Математическая логика и теория алгоритмов. Самохин А.В. - 158 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

çìá÷á IX
îÕÍÅÒÁÃÉÉ É ÏÐÅÒÁÃÉÉ
§1. çÌÁ×ÎÙÅ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÙÅ ÆÕÎËÃÉÉ
ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ËÏÍÐÏÚÉÃÉÑ Ä×ÕÈ ×ÙÞÉÓÌÉÍÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ ×ÙÞÉÓÌÉÍÁ. ðÒÉ ÜÔÏÍ
ÜÔÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ËÁÖÅÔÓÑ ¥ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÙÍ¥ × ÔÏÍ ÓÍÙÓÌÅ, ÞÔÏ ÐÏ ÐÒÏÇÒÁÍ-
ÍÁÍ Ä×ÕÈ ÆÕÎËÃÉÊ ÍÏÖÎÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÉÞÅÓËÉ ÐÏÌÕÞÉÔØ ÐÒÏÇÒÁÍÍÕ ÉÈ ËÏÍÐÏ-
ÚÉÃÉÉ. ÷ ÒÁÚÕÍÎÏÍ ÑÚÙËÅ ÐÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÏÎÁ ÂÕÄÅÔ ÓÏÓÔÏÑÔØ ÉÚ Ä×ÕÈ
ÐÏÄÐÒÏÇÒÁÍÍ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ Ä×ÕÍ ×ÙÞÉÓÌÉÍÙÍ ÆÕÎËÃÉÑÍ, É ÇÌÁ×ÎÏÊ
ÐÒÏÇÒÁÍÍÙ Ó ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÓÔÒÏËÏÊ ¥return (f(g(x)))¥.
ïÄÎÁËÏ ÍÙ ÈÏÔÉÍ ÇÏ×ÏÒÉÔØ ÎÅ Ï ÐÒÏÇÒÁÍÍÁÈ (ÞÔÏÂÙ ÎÅ ×ÄÁ×ÁÔØÓÑ × ÄÅ-
ÔÁÌÉ ÑÚÙËÁ ÐÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ), Á Ï ÎÏÍÅÒÁÈ ÆÕÎËÃÉÊ. äÌÑ ÜÔÏÇÏ Õ ÎÁÓ ÅÓÔØ
ÓÒÅÄÓÔ×Á. éÍÅÎÎÏ, ×ÓÑËÁÑ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ U ÄÌÑ ËÌÁÓÓÁ ×ÙÞÉÓÌÉ-
ÍÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ ÏÄÎÏÇÏ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ ÚÁÄÁ¾Ô ÎÕÍÅÒÁÃÉÀ ÜÔÏÇÏ ËÌÁÓÓÁ: ÞÉÓÌÏ n
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÏÍÅÒÏÍ ÆÕÎËÃÉÉ U
n
: x 7→ U(n, x).
÷ÏÏÂÝÅ ÎÕÍÅÒÁÃÉÅÊ (ÂÏÌÅÅ ÔÏÞÎÏ, ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÊ ÎÕÍÅÒÁÃÉÅÊ) ÐÒÏÉÚ×ÏÌØ-
ÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á F ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ×ÓÀÄÕ ÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ν : N → F,
ÏÂÌÁÓÔØ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÅÓÔØ ×Ó¾ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï F. åÓÌÉ ν(n) = f, ÔÏ ÞÉÓÌÏ n
ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÎÏÍÅÒÏÍ ÏÂßÅËÔÁ f. ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ×ÓÑËÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ Ä×ÕÈ ÁÒÇÕ-
ÍÅÎÔÏ× ÚÁÄÁ¾Ô ÎÕÍÅÒÁÃÉÀ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ËÌÁÓÓÁ ÆÕÎËÃÉÊ ÏÄÎÏÇÏ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ (É
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÊ ÄÌÑ ÜÔÏÇÏ ËÌÁÓÓÁ).
îÁÛÁ ÃÅÌØ ¡ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ É ÄÏËÁÚÁÔØ ÔÁËÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ: (ÐÒÉ ÎÅ-
ËÏÔÏÒÙÈ ÕÓÌÏ×ÉÑÈ ÎÁ ÎÕÍÅÒÁÃÉÀ ×ÙÞÉÓÌÉÍÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ) ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÁÌÇÏ-
ÒÉÔÍ, ËÏÔÏÒÙÊ ÐÏ ÌÀÂÙÍ Ä×ÕÍ ÎÏÍÅÒÁÍ ×ÙÞÉÓÌÉÍÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ ÄÁ¾Ô ÎÅËÏ-
ÔÏÒÙÊ ÎÏÍÅÒ ÉÈ ËÏÍÐÏÚÉÃÉÉ.
ðÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ ÍÙ ÐÏÔÒÅÂÕÅÍ, ÞÔÏÂÙ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ, ÚÁÄÁÀÝÁÑ
ÎÕÍÅÒÁÃÉÀ, ÂÙÌÁ ×ÙÞÉÓÌÉÍÏÊ. (ôÁËÉÅ ÎÕÍÅÒÁÃÉÉ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ×ÙÞÉÓÌÉÍÙÍÉ.)
ïÄÎÁËÏ ÜÔÏÇÏ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÍÁÌÏ: ÎÁÍ ÐÏÔÒÅÂÕÅÔÓÑ, ÞÔÏÂÙ ÎÕÍÅÒÁÃÉÑ ÂÙÌÁ, ËÁË
ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÇÌÁ×ÎÏÊ (ǾÄÅÌÅ×ÏÊ).
ðÕÓÔØ U ¡ Ä×ÕÍÅÓÔÎÁÑ ×ÙÞÉÓÌÉÍÁÑ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ ÄÌÑ ËÌÁÓÓÁ
ÏÄÎÏÍÅÓÔÎÙÈ ×ÙÞÉÓÌÉÍÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ (ÔÅÒÍÉÎ ¥k-ÍÅÓÔÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ¥ ÏÚÎÁÞÁÅÔ
¥ÆÕÎËÃÉÑ k ÁÒÇÕÍÅÎÔÏ×¥). å¾ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÇÌÁ×ÎÏÊ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÊ ÆÕÎËÃÉ-
ÅÊ, ÅÓÌÉ ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ Ä×ÕÍÅÓÔÎÏÊ ×ÙÞÉÓÌÉÍÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ V ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ×ÓÀÄÕ
ÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÁÑ ×ÙÞÉÓÌÉÍÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ s(m), ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÊ
V (m, x) = U(s(m), x)
ÐÒÉ ×ÓÅÈ m É x (ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÐÏÎÉÍÁÅÔÓÑ, ËÁË ÏÂÙÞÎÏ, × ÔÏÍ ÓÍÙÓÌÅ, ÞÔÏ ÌÉÂÏ
158
                           çìá÷á IX
                 îÕÍÅÒÁÃÉÉ É ÏÐÅÒÁÃÉÉ

  §1. çÌÁ×ÎÙÅ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÙÅ ÆÕÎËÃÉÉ
   ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ËÏÍÐÏÚÉÃÉÑ Ä×ÕÈ ×ÙÞÉÓÌÉÍÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ ×ÙÞÉÓÌÉÍÁ. ðÒÉ ÜÔÏÍ
ÜÔÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ËÁÖÅÔÓÑ ¥ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÙÍ¥ × ÔÏÍ ÓÍÙÓÌÅ, ÞÔÏ ÐÏ ÐÒÏÇÒÁÍ-
ÍÁÍ Ä×ÕÈ ÆÕÎËÃÉÊ ÍÏÖÎÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÉÞÅÓËÉ ÐÏÌÕÞÉÔØ ÐÒÏÇÒÁÍÍÕ ÉÈ ËÏÍÐÏ-
ÚÉÃÉÉ. ÷ ÒÁÚÕÍÎÏÍ ÑÚÙËÅ ÐÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÏÎÁ ÂÕÄÅÔ ÓÏÓÔÏÑÔØ ÉÚ Ä×ÕÈ
ÐÏÄÐÒÏÇÒÁÍÍ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ Ä×ÕÍ ×ÙÞÉÓÌÉÍÙÍ ÆÕÎËÃÉÑÍ, É ÇÌÁ×ÎÏÊ
ÐÒÏÇÒÁÍÍÙ Ó ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÓÔÒÏËÏÊ ¥return (f(g(x)))¥.
   ïÄÎÁËÏ ÍÙ ÈÏÔÉÍ ÇÏ×ÏÒÉÔØ ÎÅ Ï ÐÒÏÇÒÁÍÍÁÈ (ÞÔÏÂÙ ÎÅ ×ÄÁ×ÁÔØÓÑ × ÄÅ-
ÔÁÌÉ ÑÚÙËÁ ÐÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ), Á Ï ÎÏÍÅÒÁÈ ÆÕÎËÃÉÊ. äÌÑ ÜÔÏÇÏ Õ ÎÁÓ ÅÓÔØ
ÓÒÅÄÓÔ×Á. éÍÅÎÎÏ, ×ÓÑËÁÑ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ U ÄÌÑ ËÌÁÓÓÁ ×ÙÞÉÓÌÉ-
ÍÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ ÏÄÎÏÇÏ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ ÚÁÄÁ¾Ô ÎÕÍÅÒÁÃÉÀ ÜÔÏÇÏ ËÌÁÓÓÁ: ÞÉÓÌÏ n
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÏÍÅÒÏÍ ÆÕÎËÃÉÉ Un : x 7→ U(n, x).
   ÷ÏÏÂÝÅ ÎÕÍÅÒÁÃÉÅÊ (ÂÏÌÅÅ ÔÏÞÎÏ, ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÊ ÎÕÍÅÒÁÃÉÅÊ) ÐÒÏÉÚ×ÏÌØ-
ÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á F ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ×ÓÀÄÕ ÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ν : N → F,
ÏÂÌÁÓÔØ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÅÓÔØ ×Ó¾ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï F. åÓÌÉ ν(n) = f , ÔÏ ÞÉÓÌÏ n
ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÎÏÍÅÒÏÍ ÏÂßÅËÔÁ f . ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ×ÓÑËÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ Ä×ÕÈ ÁÒÇÕ-
ÍÅÎÔÏ× ÚÁÄÁ¾Ô ÎÕÍÅÒÁÃÉÀ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ËÌÁÓÓÁ ÆÕÎËÃÉÊ ÏÄÎÏÇÏ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ (É
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÊ ÄÌÑ ÜÔÏÇÏ ËÌÁÓÓÁ).
   îÁÛÁ ÃÅÌØ ¡ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ É ÄÏËÁÚÁÔØ ÔÁËÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ: (ÐÒÉ ÎÅ-
ËÏÔÏÒÙÈ ÕÓÌÏ×ÉÑÈ ÎÁ ÎÕÍÅÒÁÃÉÀ ×ÙÞÉÓÌÉÍÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ) ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÁÌÇÏ-
ÒÉÔÍ, ËÏÔÏÒÙÊ ÐÏ ÌÀÂÙÍ Ä×ÕÍ ÎÏÍÅÒÁÍ ×ÙÞÉÓÌÉÍÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ ÄÁ¾Ô ÎÅËÏ-
ÔÏÒÙÊ ÎÏÍÅÒ ÉÈ ËÏÍÐÏÚÉÃÉÉ.
   ðÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ ÍÙ ÐÏÔÒÅÂÕÅÍ, ÞÔÏÂÙ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ, ÚÁÄÁÀÝÁÑ
ÎÕÍÅÒÁÃÉÀ, ÂÙÌÁ ×ÙÞÉÓÌÉÍÏÊ. (ôÁËÉÅ ÎÕÍÅÒÁÃÉÉ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ×ÙÞÉÓÌÉÍÙÍÉ.)
ïÄÎÁËÏ ÜÔÏÇÏ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÍÁÌÏ: ÎÁÍ ÐÏÔÒÅÂÕÅÔÓÑ, ÞÔÏÂÙ ÎÕÍÅÒÁÃÉÑ ÂÙÌÁ, ËÁË
ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÇÌÁ×ÎÏÊ (ǾÄÅÌÅ×ÏÊ).
   ðÕÓÔØ U ¡ Ä×ÕÍÅÓÔÎÁÑ ×ÙÞÉÓÌÉÍÁÑ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ ÄÌÑ ËÌÁÓÓÁ
ÏÄÎÏÍÅÓÔÎÙÈ ×ÙÞÉÓÌÉÍÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ (ÔÅÒÍÉÎ ¥k-ÍÅÓÔÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ¥ ÏÚÎÁÞÁÅÔ
¥ÆÕÎËÃÉÑ k ÁÒÇÕÍÅÎÔÏ×¥). å¾ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÇÌÁ×ÎÏÊ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÊ ÆÕÎËÃÉ-
ÅÊ, ÅÓÌÉ ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ Ä×ÕÍÅÓÔÎÏÊ ×ÙÞÉÓÌÉÍÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ V ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ×ÓÀÄÕ
ÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÁÑ ×ÙÞÉÓÌÉÍÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ s(m), ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÊ
                          V (m, x) = U(s(m), x)
ÐÒÉ ×ÓÅÈ m É x (ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÐÏÎÉÍÁÅÔÓÑ, ËÁË ÏÂÙÞÎÏ, × ÔÏÍ ÓÍÙÓÌÅ, ÞÔÏ ÌÉÂÏ
                                  158

Страницы