Математическая логика и теория алгоритмов. Самохин А.В. - 156 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

156 çÌÁ×Á VIII. õÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÙÅ ÆÕÎËÃÉÉ É ÎÅÒÁÚÒÅÛÉÍÏÓÔØ
§3. ðÅÒÅÞÉÓÌÉÍÏÅ ÎÅÒÁÚÒÅÛÉÍÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï
ôÅÐÅÒØ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÄÏËÁÚÁÔØ ÏÂÅÝÁÎÎÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ.
ôÅÏÒÅÍÁ 57. óÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÐÅÒÅÞÉÓÌÉÍÏÅ ÎÅÒÁÚÒÅÛÉÍÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï.
(ðÅÒÅÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÁ: ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÐÅÒÅÞÉÓÌÉÍÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï Ó ÎÅÐÅÒÅÞÉ-
ÓÌÉÍÙÍ ÄÏÐÏÌÎÅÎÉÅÍ.)
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ×ÙÞÉÓÌÉÍÕÀ ÆÕÎËÃÉÀ f(x), ÎÅ ÉÍÅÀÝÕÀ
×ÓÀÄÕ ÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÇÏ ×ÙÞÉÓÌÉÍÏÇÏ ÐÒÏÄÏÌÖÅÎÉÑ. å¾ ÏÂÌÁÓÔØ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ F
ÂÕÄÅÔ ÉÓËÏÍÙÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ. ÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, F ÐÅÒÅÞÉÓÌÉÍÏ (ÐÏ ÏÄÎÏÍÕ ÉÚ
ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÊ ÐÅÒÅÞÉÓÌÉÍÏÓÔÉ). åÓÌÉ ÂÙ F ÂÙÌÏ ÒÁÚÒÅÛÉÍÏ, ÔÏ ÆÕÎËÃÉÑ
g(x) =
f(x), ÅÓÌÉ x ∈ F ,
0, ÅÓÌÉ x /∈ F
ÂÙÌÁ ÂÙ ×ÙÞÉÓÌÉÍÙÍ ×ÓÀÄÕ ÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÙÍ ÐÒÏÄÏÌÖÅÎÉÅÍ ÆÕÎËÃÉÉ f (ÐÒÉ
×ÙÞÉÓÌÅÎÉÉ g(x) ÍÙ ÓÎÁÞÁÌÁ ÐÒÏ×ÅÒÑÅÍ, ÌÅÖÉÔ ÌÉ x × F , ÅÓÌÉ ÌÅÖÉÔ, ÔÏ
×ÙÞÉÓÌÑÅÍ f(x)).
ðÏÌÅÚÎÏ ÐÒÏÓÌÅÄÉÔØ, ËÁËÏÅ ÉÍÅÎÎÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï × ÉÔÏÇÅ ÏËÁÚÁÌÏÓØ ÐÅÒÅ-
ÞÉÓÌÉÍÙÍ É ÎÅÒÁÚÒÅÛÉÍÙÍ. ìÅÇËÏ ÐÏÎÑÔØ, ÞÔÏ ÜÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÔÅÈ n, ÐÒÉ
ËÏÔÏÒÙÈ U(n, n) ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÏ. åÓÌÉ ×ÓÐÏÍÎÉÔØ ËÏÎÓÔÒÕËÃÉÀ ÆÕÎËÃÉÉ U, ÔÏ
ÜÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÔÅÈ n, ÐÒÉ ËÏÔÏÒÙÈ n-Ñ ÐÒÏÇÒÁÍÍÁ ÏÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÅÔÓÑ ÎÁ n. ðÏ-
ÜÔÏÍÕ ÉÎÏÇÄÁ ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ ¥ÐÒÏÂÌÅÍÁ ÓÁÍÏÐÒÉÍÅÎÉÍÏÓÔÉ¥ (ÐÒÉÍÅÎÉÍÏÓÔÉ
ÐÒÏÇÒÁÍÍÙ Ë Ó×ÏÅÍÕ ÎÏÍÅÒÕ) ÎÅÒÁÚÒÅÛÉÍÁ.
úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÏÔÓÀÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ É ÏÂÌÁÓÔØ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ×ÓÅÊ ÕÎÉ×ÅÒ-
ÓÁÌØÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ U Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÅÒÅÞÉÓÌÉÍÙÍ ÎÅÒÁÚÒÅÛÉÍÙÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ
ÐÁÒ. (åÓÌÉ ÂÙ ÐÒÏÂÌÅÍÁ ×ÙÑÓÎÅÎÉÑ ÐÒÉÍÅÎÉÍÏÓÔÉ ÐÒÏÇÒÁÍÍÙ Ë ÐÒÏÉÚ×ÏÌØ-
ÎÏÍÕ ÁÒÇÕÍÅÎÔÕ ÂÙÌÁ ÂÙ ÒÁÚÒÅÛÉÍÁ, ÔÏ É Å¾ ÞÁÓÔÎÙÊ ÓÌÕÞÁÊ ¡ ÐÒÉÍÅÎÉ-
ÍÏÓÔØ ÐÒÏÇÒÁÍÍÙ Ë ÓÅÂÅ ¡ ÂÙÌ ÂÙ ÒÁÚÒÅÛÉÍ.)
úÁÄÁÞÁ 185. ðÕÓÔØ U ¡ ÐÅÒÅÞÉÓÌÉÍÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÐÁÒ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ
ÞÉÓÅÌ, ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÅ ÄÌÑ ËÌÁÓÓÁ ×ÓÅÈ ÐÅÒÅÞÉÓÌÉÍÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÎÁÔÕÒÁÌØ-
ÎÙÈ ÞÉÓÅÌ. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÅÇÏ ¥ÄÉÁÇÏÎÁÌØÎÏÅ ÓÅÞÅÎÉÅ¥ K = {x | hx, xi ∈
∈ U} Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÅÒÅÞÉÓÌÉÍÙÍ ÎÅÒÁÚÒÅÛÉÍÙÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ.
úÁÄÁÞÁ 186. îÅËÏÔÏÒÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï S ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÒÁÚÒÅÛÉÍÏ.
òÁÚÌÏÖÉÍ ×ÓÅ ÞÉÓÌÁ ÉÚ S ÎÁ ÐÒÏÓÔÙÅ ÍÎÏÖÉÔÅÌÉ É ÓÏÓÔÁ×ÉÍ ÍÎÏÖÅÓÔ-
×Ï D ×ÓÅÈ ÐÒÏÓÔÙÈ ÞÉÓÅÌ, ×ÓÔÒÅÞÁÀÝÉÈÓÑ × ÜÔÉÈ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑÈ. íÏÖÎÏ ÌÉ
ÕÔ×ÅÒÖÄÁÔØ, ÞÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï D ÒÁÚÒÅÛÉÍÏ?
156              çÌÁ×Á VIII. õÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÙÅ ÆÕÎËÃÉÉ É ÎÅÒÁÚÒÅÛÉÍÏÓÔØ

  §3. ðÅÒÅÞÉÓÌÉÍÏÅ ÎÅÒÁÚÒÅÛÉÍÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï
  ôÅÐÅÒØ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÄÏËÁÚÁÔØ ÏÂÅÝÁÎÎÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ.

   ôÅÏÒÅÍÁ 57. óÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÐÅÒÅÞÉÓÌÉÍÏÅ ÎÅÒÁÚÒÅÛÉÍÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï.
(ðÅÒÅÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÁ: ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÐÅÒÅÞÉÓÌÉÍÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï Ó ÎÅÐÅÒÅÞÉ-
ÓÌÉÍÙÍ ÄÏÐÏÌÎÅÎÉÅÍ.)

   äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ×ÙÞÉÓÌÉÍÕÀ ÆÕÎËÃÉÀ f (x), ÎÅ ÉÍÅÀÝÕÀ
×ÓÀÄÕ ÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÇÏ ×ÙÞÉÓÌÉÍÏÇÏ ÐÒÏÄÏÌÖÅÎÉÑ. å¾ ÏÂÌÁÓÔØ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ F
ÂÕÄÅÔ ÉÓËÏÍÙÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ. ÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, F ÐÅÒÅÞÉÓÌÉÍÏ (ÐÏ ÏÄÎÏÍÕ ÉÚ
ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÊ ÐÅÒÅÞÉÓÌÉÍÏÓÔÉ). åÓÌÉ ÂÙ F ÂÙÌÏ ÒÁÚÒÅÛÉÍÏ, ÔÏ ÆÕÎËÃÉÑ
                             
                               f (x), ÅÓÌÉ x ∈ F ,
                      g(x) =
                               0, ÅÓÌÉ x ∈/F

ÂÙÌÁ ÂÙ ×ÙÞÉÓÌÉÍÙÍ ×ÓÀÄÕ ÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÙÍ ÐÒÏÄÏÌÖÅÎÉÅÍ ÆÕÎËÃÉÉ f (ÐÒÉ
×ÙÞÉÓÌÅÎÉÉ g(x) ÍÙ ÓÎÁÞÁÌÁ ÐÒÏ×ÅÒÑÅÍ, ÌÅÖÉÔ ÌÉ x × F , ÅÓÌÉ ÌÅÖÉÔ, ÔÏ
×ÙÞÉÓÌÑÅÍ f (x)).

   ðÏÌÅÚÎÏ ÐÒÏÓÌÅÄÉÔØ, ËÁËÏÅ ÉÍÅÎÎÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï × ÉÔÏÇÅ ÏËÁÚÁÌÏÓØ ÐÅÒÅ-
ÞÉÓÌÉÍÙÍ É ÎÅÒÁÚÒÅÛÉÍÙÍ. ìÅÇËÏ ÐÏÎÑÔØ, ÞÔÏ ÜÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÔÅÈ n, ÐÒÉ
ËÏÔÏÒÙÈ U(n, n) ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÏ. åÓÌÉ ×ÓÐÏÍÎÉÔØ ËÏÎÓÔÒÕËÃÉÀ ÆÕÎËÃÉÉ U, ÔÏ
ÜÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÔÅÈ n, ÐÒÉ ËÏÔÏÒÙÈ n-Ñ ÐÒÏÇÒÁÍÍÁ ÏÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÅÔÓÑ ÎÁ n. ðÏ-
ÜÔÏÍÕ ÉÎÏÇÄÁ ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ ¥ÐÒÏÂÌÅÍÁ ÓÁÍÏÐÒÉÍÅÎÉÍÏÓÔÉ¥ (ÐÒÉÍÅÎÉÍÏÓÔÉ
ÐÒÏÇÒÁÍÍÙ Ë Ó×ÏÅÍÕ ÎÏÍÅÒÕ) ÎÅÒÁÚÒÅÛÉÍÁ.
   úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÏÔÓÀÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ É ÏÂÌÁÓÔØ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ×ÓÅÊ ÕÎÉ×ÅÒ-
ÓÁÌØÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ U Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÅÒÅÞÉÓÌÉÍÙÍ ÎÅÒÁÚÒÅÛÉÍÙÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ
ÐÁÒ. (åÓÌÉ ÂÙ ÐÒÏÂÌÅÍÁ ×ÙÑÓÎÅÎÉÑ ÐÒÉÍÅÎÉÍÏÓÔÉ ÐÒÏÇÒÁÍÍÙ Ë ÐÒÏÉÚ×ÏÌØ-
ÎÏÍÕ ÁÒÇÕÍÅÎÔÕ ÂÙÌÁ ÂÙ ÒÁÚÒÅÛÉÍÁ, ÔÏ É Å¾ ÞÁÓÔÎÙÊ ÓÌÕÞÁÊ ¡ ÐÒÉÍÅÎÉ-
ÍÏÓÔØ ÐÒÏÇÒÁÍÍÙ Ë ÓÅÂÅ ¡ ÂÙÌ ÂÙ ÒÁÚÒÅÛÉÍ.)

  úÁÄÁÞÁ 185. ðÕÓÔØ U ¡ ÐÅÒÅÞÉÓÌÉÍÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÐÁÒ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ
ÞÉÓÅÌ, ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÅ ÄÌÑ ËÌÁÓÓÁ ×ÓÅÈ ÐÅÒÅÞÉÓÌÉÍÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÎÁÔÕÒÁÌØ-
ÎÙÈ ÞÉÓÅÌ. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÅÇÏ ¥ÄÉÁÇÏÎÁÌØÎÏÅ ÓÅÞÅÎÉÅ¥ K = {x | hx, xi ∈
∈ U} Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÅÒÅÞÉÓÌÉÍÙÍ ÎÅÒÁÚÒÅÛÉÍÙÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ.

   úÁÄÁÞÁ 186. îÅËÏÔÏÒÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï S ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÒÁÚÒÅÛÉÍÏ.
òÁÚÌÏÖÉÍ ×ÓÅ ÞÉÓÌÁ ÉÚ S ÎÁ ÐÒÏÓÔÙÅ ÍÎÏÖÉÔÅÌÉ É ÓÏÓÔÁ×ÉÍ ÍÎÏÖÅÓÔ-
×Ï D ×ÓÅÈ ÐÒÏÓÔÙÈ ÞÉÓÅÌ, ×ÓÔÒÅÞÁÀÝÉÈÓÑ × ÜÔÉÈ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑÈ. íÏÖÎÏ ÌÉ
ÕÔ×ÅÒÖÄÁÔØ, ÞÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï D ÒÁÚÒÅÛÉÍÏ?

Страницы