ×ÌÑÀÝÉÅÓÑ Ó×ÏÂÏÄÎÙÍÉ (× ÔÏÍ ÞÉÓÌÅ ÓÔÏÑ-
ÝÉÅ ÒÑÄÏÍ Ó Ë×ÁÎÔÏÒÏÍ) ÎÁÚÙ×ÁÀÔ Ó×ÑÚÁÎÎÙÍÉ. îÁÐÒÉÍÅÒ, ÐÅÒÅÍÅÎÎÁÑ x
ÉÍÅÅÔ ÏÄÎÏ Ó×ÏÂÏÄÎÏÅ É ÔÒÉ Ó×ÑÚÁÎÎÙÈ ×ÈÏÖÄÅÎÉÑ × ÆÏÒÍÕÌÕ A(x) ∧ ∃x
B(x, x).
ôÅÐÅÒØ ÍÏÖÎÏ ×ÎÅÓÔÉ ÐÏÐÒÁ×ËÕ × ÓËÁÚÁÎÎÏÅ ×ÙÛÅ É ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ÁËÓÉÏ-
ÍÁÍÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÆÏÒÍÕÌÙ
∀ξ ϕ → ϕ(t/ξ),
ÇÄÅ ϕ(t/ξ) ÅÓÔØ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÉ t ×ÍÅÓÔÏ ×ÓÅÈ Ó×ÏÂÏÄÎÙÈ ×ÈÏÖÄÅÎÉÊ
ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ ξ. ïÄÎÁËÏ ÔÁËÏÊ ÏÇÏ×ÏÒËÉ ÎÅÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ, ËÁË ÐÏËÁÚÙ×ÁÅÔ ÓÌÅÄÕ-
ÀÝÉÊ ÐÒÉÍÅÒ.
ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ f(y) ×ÍÅÓÔÏ x × ÆÏÒÍÕÌÕ ∀z B(x, z), ÍÙ ÐÏÌÕÞÁÅÍ (× ÐÏÌÎÏÍ
ÓÏÇÌÁÓÉÉ Ó ÎÁÛÅÊ ÉÎÔÕÉÃÉÅÊ) ÆÏÒÍÕÌÕ ∀z B(f(y), z). ôÅÐÅÒØ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ
ÆÏÒÍÕÌÕ ∀y B(x, y), ËÏÔÏÒÁÑ ÏÔÌÉÞÁÅÔÓÑ ÏÔ ∀z B(x, z) ÌÉÛØ ÉÍÅÎÅÍ Ó×ÑÚÁÎ-
ÎÏÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ É ÄÏÌÖÎÁ ÉÍÅÔØ ÔÏÔ ÖÅ ÓÍÙÓÌ. ðÅÒÅÍÅÎÎÁÑ x × ÎÅÊ ÐÏ-ÐÒÅÖ-
ÎÅÍÕ Ó×ÏÂÏÄÎÁ, ÎÏ ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÁ f(y) ×ÍÅÓÔÏ x ÄÁ¾Ô ÆÏÒÍÕÌÕ ∀y B(f(y), y)),
× ËÏÔÏÒÏÊ f(y) ÎÅÏÖÉÄÁÎÎÏ ÄÌÑ ÓÅÂÑ ÐÏÐÁÄÁÅÔ × ÏÂÌÁÓÔØ ÄÅÊÓÔ×ÉÑ Ë×ÁÎÔÏÒÁ
ÐÏ y. ôÁËÏÅ Ñ×ÌÅÎÉÅ ÉÎÏÇÄÁ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ËÏÌÌÉÚÉÅÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ; ÐÒÉ ÜÔÏÍ ÐÏÄ-
ÓÔÁÎÏ×ËÁ ÄÁ¾Ô ÆÏÒÍÕÌÕ, ÉÍÅÀÝÕÀ ÓÏ×ÓÅÍ ÎÅ ÔÏÔ ÓÍÙÓÌ, ËÁËÏÊ ÍÙ ÈÏÔÅÌÉ.
úÁÄÁÞÁ 156. ðÒÉ×ÅÄÉÔÅ ÐÒÉÍÅÒ ÆÏÒÍÕÌÙ ×ÉÄÁ ∀ξ ϕ → ϕ(t/ξ), × ËÏÔÏ-
ÒÏÊ ÐÒÏÉÓÈÏÄÉÔ ËÏÌÌÉÚÉÑ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ É ËÏÔÏÒÁÑ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÂÝÅÚÎÁÞÉ-
ÍÏÊ. (ïÔ×ÅÔ: ∀x ∃y A(x, y) → ∃yA(y, y).)
ðÏÜÔÏÍÕ ÎÁÍ ÐÒÉľÔÓÑ ÐÒÉÎÑÔØ Åݾ ÏÄÎÕ ÍÅÒÕ ÐÒÅÄÏÓÔÏÒÏÖÎÏÓÔÉ É ÆÏÒ-
ÍÁÌØÎÏ ÏÐÒÅÄÅÌÉÔØ ÐÏÎÑÔÉÅ ËÏÒÒÅËÔÎÏÊ ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÉ ÔÅÒÍÁ ×ÍÅÓÔÏ ÐÅÒÅ-
ÍÅÎÎÏÊ. íÙ ÂÕÄÅÍ ÇÏ×ÏÒÉÔØ, ÞÔÏ ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÁ ÔÅÒÍÁ t ×ÍÅÓÔÏ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ ξ
ËÏÒÒÅËÔÎÁ, ÅÓÌÉ × ÐÒÏÃÅÓÓÅ ÔÅËÓÔÕÁÌØÎÏÊ ÚÁÍÅÎÙ ×ÓÅÈ Ó×ÏÂÏÄÎÙÈ ×ÈÏÖÄÅ-
ÎÉÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ ξ ÎÁ ÔÅÒÍ t ÎÉËÁËÁÑ ÐÅÒÅÍÅÎÎÁÑ ÉÚ t ÎÅ ÐÏÐÁÄÁÅÔ × ÏÂÌÁÓÔØ
ÄÅÊÓÔ×ÉÑ ÏÄÎÏÉ;ÎÎÏÇÏ Ë×ÁÎÔÏÒÁ.
120                                    çÌÁ×Á VI. éÓÞÉÓÌÅÎÉÅ ÐÒÅÄÉËÁÔÏ×

   • ÌÀÂÏÅ ×ÈÏÖÄÅÎÉÅ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ × ÔÅÒÍ Ó×ÏÂÏÄÎÏ;
   • Ó×ÏÂÏÄÎÙÅ ×ÈÏÖÄÅÎÉÑ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ × ÆÏÒÍÕÌÕ ϕ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ Å¾ Ó×ÏÂÏÄÎÙ-
      ÍÉ ×ÈÏÖÄÅÎÉÑÍÉ × ÆÏÒÍÕÌÕ ¬ϕ;
   • Ó×ÏÂÏÄÎÙÅ ×ÈÏÖÄÅÎÉÑ ÌÀÂÏÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ × ÏÄÎÕ ÉÚ ÆÏÒÍÕÌ ϕ É ψ Ñ×ÌÑ-
      ÀÔÓÑ Ó×ÏÂÏÄÎÙÍÉ ×ÈÏÖÄÅÎÉÑÍÉ × (ϕ ∧ ψ), (ϕ ∨ ψ) É (ϕ → ψ);
   • ÐÅÒÅÍÅÎÎÁÑ ξ ÎÅ ÉÍÅÅÔ Ó×ÏÂÏÄÎÙÈ ×ÈÏÖÄÅÎÉÊ × ÆÏÒÍÕÌÙ ∀ξ ϕ É ∃ξ ϕ;
      Ó×ÏÂÏÄÎÙÅ ×ÈÏÖÄÅÎÉÑ ÏÓÔÁÌØÎÙÈ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ × ϕ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ Ó×ÏÂÏÄÎÙ-
      ÍÉ ×ÈÏÖÄÅÎÉÑÍÉ × ÜÔÉ Ä×Å ÆÏÒÍÕÌÙ.
  óÒÁ×ÎÉ×ÁÑ ÜÔÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ Ó ÉÎÄÕËÔÉ×ÎÙÍ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅÍ ÐÁÒÁÍÅÔÒÏ×
ÆÏÒÍÕÌÙ × ÒÁÚÄÅÌÅ 2, ÍÙ ×ÉÄÉÍ, ÞÔÏ ÐÁÒÁÍÅÔÒÙ ¡ ÜÔÏ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÅ, ÉÍÅÀ-
ÝÉÅ Ó×ÏÂÏÄÎÙÅ ×ÈÏÖÄÅÎÉÑ × ÆÏÒÍÕÌÕ.
  ÷ÈÏÖÄÅÎÉÑ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ, ÎÅ Ñ×ÌÑÀÝÉÅÓÑ Ó×ÏÂÏÄÎÙÍÉ (× ÔÏÍ ÞÉÓÌÅ ÓÔÏÑ-
ÝÉÅ ÒÑÄÏÍ Ó Ë×ÁÎÔÏÒÏÍ) ÎÁÚÙ×ÁÀÔ Ó×ÑÚÁÎÎÙÍÉ. îÁÐÒÉÍÅÒ, ÐÅÒÅÍÅÎÎÁÑ x
ÉÍÅÅÔ ÏÄÎÏ Ó×ÏÂÏÄÎÏÅ É ÔÒÉ Ó×ÑÚÁÎÎÙÈ ×ÈÏÖÄÅÎÉÑ × ÆÏÒÍÕÌÕ A(x) ∧ ∃x
B(x, x).
  ôÅÐÅÒØ ÍÏÖÎÏ ×ÎÅÓÔÉ ÐÏÐÒÁ×ËÕ × ÓËÁÚÁÎÎÏÅ ×ÙÛÅ É ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ÁËÓÉÏ-
ÍÁÍÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÆÏÒÍÕÌÙ
                             ∀ξ ϕ → ϕ(t/ξ),
ÇÄÅ ϕ(t/ξ) ÅÓÔØ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÉ t ×ÍÅÓÔÏ ×ÓÅÈ Ó×ÏÂÏÄÎÙÈ ×ÈÏÖÄÅÎÉÊ
ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ ξ. ïÄÎÁËÏ ÔÁËÏÊ ÏÇÏ×ÏÒËÉ ÎÅÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ, ËÁË ÐÏËÁÚÙ×ÁÅÔ ÓÌÅÄÕ-
ÀÝÉÊ ÐÒÉÍÅÒ.
   ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ f (y) ×ÍÅÓÔÏ x × ÆÏÒÍÕÌÕ ∀z B(x, z), ÍÙ ÐÏÌÕÞÁÅÍ (× ÐÏÌÎÏÍ
ÓÏÇÌÁÓÉÉ Ó ÎÁÛÅÊ ÉÎÔÕÉÃÉÅÊ) ÆÏÒÍÕÌÕ ∀z B(f (y), z). ôÅÐÅÒØ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ
ÆÏÒÍÕÌÕ ∀y B(x, y), ËÏÔÏÒÁÑ ÏÔÌÉÞÁÅÔÓÑ ÏÔ ∀z B(x, z) ÌÉÛØ ÉÍÅÎÅÍ Ó×ÑÚÁÎ-
ÎÏÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ É ÄÏÌÖÎÁ ÉÍÅÔØ ÔÏÔ ÖÅ ÓÍÙÓÌ. ðÅÒÅÍÅÎÎÁÑ x × ÎÅÊ ÐÏ-ÐÒÅÖ-
ÎÅÍÕ Ó×ÏÂÏÄÎÁ, ÎÏ ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÁ f (y) ×ÍÅÓÔÏ x ÄÁ¾Ô ÆÏÒÍÕÌÕ ∀y B(f (y), y)),
× ËÏÔÏÒÏÊ f (y) ÎÅÏÖÉÄÁÎÎÏ ÄÌÑ ÓÅÂÑ ÐÏÐÁÄÁÅÔ × ÏÂÌÁÓÔØ ÄÅÊÓÔ×ÉÑ Ë×ÁÎÔÏÒÁ
ÐÏ y. ôÁËÏÅ Ñ×ÌÅÎÉÅ ÉÎÏÇÄÁ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ËÏÌÌÉÚÉÅÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ ; ÐÒÉ ÜÔÏÍ ÐÏÄ-
ÓÔÁÎÏ×ËÁ ÄÁ¾Ô ÆÏÒÍÕÌÕ, ÉÍÅÀÝÕÀ ÓÏ×ÓÅÍ ÎÅ ÔÏÔ ÓÍÙÓÌ, ËÁËÏÊ ÍÙ ÈÏÔÅÌÉ.
  úÁÄÁÞÁ 156. ðÒÉ×ÅÄÉÔÅ ÐÒÉÍÅÒ ÆÏÒÍÕÌÙ ×ÉÄÁ ∀ξ ϕ → ϕ(t/ξ), × ËÏÔÏ-
ÒÏÊ ÐÒÏÉÓÈÏÄÉÔ ËÏÌÌÉÚÉÑ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ É ËÏÔÏÒÁÑ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÂÝÅÚÎÁÞÉ-
ÍÏÊ. (ïÔ×ÅÔ: ∀x ∃y A(x, y) → ∃yA(y, y).)
   ðÏÜÔÏÍÕ ÎÁÍ ÐÒÉľÔÓÑ ÐÒÉÎÑÔØ Åݾ ÏÄÎÕ ÍÅÒÕ ÐÒÅÄÏÓÔÏÒÏÖÎÏÓÔÉ É ÆÏÒ-
ÍÁÌØÎÏ ÏÐÒÅÄÅÌÉÔØ ÐÏÎÑÔÉÅ ËÏÒÒÅËÔÎÏÊ ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÉ ÔÅÒÍÁ ×ÍÅÓÔÏ ÐÅÒÅ-
ÍÅÎÎÏÊ. íÙ ÂÕÄÅÍ ÇÏ×ÏÒÉÔØ, ÞÔÏ ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÁ ÔÅÒÍÁ t ×ÍÅÓÔÏ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ ξ
ËÏÒÒÅËÔÎÁ, ÅÓÌÉ × ÐÒÏÃÅÓÓÅ ÔÅËÓÔÕÁÌØÎÏÊ ÚÁÍÅÎÙ ×ÓÅÈ Ó×ÏÂÏÄÎÙÈ ×ÈÏÖÄÅ-
ÎÉÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ ξ ÎÁ ÔÅÒÍ t ÎÉËÁËÁÑ ÐÅÒÅÍÅÎÎÁÑ ÉÚ t ÎÅ ÐÏÐÁÄÁÅÔ × ÏÂÌÁÓÔØ
ÄÅÊÓÔ×ÉÑ ÏÄÎÏÉ;ÎÎÏÇÏ Ë×ÁÎÔÏÒÁ.

Страницы