Математическая логика и теория алгоритмов. Самохин А.В. - 160 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

160 çÌÁ×Á IX. îÕÍÅÒÁÃÉÉ É ÏÐÅÒÁÃÉÉ
ôÅÐÅÒØ ÉÓÐÏÌØÚÕÅÍ Å¾ ÄÌÑ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÇÌÁ×ÎÏÊ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÊ ÆÕÎË-
ÃÉÉ U Ä×ÕÈ ÁÒÇÕÍÅÎÔÏ×. îÅÆÏÒÍÁÌØÎÏ ÇÏ×ÏÒÑ, ÍÙ ×ÓÔÒÏÉÍ ×ÎÕÔÒØ U ×ÓÅ
ÄÒÕÇÉÅ ×ÙÞÉÓÌÉÍÙÅ ÆÕÎËÃÉÉ Ä×ÕÈ ÁÒÇÕÍÅÎÔÏ×, É ÔÅÍ ÓÁÍÙÍ U ÓÔÁÎÅÔ
ÇÌÁ×ÎÏÊ. æÏÒÍÁÌØÎÏ ÇÏ×ÏÒÑ, ÐÏÌÏÖÉÍ U([n, u], v) = T (n, u, v) É ÐÒÏ×ÅÒÉÍ,
ÞÔÏ ÆÕÎËÃÉÑ U ÂÕÄÅÔ ÇÌÁ×ÎÏÊ. ìÀÂÁÑ ×ÙÞÉÓÌÉÍÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ V Ä×ÕÈ ÁÒÇÕ-
ÍÅÎÔÏ× ×ÓÔÒÅÞÁÅÔÓÑ ÓÒÅÄÉ ÓÅÞÅÎÉÊ ÆÕÎËÃÉÉ T : ÍÏÖÎÏ ÎÁÊÔÉ ÔÁËÏÅ n, ÞÔÏ
V (u, v) = T (n, u, v) ÄÌÑ ×ÓÅÈ u É v. ôÏÇÄÁ V (u, v) = U([n, u], v) ÄÌÑ ×ÓÅÈ u É v
É ÐÏÔÏÍÕ ÆÕÎËÃÉÑ s, ÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÁÑ ÆÏÒÍÕÌÏÊ s(u) = [n, u], ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ
ÔÒÅÂÏ×ÁÎÉÑÍ ÉÚ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÇÌÁ×ÎÏÊ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ.
îÕÍÅÒÁÃÉÉ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÇÌÁ×ÎÙÍ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÙÍ ÆÕÎËÃÉÑÍ, ÎÁÚÙ-
×ÁÀÔ ÇÌÁ×ÎÙÍÉ, ÉÌÉ Ç¾ÄÅÌÅ×ÙÍÉ.
ôÅÐÅÒØ ÕÖÅ ÍÏÖÎÏ ÄÏËÁÚÁÔØ ÔÏÞÎÙÊ ×ÁÒÉÁÎÔ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ, Ó ËÏÔÏÒÏÇÏ
ÍÙ ÎÁÞÁÌÉ.
ôÅÏÒÅÍÁ 59. ðÕÓÔØ U ¡ Ä×ÕÍÅÓÔÎÁÑ ÇÌÁ×ÎÁÑ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ
ÄÌÑ ËÌÁÓÓÁ ×ÙÞÉÓÌÉÍÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ ÏÄÎÏÇÏ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ. ôÏÇÄÁ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ
×ÓÀÄÕ ÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ c, ËÏÔÏÒÁÑ ÐÏ ÎÏÍÅÒÁÍ p É q Ä×ÕÈ ÆÕÎËÃÉÊ
ÏÄÎÏÇÏ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ ÄÁ¾Ô ÎÏÍÅÒ c(p, q) ÉÈ ËÏÍÐÏÚÉÃÉÉ: U
c(p,q)
ÅÓÔØ ËÏÍÐÏÚÉ-
ÃÉÑ U
p
◦ U
q
, ÔÏ ÅÓÔØ
U(c(p, q), x) = U(p, U(q, x))
ÄÌÑ ×ÓÅÈ p, q É x.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ Ä×ÕÍÅÓÔÎÕÀ ×ÙÞÉÓÌÉÍÕÀ ÆÕÎËÃÉÀ V , ÄÌÑ
ËÏÔÏÒÏÊ V ([p, q], x) = U(p, U(q, x)). ðÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ÇÌÁ×ÎÏÊ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØ-
ÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ, ÎÁÊľÔÓÑ ÔÁËÁÑ ×ÓÀÄÕ ÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÁÑ ÏÄÎÏÍÅÓÔÎÁÑ ×ÙÞÉÓÌÉÍÁÑ
ÆÕÎËÃÉÑ s, ÞÔÏ V (m, x) = U(s(m), x) ÄÌÑ ×ÓÅÈ m É x. ôÏÇÄÁ V ([p, q], x) =
= U(s([p, q]), x) É ÐÏÔÏÍÕ ÆÕÎËÃÉÑ c, ÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÁÑ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ c(p, q) =
= s([p, q]), ÂÕÄÅÔ ÉÓËÏÍÏÊ.
ðÏ×ÔÏÒÉÍ ÜÔÏ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÎÅÆÏÒÍÁÌØÎÏ. ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÇÌÁ×ÎÏÊ ÕÎÉ-
×ÅÒÓÁÌØÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ ÔÒÅÂÕÅÔ, ÞÔÏÂÙ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÄÒÕÇÏÇÏ ÑÚÙËÁ ÐÒÏÇÒÁÍÍÉ-
ÒÏ×ÁÎÉÑ, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÉÍÅÅÔÓÑ ×ÙÞÉÓÌÉÍÙÊ ÉÎÔÅÒÐÒÅÔÁÔÏÒ V , ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÌ
ÂÙ ×ÙÞÉÓÌÉÍÙÊ ÔÒÁÎÓÌÑÔÏÒ s ÐÒÏÇÒÁÍÍ ÜÔÏÇÏ ÑÚÙËÁ × ÐÒÏÇÒÁÍÍÙ ÑÚÙËÁ U.
(äÌÑ ËÒÁÔËÏÓÔÉ ÍÙ ÎÅ ÒÁÚÌÉÞÁÅÍ ÐÒÏÇÒÁÍÍÙ É ÉÈ ÎÏÍÅÒÁ É ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍ
ÞÉÓÌÏ m ËÁË U-ÐÒÏÇÒÁÍÍÕ ÆÕÎËÃÉÉ U
m
.)
ôÅÐÅÒØ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÎÏ×ÙÊ ÓÐÏÓÏ ÐÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ, ÐÒÉ ËÏÔÏÒÏÍ ÐÁ-
ÒÁ hp, qi ÏÂßÑ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÒÏÇÒÁÍÍÏÊ ËÏÍÐÏÚÉÃÉÉ ÆÕÎËÃÉÊ Ó U-ÐÒÏÇÒÁÍÍÁÍÉ p
É q. ðÏ ÕÓÌÏ×ÉÀ, ÔÁËÉÅ ÐÒÏÇÒÁÍÍÙ ÍÏÖÎÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÉÞÅÓËÉ ÔÒÁÎÓÌÉÒÏ×ÁÔØ
× U-ÐÒÏÇÒÁÍÍÙ, ÞÔÏ É ÔÒÅÂÏ×ÁÌÏÓØ ÄÏËÁÚÁÔØ.
ìÀÂÏÐÙÔÎÏ, ÞÔÏ ×ÅÒÎÏ É ÏÂÒÁÔÎÏÅ Ë ÔÅÏÒÅÍÅ 59 ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ:
160                                         çÌÁ×Á IX. îÕÍÅÒÁÃÉÉ É ÏÐÅÒÁÃÉÉ

   ôÅÐÅÒØ ÉÓÐÏÌØÚÕÅÍ Å¾ ÄÌÑ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÇÌÁ×ÎÏÊ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÊ ÆÕÎË-
ÃÉÉ U Ä×ÕÈ ÁÒÇÕÍÅÎÔÏ×. îÅÆÏÒÍÁÌØÎÏ ÇÏ×ÏÒÑ, ÍÙ ×ÓÔÒÏÉÍ ×ÎÕÔÒØ U ×ÓÅ
ÄÒÕÇÉÅ ×ÙÞÉÓÌÉÍÙÅ ÆÕÎËÃÉÉ Ä×ÕÈ ÁÒÇÕÍÅÎÔÏ×, É ÔÅÍ ÓÁÍÙÍ U ÓÔÁÎÅÔ
ÇÌÁ×ÎÏÊ. æÏÒÍÁÌØÎÏ ÇÏ×ÏÒÑ, ÐÏÌÏÖÉÍ U([n, u], v) = T (n, u, v) É ÐÒÏ×ÅÒÉÍ,
ÞÔÏ ÆÕÎËÃÉÑ U ÂÕÄÅÔ ÇÌÁ×ÎÏÊ. ìÀÂÁÑ ×ÙÞÉÓÌÉÍÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ V Ä×ÕÈ ÁÒÇÕ-
ÍÅÎÔÏ× ×ÓÔÒÅÞÁÅÔÓÑ ÓÒÅÄÉ ÓÅÞÅÎÉÊ ÆÕÎËÃÉÉ T : ÍÏÖÎÏ ÎÁÊÔÉ ÔÁËÏÅ n, ÞÔÏ
V (u, v) = T (n, u, v) ÄÌÑ ×ÓÅÈ u É v. ôÏÇÄÁ V (u, v) = U([n, u], v) ÄÌÑ ×ÓÅÈ u É v
É ÐÏÔÏÍÕ ÆÕÎËÃÉÑ s, ÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÁÑ ÆÏÒÍÕÌÏÊ s(u) = [n, u], ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ
ÔÒÅÂÏ×ÁÎÉÑÍ ÉÚ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÇÌÁ×ÎÏÊ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ.
  îÕÍÅÒÁÃÉÉ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÇÌÁ×ÎÙÍ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÙÍ ÆÕÎËÃÉÑÍ, ÎÁÚÙ-
×ÁÀÔ ÇÌÁ×ÎÙÍÉ, ÉÌÉ Ç¾ÄÅÌÅ×ÙÍÉ.
  ôÅÐÅÒØ ÕÖÅ ÍÏÖÎÏ ÄÏËÁÚÁÔØ ÔÏÞÎÙÊ ×ÁÒÉÁÎÔ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ, Ó ËÏÔÏÒÏÇÏ
ÍÙ ÎÁÞÁÌÉ.
  ôÅÏÒÅÍÁ 59. ðÕÓÔØ U ¡ Ä×ÕÍÅÓÔÎÁÑ ÇÌÁ×ÎÁÑ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ
ÄÌÑ ËÌÁÓÓÁ ×ÙÞÉÓÌÉÍÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ ÏÄÎÏÇÏ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ. ôÏÇÄÁ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ
×ÓÀÄÕ ÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ c, ËÏÔÏÒÁÑ ÐÏ ÎÏÍÅÒÁÍ p É q Ä×ÕÈ ÆÕÎËÃÉÊ
ÏÄÎÏÇÏ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ ÄÁ¾Ô ÎÏÍÅÒ c(p, q) ÉÈ ËÏÍÐÏÚÉÃÉÉ: Uc(p,q) ÅÓÔØ ËÏÍÐÏÚÉ-
ÃÉÑ Up ◦ Uq , ÔÏ ÅÓÔØ
                          U(c(p, q), x) = U(p, U(q, x))
ÄÌÑ ×ÓÅÈ p, q É x.
  äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ Ä×ÕÍÅÓÔÎÕÀ ×ÙÞÉÓÌÉÍÕÀ ÆÕÎËÃÉÀ V , ÄÌÑ
ËÏÔÏÒÏÊ V ([p, q], x) = U(p, U (q, x)). ðÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ÇÌÁ×ÎÏÊ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØ-
ÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ, ÎÁÊľÔÓÑ ÔÁËÁÑ ×ÓÀÄÕ ÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÁÑ ÏÄÎÏÍÅÓÔÎÁÑ ×ÙÞÉÓÌÉÍÁÑ
ÆÕÎËÃÉÑ s, ÞÔÏ V (m, x) = U(s(m), x) ÄÌÑ ×ÓÅÈ m É x. ôÏÇÄÁ V ([p, q], x) =
= U(s([p, q]), x) É ÐÏÔÏÍÕ ÆÕÎËÃÉÑ c, ÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÁÑ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ c(p, q) =
= s([p, q]), ÂÕÄÅÔ ÉÓËÏÍÏÊ.
   ðÏ×ÔÏÒÉÍ ÜÔÏ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÎÅÆÏÒÍÁÌØÎÏ. ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÇÌÁ×ÎÏÊ ÕÎÉ-
×ÅÒÓÁÌØÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ ÔÒÅÂÕÅÔ, ÞÔÏÂÙ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÄÒÕÇÏÇÏ ÑÚÙËÁ ÐÒÏÇÒÁÍÍÉ-
ÒÏ×ÁÎÉÑ, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÉÍÅÅÔÓÑ ×ÙÞÉÓÌÉÍÙÊ ÉÎÔÅÒÐÒÅÔÁÔÏÒ V , ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÌ
ÂÙ ×ÙÞÉÓÌÉÍÙÊ ÔÒÁÎÓÌÑÔÏÒ s ÐÒÏÇÒÁÍÍ ÜÔÏÇÏ ÑÚÙËÁ × ÐÒÏÇÒÁÍÍÙ ÑÚÙËÁ U.
(äÌÑ ËÒÁÔËÏÓÔÉ ÍÙ ÎÅ ÒÁÚÌÉÞÁÅÍ ÐÒÏÇÒÁÍÍÙ É ÉÈ ÎÏÍÅÒÁ É ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍ
ÞÉÓÌÏ m ËÁË U-ÐÒÏÇÒÁÍÍÕ ÆÕÎËÃÉÉ Um .)
   ôÅÐÅÒØ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÎÏ×ÙÊ ÓÐÏÓÏ ÐÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ, ÐÒÉ ËÏÔÏÒÏÍ ÐÁ-
ÒÁ hp, qi ÏÂßÑ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÒÏÇÒÁÍÍÏÊ ËÏÍÐÏÚÉÃÉÉ ÆÕÎËÃÉÊ Ó U-ÐÒÏÇÒÁÍÍÁÍÉ p
É q. ðÏ ÕÓÌÏ×ÉÀ, ÔÁËÉÅ ÐÒÏÇÒÁÍÍÙ ÍÏÖÎÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÉÞÅÓËÉ ÔÒÁÎÓÌÉÒÏ×ÁÔØ
× U-ÐÒÏÇÒÁÍÍÙ, ÞÔÏ É ÔÒÅÂÏ×ÁÌÏÓØ ÄÏËÁÚÁÔØ.
   ìÀÂÏÐÙÔÎÏ, ÞÔÏ ×ÅÒÎÏ É ÏÂÒÁÔÎÏÅ Ë ÔÅÏÒÅÍÅ 59 ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ:

Страницы