Математическая логика и теория алгоритмов. Самохин А.В. - 119 стр.

§2. áËÓÉÏÍÙ É ÐÒÁ×ÉÌÁ ×Ù×ÏÄÁ                                        119

ÎÉÈ ÓÌÅÄÕÅÔ (ÎÁÐÒÉÍÅÒ, ÉÚ A ∧ B ÓÌÅÄÏ×ÁÌÏ B), Á ÄÒÕÇÉÅ ¡ ËÁË ÉÈ ÍÏÖ-
ÎÏ ÄÏËÁÚÁÔØ (ÎÁÐÒÉÍÅÒ, ÁËÓÉÏÍÁ (A → (B → (A ∧ B))) ÇÏ×ÏÒÉÌÁ, ÞÔÏ ÄÌÑ
ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á (A ∧ B) ÎÁÄÏ ÄÏËÁÚÁÔØ A É B). ë×ÁÎÔÏÒÙ ×ÓÅÏÂÝÎÏÓÔÉ É ÓÕ-
ÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ × ÎÅËÏÔÏÒÏÍ ÓÍÙÓÌÅ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÙ ËÏÎßÀÎËÃÉÉ É ÄÉÚßÀÎËÃÉÉ,
É ÁËÓÉÏÍÙ ÄÌÑ ÎÉÈ ÔÏÖÅ ÂÕÄÕÔ ÐÏÈÏÖÉÍÉ. îÁÐÒÉÍÅÒ, ÓÒÅÄÉ ÁËÓÉÏÍ ÂÕÄÅÔ
ÆÏÒÍÕÌÁ
                             ∀x A(x) → A(t),
ÇÄÅ A ¡ ÏÄÎÏÍÅÓÔÎÙÊ ÐÒÅÄÉËÁÔÎÙÊ ÓÉÍ×ÏÌ ÎÁÛÅÊ ÓÉÇÎÁÔÕÒÙ, Á t ¡ ËÏÎ-
ÓÔÁÎÔÁ, ÐÅÒÅÍÅÎÎÁÑ ÉÌÉ ×ÏÏÂÝÅ ÌÀÂÏÊ ÔÅÒÍ. (åÓÌÉ A ×ÅÒÎÏ ÄÌÑ ×ÓÅÈ x, ÔÏ
ÏÎÏ ÄÏÌÖÎÏ ÂÙÔØ ×ÅÒÎÏ É ÄÌÑ ÎÁÛÅÇÏ ËÏÎËÒÅÔÎÏÇÏ t. íÏÖÎÏ ÓËÁÚÁÔØ É ÔÁË:
ÉÚ ¥ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÊ ËÏÎßÀÎËÃÉÉ¥ ×ÓÅÈ A(x) ×ÙÔÅËÁÅÔ ÏÄÉÎ ÉÚ Å¾ ÞÌÅÎÏ×.)
   ëÏÎÅÞÎÏ, ÔÁËÕÀ ÁËÓÉÏÍÕ ÎÁÄÏ ÉÍÅÔØ ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÄÌÑ ÏÄÎÏÍÅÓÔÎÏÇÏ ÐÒÅÄÉ-
ËÁÔÎÏÇÏ ÓÉÍ×ÏÌÁ A, ÎÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ÆÏÒÍÕÌÙ ϕ, ÌÀÂÏÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ ξ É ÌÀÂÏÇÏ
ÔÅÒÍÁ t. åÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÓËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ϕ ¡ ÌÀÂÁÑ ÆÏÒÍÕÌÁ, Á t ¡ ÌÀÂÏÊ
ÔÅÒÍ, ÔÏ ÆÏÒÍÕÌÁ
                              ∀ξ ϕ → ϕ(t/ξ),
ÇÄÅ ϕ(t/ξ) ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÉ t ×ÍÅÓÔÏ ×ÓÅÈ ×ÈÏÖÄÅÎÉÊ ÐÅ-
ÒÅÍÅÎÎÏÊ ξ × ÆÏÒÍÕÌÕ ϕ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÁËÓÉÏÍÏÊ. (úÁÐÉÓØ ϕ(t/ξ) ÍÏÖÎÏ ÞÉÔÁÔØ
ËÁË ¥ÆÉ ÏÔ ÔÜ ×ÍÅÓÔÏ ËÓÉ¥.)
   ë ÓÏÖÁÌÅÎÉÀ, ×Ó¾ ÎÅ ÔÁË ÐÒÏÓÔÏ. îÁÐÒÉÍÅÒ, ÅÓÌÉ ÆÏÒÍÕÌÁ ϕ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ
                            A(x) ∧ ∃x B(x, x),
ÔÏ ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÁ ÔÅÒÍÁ f (y) ×ÍÅÓÔÏ x ÄÁÓÔ ÁÂÓÕÒÄÎÏÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ
                      A(f (y)) ∧ ∃f (y) B(f (y), f (y)),
×ÏÏÂÝÅ ÎÅ Ñ×ÌÑÀÝÅÅÓÑ ÆÏÒÍÕÌÏÊ. á ÅÓÌÉ ÐÏÄÓÔÁ×ÉÔØ f (y) ÔÏÌØËÏ ×ÎÕÔÒÉ A
É B, ÔÏ ÐÏÌÕÞÉÔÓÑ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ
                       A(f (y)) ∧ ∃x B(f (y), f (y)),
ËÏÔÏÒÏÅ ÈÏÔÑ É ÂÕÄÅÔ ÆÏÒÍÕÌÏÊ, ÎÏ ÉÍÅÅÔ ÓÏ×ÓÅÍ ÎÅ ÔÏÔ ÓÍÙÓÌ, ËÏÔÏÒÙÊ ÎÁÍ
ÎÕÖÅÎ.
   ëÏÎÅÞÎÏ, × ÄÁÎÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÐÏ ÓÍÙÓÌÕ ÑÓÎÏ, ÞÔÏ ÐÏÄÓÔÁ×ÌÑÔØ f (y) ÎÁÄÏ
ÌÉÛØ ×ÍÅÓÔÏ ÓÁÍÏÇÏ ÐÅÒ×ÏÇÏ ×ÈÏÖÄÅÎÉÑ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ x. îÏ ÅÓÌÉ ÍÙ ÈÏÔÉÍ
ÏÐÒÅÄÅÌÉÔØ ÆÏÒÍÁÌØÎÕÀ ÓÉÓÔÅÍÕ ÁËÓÉÏÍ É ÐÒÁ×ÉÌ ×Ù×ÏÄÁ, ÔÏ ÎÁÄÏ ÄÁÔØ
ÆÏÒÍÁÌØÎÙÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ.
   äÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ Ë×ÁÎÔÏÒÁ × ÆÏÒÍÕÌÅ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÅÇÏ ÏÂÌÁÓÔØ ÄÅÊÓÔ×ÉÑ ¡
ÎÁÞÉÎÁÀÝÕÀÓÑ Ó ÎÅÇÏ ÐÏÄÆÏÒÍÕÌÕ. ó×ÏÂÏÄÎÙÍ ×ÈÏÖÄÅÎÉÅÍ ÉÎÄÉ×ÉÄÎÏÊ ÐÅ-
ÒÅÍÅÎÎÏÊ × ÆÏÒÍÕÌÕ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ×ÈÏÖÄÅÎÉÅ, ÎÅ ÐÏÐÁÄÁÀÝÅÅ × ÏÂÌÁÓÔØ ÄÅÊ-
ÓÔ×ÉÑ ÏÄÎÏÉ;ÎÎÏÇÏ Ë×ÁÎÔÏÒÁ. ìÅÇËÏ ÐÏÎÑÔØ, ÞÔÏ ÜÔÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÍÏÖÎÏ
ÐÅÒÅÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ ÉÎÄÕËÔÉ×ÎÏ: