Математическая логика и теория алгоритмов. Самохин А.В. - 116 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

çìá÷á VI
éÓÞÉÓÌÅÎÉÅ ÐÒÅÄÉËÁÔÏ×
§1. ïÂÝÅÚÎÁÞÉÍÙÅ ÆÏÒÍÕÌÙ
éÓÞÉÓÌÅÎÉÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ (ÇÌÁ×Á IV) ÐÏÚ×ÏÌÑÌÏ ×Ù×ÏÄÉÔØ ×ÓÅ ÔÁ×ÔÏÌÏ-
ÇÉÉ ÉÚ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÎÁÂÏÒÁ ÂÁÚÉÓÎÙÈ ÔÁ×ÔÏÌÏÇÉÊ (ÎÁÚ×ÁÎÎÙÈ ÁËÓÉÏÍÁÍÉ) Ó
ÐÏÍÏÝØÀ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÐÒÁ×ÉÌ ×Ù×ÏÄÁ (ÎÁ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÐÒÁ×ÉÌÁ
modus ponens). óÅÊÞÁÓ ÍÙ ÈÏÔÉÍ ÒÅÛÉÔØ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÕÀ ÚÁÄÁÞÕ ÄÌÑ ÆÏÒ-
ÍÕÌ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ. óÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÅ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÅ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉ-
ÅÍ ÐÒÅÄÉËÁÔÏ×.
ðÕÓÔØ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÁ ÎÅËÏÔÏÒÁÑ ÓÉÇÎÁÔÕÒÁ σ. æÏÒÍÕÌÁ ϕ ÜÔÏÊ ÓÉÇÎÁÔÕÒÙ
(×ÏÚÍÏÖÎÏ, Ó ÐÁÒÁÍÅÔÒÁÍÉ) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÂÝÅÚÎÁÞÉÍÏÊ, ÅÓÌÉ ÏÎÁ ÉÓÔÉÎÎÁ ×
ÌÀÂÏÊ ÉÎÔÅÒÐÒÅÔÁÃÉÉ ÓÉÇÎÁÔÕÒÙ σ ÎÁ ÌÀÂÏÊ ÏÃÅÎËÅ.
ïÂÝÅÚÎÁÞÉÍÙÅ ÆÏÒÍÕÌÙ × ÌÏÇÉËÅ ÐÒÅÄÉËÁÔÏ× ÉÇÒÁÀÔ ÔÕ ÖÅ ÒÏÌØ, ÞÔÏ
ÔÁ×ÔÏÌÏÇÉÉ × ÌÏÇÉËÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ. íÅÖÄÕ ÎÉÍÉ ÅÓÔØ É ÆÏÒÍÁÌØÎÁÑ Ó×ÑÚØ:
ÅÓÌÉ ×ÚÑÔØ ÌÀÂÕÀ ÔÁ×ÔÏÌÏÇÉÀ É ×ÍÅÓÔÏ ×ÈÏÄÑÝÉÈ × Îž ÐÒÏÐÏÚÉÃÉÏÎÁÌØÎÙÈ
ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ ÐÏÄÓÔÁ×ÉÔØ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÅ ÆÏÒÍÕÌÙ ÓÉÇÎÁÔÕÒÙ σ, ÐÏÌÕÞÉÔÓÑ ÏÂ-
ÝÅÚÎÁÞÉÍÁÑ ÆÏÒÍÕÌÁ. ÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ÐÕÓÔØ ÅÓÔØ ÎÅËÏÔÏÒÁÑ ÉÎÔÅÒÐÒÅÔÁÃÉÑ
ÓÉÇÎÁÔÕÒÙ σ É ÎÅËÏÔÏÒÁÑ ÏÃÅÎËÁ (ÔÏ ÅÓÔØ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÙ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÉÎÄÉ×ÉÄ-
ÎÙÈ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ). ôÏÇÄÁ ËÁÖÄÁÑ ÉÚ ÐÏÄÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÈ ÆÏÒÍÕÌ ÓÔÁÎÅÔ ÉÓÔÉÎÎÏÊ
ÉÌÉ ÌÏÖÎÏÊ, Á ÚÎÁÞÅÎÉÅ ×ÓÅÊ ÆÏÒÍÕÌÙ ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ Ó ÐÏÍÏÝØÀ ÔÁÂÌÉÃ ÉÓ-
ÔÉÎÎÏÓÔÉ ÄÌÑ ÌÏÇÉÞÅÓËÉÈ Ó×ÑÚÏË, ÔÏ ÅÓÔØ ÐÏ ÔÅÍ ÖÅ ÐÒÁ×ÉÌÁÍ, ÞÔÏ × ÌÏÇÉËÅ
×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ.
ëÏÎÅÞÎÏ, ÂÙ×ÁÀÔ É ÄÒÕÇÉÅ ÏÂÝÅÚÎÁÞÉÍÙÅ ÆÏÒÍÕÌÙ, ÎÅ Ñ×ÌÑÀÝÉÅÓÑ ÞÁÓÔ-
ÎÙÍ ÓÌÕÞÁÑÍÉ ÐÒÏÐÏÚÉÃÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÔÁ×ÔÏÌÏÇÉÊ. îÁÐÒÉÍÅÒ, ÆÏÒÍÕÌÁ
∀x A(x) → ∃yA(y)
ÏÂÝÅÚÎÁÞÉÍÁ (ÚÄÅÓØ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ, ÞÔÏ ÎÏÓÉÔÅÌØ ÌÀÂÏÊ ÉÎÔÅÒÐÒÅÔÁÃÉÉ ÎÅ-
ÐÕÓÔ). äÒÕÇÉÅ ÐÒÉÍÅÒÙ ÏÂÝÅÚÎÁÞÉÍÙÈ ÆÏÒÍÕÌ (×Ï ×ÔÏÒÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ϕ ¡ ÐÒÏ-
ÉÚ×ÏÌØÎÁÑ ÆÏÒÍÕÌÁ):
∃y ∀x B(x, y) → ∀x ∃y B(x, y), ¬∀x ¬ϕ → ∃x ϕ.
úÁÄÁÞÁ 150. âÕÄÅÔ ÌÉ ÏÂÝÅÚÎÁÞÉÍÁ ÆÏÒÍÕÌÁ
( Á) ∀x ∃y B(x, y) → ∃y ∀x B(x, y);
( Â) ¬∀x ∃y B(x, y) → ∃x ∀y ¬B(x, y)?
116
                           çìá÷á VI
               éÓÞÉÓÌÅÎÉÅ ÐÒÅÄÉËÁÔÏ×

  §1. ïÂÝÅÚÎÁÞÉÍÙÅ ÆÏÒÍÕÌÙ
   éÓÞÉÓÌÅÎÉÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ (ÇÌÁ×Á IV) ÐÏÚ×ÏÌÑÌÏ ×Ù×ÏÄÉÔØ ×ÓÅ ÔÁ×ÔÏÌÏ-
ÇÉÉ ÉÚ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÎÁÂÏÒÁ ÂÁÚÉÓÎÙÈ ÔÁ×ÔÏÌÏÇÉÊ (ÎÁÚ×ÁÎÎÙÈ ÁËÓÉÏÍÁÍÉ) Ó
ÐÏÍÏÝØÀ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÐÒÁ×ÉÌ ×Ù×ÏÄÁ (ÎÁ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÐÒÁ×ÉÌÁ
modus ponens). óÅÊÞÁÓ ÍÙ ÈÏÔÉÍ ÒÅÛÉÔØ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÕÀ ÚÁÄÁÞÕ ÄÌÑ ÆÏÒ-
ÍÕÌ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ. óÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÅ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÅ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉ-
ÅÍ ÐÒÅÄÉËÁÔÏ×.
   ðÕÓÔØ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÁ ÎÅËÏÔÏÒÁÑ ÓÉÇÎÁÔÕÒÁ σ. æÏÒÍÕÌÁ ϕ ÜÔÏÊ ÓÉÇÎÁÔÕÒÙ
(×ÏÚÍÏÖÎÏ, Ó ÐÁÒÁÍÅÔÒÁÍÉ) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÂÝÅÚÎÁÞÉÍÏÊ, ÅÓÌÉ ÏÎÁ ÉÓÔÉÎÎÁ ×
ÌÀÂÏÊ ÉÎÔÅÒÐÒÅÔÁÃÉÉ ÓÉÇÎÁÔÕÒÙ σ ÎÁ ÌÀÂÏÊ ÏÃÅÎËÅ.
   ïÂÝÅÚÎÁÞÉÍÙÅ ÆÏÒÍÕÌÙ × ÌÏÇÉËÅ ÐÒÅÄÉËÁÔÏ× ÉÇÒÁÀÔ ÔÕ ÖÅ ÒÏÌØ, ÞÔÏ
ÔÁ×ÔÏÌÏÇÉÉ × ÌÏÇÉËÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ. íÅÖÄÕ ÎÉÍÉ ÅÓÔØ É ÆÏÒÍÁÌØÎÁÑ Ó×ÑÚØ:
ÅÓÌÉ ×ÚÑÔØ ÌÀÂÕÀ ÔÁ×ÔÏÌÏÇÉÀ É ×ÍÅÓÔÏ ×ÈÏÄÑÝÉÈ × Îž ÐÒÏÐÏÚÉÃÉÏÎÁÌØÎÙÈ
ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ ÐÏÄÓÔÁ×ÉÔØ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÅ ÆÏÒÍÕÌÙ ÓÉÇÎÁÔÕÒÙ σ, ÐÏÌÕÞÉÔÓÑ ÏÂ-
ÝÅÚÎÁÞÉÍÁÑ ÆÏÒÍÕÌÁ. ÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ÐÕÓÔØ ÅÓÔØ ÎÅËÏÔÏÒÁÑ ÉÎÔÅÒÐÒÅÔÁÃÉÑ
ÓÉÇÎÁÔÕÒÙ σ É ÎÅËÏÔÏÒÁÑ ÏÃÅÎËÁ (ÔÏ ÅÓÔØ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÙ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÉÎÄÉ×ÉÄ-
ÎÙÈ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ). ôÏÇÄÁ ËÁÖÄÁÑ ÉÚ ÐÏÄÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÈ ÆÏÒÍÕÌ ÓÔÁÎÅÔ ÉÓÔÉÎÎÏÊ
ÉÌÉ ÌÏÖÎÏÊ, Á ÚÎÁÞÅÎÉÅ ×ÓÅÊ ÆÏÒÍÕÌÙ ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ Ó ÐÏÍÏÝØÀ ÔÁÂÌÉÃ ÉÓ-
ÔÉÎÎÏÓÔÉ ÄÌÑ ÌÏÇÉÞÅÓËÉÈ Ó×ÑÚÏË, ÔÏ ÅÓÔØ ÐÏ ÔÅÍ ÖÅ ÐÒÁ×ÉÌÁÍ, ÞÔÏ × ÌÏÇÉËÅ
×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ.
   ëÏÎÅÞÎÏ, ÂÙ×ÁÀÔ É ÄÒÕÇÉÅ ÏÂÝÅÚÎÁÞÉÍÙÅ ÆÏÒÍÕÌÙ, ÎÅ Ñ×ÌÑÀÝÉÅÓÑ ÞÁÓÔ-
ÎÙÍ ÓÌÕÞÁÑÍÉ ÐÒÏÐÏÚÉÃÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÔÁ×ÔÏÌÏÇÉÊ. îÁÐÒÉÍÅÒ, ÆÏÒÍÕÌÁ
                            ∀x A(x) → ∃yA(y)
ÏÂÝÅÚÎÁÞÉÍÁ (ÚÄÅÓØ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ, ÞÔÏ ÎÏÓÉÔÅÌØ ÌÀÂÏÊ ÉÎÔÅÒÐÒÅÔÁÃÉÉ ÎÅ-
ÐÕÓÔ). äÒÕÇÉÅ ÐÒÉÍÅÒÙ ÏÂÝÅÚÎÁÞÉÍÙÈ ÆÏÒÍÕÌ (×Ï ×ÔÏÒÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ϕ ¡ ÐÒÏ-
ÉÚ×ÏÌØÎÁÑ ÆÏÒÍÕÌÁ):

            ∃y ∀x B(x, y) → ∀x ∃y B(x, y),     ¬∀x ¬ϕ → ∃x ϕ.

  úÁÄÁÞÁ 150. âÕÄÅÔ ÌÉ ÏÂÝÅÚÎÁÞÉÍÁ ÆÏÒÍÕÌÁ
  ( Á) ∀x ∃y B(x, y) → ∃y ∀x B(x, y);
  ( Â) ¬∀x ∃y B(x, y) → ∃x ∀y ¬B(x, y)?
                                      116

Страницы