Математическая логика и теория алгоритмов. Самохин А.В. - 117 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§1. ïÂÝÅÚÎÁÞÉÍÙÅ ÆÏÒÍÕÌÙ 117
íÎÏÇÉÅ ×ÏÐÒÏÓÙ ÍÏÖÎÏ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ ËÁË ×ÏÐÒÏÓÙ Ï ÏÂÝÅÚÎÁÞÉÍÏÓÔÉ
ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÆÏÒÍÕÌ. îÁÐÒÉÍÅÒ, ÍÏÖÎÏ ÚÁÐÉÓÁÔØ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏÓÔÉ,
ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÓÔÉ É ÁÎÔÉÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÓÔÉ × ×ÉÄÅ ÆÏÒÍÕÌ R, T É A ÓÉÇÎÁÔÕÒÙ
(=, <) É ÚÁÔÅÍ ÎÁÐÉÓÁÔØ ÆÏÒÍÕÌÕ
R ∧ T ∧ A → ∃x ∀y ((y < x) ∨ (y = x)).
ïÂÝÅÚÎÁÞÉÍÏÓÔØ ÜÔÏÊ ÆÏÒÍÕÌÙ ÏÚÎÁÞÁÌÁ ÂÙ, ÞÔÏ ÌÀÂÏÅ ÌÉÎÅÊÎÏ ÕÐÏÒÑÄÏ-
ÞÅÎÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÉÍÅÅÔ ÎÁÉÂÏÌØÛÉÊ ÜÌÅÍÅÎÔ, ÔÁË ÞÔÏ ÏÎÁ ÎÅ ÏÂÝÅÚÎÁÞÉÍÁ.
úÁÄÁÞÁ 151. îÁÐÉÛÉÔÅ ÆÏÒÍÕÌÙ R, T, A É ÐÒÏ×ÅÒØÔÅ, ÞÔÏ ÐÒÉ×ÅľÎ-
ÎÁÑ ÎÁÍÉ ÆÏÒÍÕÌÁ ÎÅ ÏÂÝÅÚÎÁÞÉÍÁ, ÈÏÔÑ ÉÓÔÉÎÎÁ ×Ï ×ÓÅÈ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÉÎ-
ÔÅÒÐÒÅÔÁÃÉÑÈ.
úÁÄÁÞÁ 152. éÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ ÆÏÒÍÕÌÁ ÉÓÔÉÎÎÁ ×Ï ×ÓÅÈ ËÏÎÅÞÎÙÈ É
ÓÞ¾ÔÎÙÈ ÉÎÔÅÒÐÒÅÔÁÃÉÑÈ. íÏÖÎÏ ÌÉ ÉÚ ÜÔÏÇÏ ÚÁËÌÀÞÉÔØ, ÞÔÏ ÏÎÁ ÏÂ-
ÝÅÚÎÁÞÉÍÁ? (õËÁÚÁÎÉÅ: ×ÏÓÐÏÌØÚÕÊÔÅÓØ ÔÅÏÒÅÍÏÊ ìÅ×ÅÎÇÅÊÍÁ óËÏÌÅÍÁ
ÏÂ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏÊ ÐÏÄÍÏÄÅÌÉ.)
ä×Å ÆÏÒÍÕÌÙ ϕ É ψ (Ó ÐÁÒÁÍÅÔÒÁÍÉ ÉÌÉ ÂÅÚ) ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÜË×É×ÁÌÅÎÔ-
ÎÙÍÉ, ÅÓÌÉ × ÌÀÂÏÊ ÉÎÔÅÒÐÒÅÔÁÃÉÉ É ÎÁ ÌÀÂÏÊ ÏÃÅÎËÅ, ÎÁ ËÏÔÏÒÏÊ ÉÓÔÉÎÎÁ
ÏÄÎÁ ÉÚ ÎÉÈ, ÉÓÔÉÎÎÁ É ÄÒÕÇÁÑ. üÔÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÔÁËÏÍÕ: ÆÏÒ-
ÍÕÌÁ ϕ ↔ ψ ÏÂÝÅÚÎÁÞÉÍÁ. úÄÅÓØ, ÎÁÐÏÍÎÉÍ, ϕ ↔ ψ ÅÓÔØ ÓÏËÒÁÝÅÎÉÅ ÄÌÑ
((ϕ → ψ) ∧ (ψ → ϕ)).
ïÂÝÅÚÎÁÞÉÍÏÓÔØ ÌÀÂÏÊ ÆÏÒÍÕÌÙ ϕ ÏÞÅ×ÉÄÎÏ ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÁ ÏÂÝÅÚÎÁÞÉÍÏ-
ÓÔÉ Å¾ ÚÁÍÙËÁÎÉÑ ¡ ÆÏÒÍÕÌÙ, ËÏÔÏÒÁÑ ÐÏÌÕÞÉÔÓÑ, ÅÓÌÉ ÓÌÅ×Á Ë ϕ ÐÒÉÐÉÓÁÔØ
Ë×ÁÎÔÏÒÙ ×ÓÅÏÂÝÎÏÓÔÉ ÐÏ ×ÓÅÍ ÐÁÒÁÍÅÔÒÁÍ.
ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÅ Ë ÏÂÝÅÚÎÁÞÉÍÏÓÔÉ ÐÏÎÑÔÉÅ ¡ ×ÙÐÏÌÎÉÍÏÓÔØ. æÏÒÍÕÌÁ ÎÁ-
ÚÙ×ÁÅÔÓÑ ×ÙÐÏÌÎÉÍÏÊ, ÅÓÌÉ ÏÎÁ ÉÓÔÉÎÎÁ × ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÉÎÔÅÒÐÒÅÔÁÃÉÉ ÎÁ ÎÅ-
ËÏÔÏÒÏÊ ÏÃÅÎËÅ. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÆÏÒÍÕÌÁ ϕ ÏÂÝÅÚÎÁÞÉÍÁ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ,
ËÏÇÄÁ ÆÏÒÍÕÌÁ ¬ϕ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ×ÙÐÏÌÎÉÍÏÊ.
úÁÄÁÞÁ 153. úÁËÏÎÞÉÔÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ: ×ÙÐÏÌÎÉÍÏÓÔØ ÆÏÒÍÕÌÙ Ó ÐÁÒÁ-
ÍÅÔÒÁÍÉ ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÁ ×ÙÐÏÌÎÉÍÏÓÔÉ ÚÁÍËÎÕÔÏÊ ÆÏÒÍÕÌÙ, ËÏÔÏÒÁÑ ÐÏÌÕ-
ÞÉÔÓÑ, ÅÓÌÉ . . .
þÔÏÂÙ ÐÒÏ×ÅÒÉÔØ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉ ÆÏÒÍÕÌÁ ÔÁ×ÔÏÌÏÇÉÅÊ, ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÐÏÄÓÔÁ-
×ÉÔØ × Îž ×ÓÅ ×ÏÚÍÏÖÎÙÅ ÎÁÂÏÒÙ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ. èÏÔÑ ÜÔÏÔ ÐÒÏÃÅÓÓ
ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÎÁ ÐÒÁËÔÉËÅ ÎÅ×ÙÐÏÌÎÉÍ (ÎÁÂÏÒÏ× ÓÌÉÛËÏÍ ÍÎÏÇÏ), ÔÅÏÒÅÔÉ-
ÞÅÓËÉ ÍÙ ÉÍÅÅÍ ÐÒÏÓÔÏÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÐÒÏ×ÅÒËÉ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉ ÆÏÒÍÕÌÁ ÔÁ×ÔÏ-
ÌÏÇÉÅÊ. äÌÑ ÏÂÝÅÚÎÁÞÉÍÙÈ ÆÏÒÍÕÌ × ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÔÁËÏÇÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÎÅ
ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ (ÔÅÏÒÅÍÁ þ¾ÒÞÁ; ž ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÍÏÖÎÏ ÐÒÏÞÅÓÔØ × [3]); ÏÎ
ÅÓÔØ ÔÏÌØËÏ ÄÌÑ ÏÞÅÎØ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÙÈ ËÌÁÓÓÏ× ÆÏÒÍÕÌ. îÁÐÒÉÍÅÒ, ÅÓÌÉ ÓÉÇ-
ÎÁÔÕÒÁ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÔÏÌØËÏ ÎÕÌØÍÅÓÔÎÙÅ ÐÒÅÄÉËÁÔÎÙÅ ÓÉÍ×ÏÌÙ, ÔÏ ÚÁÄÁÞÁ ÐÏ
§1. ïÂÝÅÚÎÁÞÉÍÙÅ ÆÏÒÍÕÌÙ                                           117

   íÎÏÇÉÅ ×ÏÐÒÏÓÙ ÍÏÖÎÏ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ ËÁË ×ÏÐÒÏÓÙ Ï ÏÂÝÅÚÎÁÞÉÍÏÓÔÉ
ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÆÏÒÍÕÌ. îÁÐÒÉÍÅÒ, ÍÏÖÎÏ ÚÁÐÉÓÁÔØ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏÓÔÉ,
ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÓÔÉ É ÁÎÔÉÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÓÔÉ × ×ÉÄÅ ÆÏÒÍÕÌ R, T É A ÓÉÇÎÁÔÕÒÙ
(=, <) É ÚÁÔÅÍ ÎÁÐÉÓÁÔØ ÆÏÒÍÕÌÕ
                 R ∧ T ∧ A → ∃x ∀y ((y < x) ∨ (y = x)).
ïÂÝÅÚÎÁÞÉÍÏÓÔØ ÜÔÏÊ ÆÏÒÍÕÌÙ ÏÚÎÁÞÁÌÁ ÂÙ, ÞÔÏ ÌÀÂÏÅ ÌÉÎÅÊÎÏ ÕÐÏÒÑÄÏ-
ÞÅÎÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÉÍÅÅÔ ÎÁÉÂÏÌØÛÉÊ ÜÌÅÍÅÎÔ, ÔÁË ÞÔÏ ÏÎÁ ÎÅ ÏÂÝÅÚÎÁÞÉÍÁ.
  úÁÄÁÞÁ 151. îÁÐÉÛÉÔÅ ÆÏÒÍÕÌÙ R, T, A É ÐÒÏ×ÅÒØÔÅ, ÞÔÏ ÐÒÉ×ÅľÎ-
ÎÁÑ ÎÁÍÉ ÆÏÒÍÕÌÁ ÎÅ ÏÂÝÅÚÎÁÞÉÍÁ, ÈÏÔÑ ÉÓÔÉÎÎÁ ×Ï ×ÓÅÈ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÉÎ-
ÔÅÒÐÒÅÔÁÃÉÑÈ.
   úÁÄÁÞÁ 152. éÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ ÆÏÒÍÕÌÁ ÉÓÔÉÎÎÁ ×Ï ×ÓÅÈ ËÏÎÅÞÎÙÈ É
ÓÞ¾ÔÎÙÈ ÉÎÔÅÒÐÒÅÔÁÃÉÑÈ. íÏÖÎÏ ÌÉ ÉÚ ÜÔÏÇÏ ÚÁËÌÀÞÉÔØ, ÞÔÏ ÏÎÁ ÏÂ-
ÝÅÚÎÁÞÉÍÁ? (õËÁÚÁÎÉÅ: ×ÏÓÐÏÌØÚÕÊÔÅÓØ ÔÅÏÒÅÍÏÊ ìÅ×ÅÎÇÅÊÍÁ óËÏÌÅÍÁ
ÏÂ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏÊ ÐÏÄÍÏÄÅÌÉ.)
   ä×Å ÆÏÒÍÕÌÙ ϕ É ψ (Ó ÐÁÒÁÍÅÔÒÁÍÉ ÉÌÉ ÂÅÚ) ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÜË×É×ÁÌÅÎÔ-
ÎÙÍÉ, ÅÓÌÉ × ÌÀÂÏÊ ÉÎÔÅÒÐÒÅÔÁÃÉÉ É ÎÁ ÌÀÂÏÊ ÏÃÅÎËÅ, ÎÁ ËÏÔÏÒÏÊ ÉÓÔÉÎÎÁ
ÏÄÎÁ ÉÚ ÎÉÈ, ÉÓÔÉÎÎÁ É ÄÒÕÇÁÑ. üÔÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÔÁËÏÍÕ: ÆÏÒ-
ÍÕÌÁ ϕ ↔ ψ ÏÂÝÅÚÎÁÞÉÍÁ. úÄÅÓØ, ÎÁÐÏÍÎÉÍ, ϕ ↔ ψ ÅÓÔØ ÓÏËÒÁÝÅÎÉÅ ÄÌÑ
((ϕ → ψ) ∧ (ψ → ϕ)).
   ïÂÝÅÚÎÁÞÉÍÏÓÔØ ÌÀÂÏÊ ÆÏÒÍÕÌÙ ϕ ÏÞÅ×ÉÄÎÏ ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÁ ÏÂÝÅÚÎÁÞÉÍÏ-
ÓÔÉ Å¾ ÚÁÍÙËÁÎÉÑ ¡ ÆÏÒÍÕÌÙ, ËÏÔÏÒÁÑ ÐÏÌÕÞÉÔÓÑ, ÅÓÌÉ ÓÌÅ×Á Ë ϕ ÐÒÉÐÉÓÁÔØ
Ë×ÁÎÔÏÒÙ ×ÓÅÏÂÝÎÏÓÔÉ ÐÏ ×ÓÅÍ ÐÁÒÁÍÅÔÒÁÍ.
   ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÅ Ë ÏÂÝÅÚÎÁÞÉÍÏÓÔÉ ÐÏÎÑÔÉÅ ¡ ×ÙÐÏÌÎÉÍÏÓÔØ. æÏÒÍÕÌÁ ÎÁ-
ÚÙ×ÁÅÔÓÑ ×ÙÐÏÌÎÉÍÏÊ, ÅÓÌÉ ÏÎÁ ÉÓÔÉÎÎÁ × ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÉÎÔÅÒÐÒÅÔÁÃÉÉ ÎÁ ÎÅ-
ËÏÔÏÒÏÊ ÏÃÅÎËÅ. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÆÏÒÍÕÌÁ ϕ ÏÂÝÅÚÎÁÞÉÍÁ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ,
ËÏÇÄÁ ÆÏÒÍÕÌÁ ¬ϕ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ×ÙÐÏÌÎÉÍÏÊ.
  úÁÄÁÞÁ 153. úÁËÏÎÞÉÔÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ: ×ÙÐÏÌÎÉÍÏÓÔØ ÆÏÒÍÕÌÙ Ó ÐÁÒÁ-
ÍÅÔÒÁÍÉ ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÁ ×ÙÐÏÌÎÉÍÏÓÔÉ ÚÁÍËÎÕÔÏÊ ÆÏÒÍÕÌÙ, ËÏÔÏÒÁÑ ÐÏÌÕ-
ÞÉÔÓÑ, ÅÓÌÉ . . .
   þÔÏÂÙ ÐÒÏ×ÅÒÉÔØ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉ ÆÏÒÍÕÌÁ ÔÁ×ÔÏÌÏÇÉÅÊ, ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÐÏÄÓÔÁ-
×ÉÔØ × Îž ×ÓÅ ×ÏÚÍÏÖÎÙÅ ÎÁÂÏÒÙ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ. èÏÔÑ ÜÔÏÔ ÐÒÏÃÅÓÓ
ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÎÁ ÐÒÁËÔÉËÅ ÎÅ×ÙÐÏÌÎÉÍ (ÎÁÂÏÒÏ× ÓÌÉÛËÏÍ ÍÎÏÇÏ), ÔÅÏÒÅÔÉ-
ÞÅÓËÉ ÍÙ ÉÍÅÅÍ ÐÒÏÓÔÏÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÐÒÏ×ÅÒËÉ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉ ÆÏÒÍÕÌÁ ÔÁ×ÔÏ-
ÌÏÇÉÅÊ. äÌÑ ÏÂÝÅÚÎÁÞÉÍÙÈ ÆÏÒÍÕÌ × ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÔÁËÏÇÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÎÅ
ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ (ÔÅÏÒÅÍÁ þ¾ÒÞÁ; ž ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÍÏÖÎÏ ÐÒÏÞÅÓÔØ × [3]); ÏÎ
ÅÓÔØ ÔÏÌØËÏ ÄÌÑ ÏÞÅÎØ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÙÈ ËÌÁÓÓÏ× ÆÏÒÍÕÌ. îÁÐÒÉÍÅÒ, ÅÓÌÉ ÓÉÇ-
ÎÁÔÕÒÁ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÔÏÌØËÏ ÎÕÌØÍÅÓÔÎÙÅ ÐÒÅÄÉËÁÔÎÙÅ ÓÉÍ×ÏÌÙ, ÔÏ ÚÁÄÁÞÁ ÐÏ

Страницы