Математическая логика и теория алгоритмов. Самохин А.В. - 169 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§1. îÅÐÏÄ×ÉÖÎÁÑ ÔÏÞËÁ É ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ 169
É x. üÔÁ ÆÕÎËÃÉÑ É ÂÕÄÅÔ ÉÓËÏÍÙÍ ≡-ÐÒÏÄÏÌÖÅÎÉÅÍ. ÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ÅÓ-
ÌÉ f(n) ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÏ, ÔÏ s(n) ÂÕÄÅÔ ÄÒÕÇÉÍ ÎÏÍÅÒÏÍ ÔÏÊ ÖÅ ÆÕÎËÃÉÉ, ÞÔÏ
É f(n). (ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ f(n) ÎÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÏ, ÔÏ s(n) ÂÕÄÅÔ ÏÄÎÉÍ ÉÚ
ÎÏÍÅÒÏ× ÎÉÇÄÅ ÎÅ ÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ.)
äÌÑ ÚÁ×ÅÒÛÅÎÉÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÔÅÏÒÅÍÙ Ï ÎÅÐÏÄ×ÉÖÎÏÊ ÔÏÞËÅ ÏÓÔÁÌÏÓØ
ÐÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÞÔÏ ÕËÁÚÁÎÎÙÅ Ä×Á Ó×ÏÊÓÔ×Á ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ ÎÅÓÏ-
×ÍÅÓÔÎÙ. üÔÏ ÄÅÌÁÅÔÓÑ ÔÁË ÖÅ, ËÁË × ÔÅÏÒÅÍÅ 55 (ÒÁÚÄÅÌ 2). ÷ÏÚØÍ¾Í ×Ù-
ÞÉÓÌÉÍÕÀ ÆÕÎËÃÉÀ f, ÏÔ ËÏÔÏÒÏÊ ÎÉËÁËÁÑ ×ÙÞÉÓÌÉÍÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ ÎÅ ÍÏÖÅÔ
ÏÔÌÉÞÁÔØÓÑ ×ÓÀÄÕ (ÎÁÐÒÉÍÅÒ, ÄÉÁÇÏÎÁÌØÎÕÀ ÆÕÎËÃÉÀ x 7→ U(x, x) ÄÌÑ ÎÅ-
ËÏÔÏÒÏÊ ×ÙÞÉÓÌÉÍÏÊ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ U). ðÏ ÐÒÅÄÐÏÌÏÖÅÎÉÀ ÓÕÝÅ-
ÓÔ×ÕÅÔ ×ÓÀÄÕ ÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÅ ×ÙÞÉÓÌÉÍÏÅ ≡-ÐÒÏÄÏÌÖÅÎÉÅ g ÆÕÎËÃÉÉ f. òÁÓ-
ÓÍÏÔÒÉÍ ÆÕÎËÃÉÀ t(x) = h(g(x)), ÇÄÅ h ¡ ×ÙÞÉÓÌÉÍÁÑ ×ÓÀÄÕ ÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÁÑ
ÆÕÎËÃÉÑ, ÎÅ ÉÍÅÀÝÁÑ ≡-ÎÅÐÏÄ×ÉÖÎÏÊ ÔÏÞËÉ. ôÏÇÄÁ t ÂÕÄÅÔ ×ÓÀÄÕ ÏÔÌÉÞÁÔØ-
ÓÑ ÏÔ f. ÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ÅÓÌÉ f(x) ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÏ, ÔÏ f(x) ≡ g(x) 6≡ h(g(x)) = t(x),
É ÐÏÔÏÍÕ f(x) 6= t(x). åÓÌÉ ÖÅ f(x) ÎÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÏ, ÔÏ ÜÔÏÔ ÆÁËÔ ÓÁÍ ÐÏ ÓÅÂÅ
ÕÖÅ ÏÔÌÉÞÁÅÔ f(x) É t(x).
ôÅÏÒÅÍÕ Ï ÎÅÐÏÄ×ÉÖÎÏÊ ÔÏÞËÅ ÍÏÖÎÏ ÐÅÒÅÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ É ÔÁË:
ôÅÏÒÅÍÁ 66. ðÕÓÔØ U(n, x) ¡ ÇÌÁ×ÎÁÑ ×ÙÞÉÓÌÉÍÁÑ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÁÑ
ÆÕÎËÃÉÑ ÄÌÑ ËÌÁÓÓÁ ×ÙÞÉÓÌÉÍÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ ÏÄÎÏÇÏ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ. ðÕÓÔØ
V (n, x) ¡ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ ×ÙÞÉÓÌÉÍÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ. ôÏÇÄÁ ÆÕÎËÃÉÉ U É V ÓÏ-
×ÐÁÄÁÀÔ ÎÁ ÎÅËÏÔÏÒÏÍ ÓÅÞÅÎÉÉ: ÎÁÊľÔÓÑ ÔÁËÏÅ p, ÞÔÏ U
p
= V
p
, ÔÏ
ÅÓÔØ U(p, n) = V (p, n) ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ n.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ôÁË ËÁË ÆÕÎËÃÉÑ U Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÇÌÁ×ÎÏÊ, ÎÁÊÄ¾Í ÔÁËÕÀ
×ÓÀÄÕ ÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÕÀ ×ÙÞÉÓÌÉÍÕÀ ÆÕÎËÃÉÀ h, ÞÔÏ V (n, x) = U(h(n), x) ÐÒÉ
×ÓÅÈ n É x. ïÓÔÁÌÏÓØ ×ÚÑÔØ × ËÁÞÅÓÔ×Å p ÎÅÐÏÄ×ÉÖÎÕÀ ÔÏÞËÕ ÆÕÎËÃÉÉ h.
(ðÒÉÍÅÒ ÓÌÅÄÓÔ×ÉÑ ÉÚ ÜÔÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ: ËÁË ÂÙ ÎÉ ÓÔÁÒÁÌÉÓØ ÒÁÚÒÁÂÏÔÞÉ-
ËÉ, ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ Ä×ÕÈ ×ÅÒÓÉÊ ËÏÍÐÉÌÑÔÏÒÁ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÐÒÏÇÒÁÍÍÁ, ËÏÔÏÒÁÑ
ÏÄÉÎÁËÏ×Ï ÒÁÂÏÔÁÅÔ × ÏÂÅÉÈ ×ÅÒÓÉÑÈ ¡ ÎÁÐÒÉÍÅÒ, ÚÁÃÉËÌÉ×ÁÅÔÓÑ É ÔÁÍ, É
ÔÁÍ. ÷ÐÒÏÞÅÍ, ÜÔÏ ×Ó¾ ÖÅ ÎÅ ÎÁ×ÅÒÎÑËÁ, Á ÔÏÌØËÏ ÅÓÌÉ ËÏÍÐÉÌÑÔÏÒ ÚÁÄÁ¾Ô
ÇÌÁ×ÎÕÀ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÕÀ ÆÕÎËÃÉÀ ¡ ÎÏ ÎÁÄÏ ÏÞÅÎØ ÐÏÓÔÁÒÁÔØÓÑ, ÞÔÏÂÙ ÜÔÏ
ÂÙÌÏ ÎÅ ÔÁË!)
ðÏÕÞÉÔÅÌØÎÏ ÒÁÚ×ÅÒÎÕÔØ ÃÅÐÏÞËÕ ÐÒÉ×ÅľÎÎÙÈ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÊ É ÐÒÏÓÌÅ-
ÄÉÔØ, ËÁË ÓÔÒÏÉÔÓÑ ÎÅÐÏÄ×ÉÖÎÁÑ ÔÏÞËÁ. äÌÑ ÎÁÇÌÑÄÎÏÓÔÉ ×ÍÅÓÔÏ U(n, x)
ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÐÉÓÁÔØ [n](x) É ÞÉÔÁÔØ ÜÔÏ ¥ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÐÒÉÍÅÎÅÎÉÑ ÐÒÏÇÒÁÍÍÙ n
Ë ×ÈÏÄÕ x¥;
òÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅ ÎÁÞÉÎÁÅÔÓÑ Ó ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÉÑ ¥ÄÉÁÇÏÎÁÌØÎÏÊ¥ ÆÕÎË-
ÃÉÉ U(x, x), ËÏÔÏÒÕÀ ÔÅÐÅÒØ ÍÏÖÎÏ ÚÁÐÉÓÁÔØ ËÁË [x](x) (ÒÅÚÕÌØÔÁÔ
ÐÒÉÍÅÎÅÎÉÑ ÐÒÏÇÒÁÍÍÙ x Ë ÓÅÂÅ). äÁÌÅÅ ÍÙ ÓÔÒÏÉÍ Å¾ ×ÓÀÄÕ ÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÅ
§1. îÅÐÏÄ×ÉÖÎÁÑ ÔÏÞËÁ É ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ                            169

É x. üÔÁ ÆÕÎËÃÉÑ É ÂÕÄÅÔ ÉÓËÏÍÙÍ ≡-ÐÒÏÄÏÌÖÅÎÉÅÍ. ÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ÅÓ-
ÌÉ f (n) ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÏ, ÔÏ s(n) ÂÕÄÅÔ ÄÒÕÇÉÍ ÎÏÍÅÒÏÍ ÔÏÊ ÖÅ ÆÕÎËÃÉÉ, ÞÔÏ
É f (n). (ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ f (n) ÎÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÏ, ÔÏ s(n) ÂÕÄÅÔ ÏÄÎÉÍ ÉÚ
ÎÏÍÅÒÏ× ÎÉÇÄÅ ÎÅ ÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ.)
   äÌÑ ÚÁ×ÅÒÛÅÎÉÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÔÅÏÒÅÍÙ Ï ÎÅÐÏÄ×ÉÖÎÏÊ ÔÏÞËÅ ÏÓÔÁÌÏÓØ
ÐÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÞÔÏ ÕËÁÚÁÎÎÙÅ Ä×Á Ó×ÏÊÓÔ×Á ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ ÎÅÓÏ-
×ÍÅÓÔÎÙ. üÔÏ ÄÅÌÁÅÔÓÑ ÔÁË ÖÅ, ËÁË × ÔÅÏÒÅÍÅ 55 (ÒÁÚÄÅÌ 2). ÷ÏÚØÍ¾Í ×Ù-
ÞÉÓÌÉÍÕÀ ÆÕÎËÃÉÀ f , ÏÔ ËÏÔÏÒÏÊ ÎÉËÁËÁÑ ×ÙÞÉÓÌÉÍÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ ÎÅ ÍÏÖÅÔ
ÏÔÌÉÞÁÔØÓÑ ×ÓÀÄÕ (ÎÁÐÒÉÍÅÒ, ÄÉÁÇÏÎÁÌØÎÕÀ ÆÕÎËÃÉÀ x 7→ U(x, x) ÄÌÑ ÎÅ-
ËÏÔÏÒÏÊ ×ÙÞÉÓÌÉÍÏÊ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ U). ðÏ ÐÒÅÄÐÏÌÏÖÅÎÉÀ ÓÕÝÅ-
ÓÔ×ÕÅÔ ×ÓÀÄÕ ÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÅ ×ÙÞÉÓÌÉÍÏÅ ≡-ÐÒÏÄÏÌÖÅÎÉÅ g ÆÕÎËÃÉÉ f . òÁÓ-
ÓÍÏÔÒÉÍ ÆÕÎËÃÉÀ t(x) = h(g(x)), ÇÄÅ h ¡ ×ÙÞÉÓÌÉÍÁÑ ×ÓÀÄÕ ÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÁÑ
ÆÕÎËÃÉÑ, ÎÅ ÉÍÅÀÝÁÑ ≡-ÎÅÐÏÄ×ÉÖÎÏÊ ÔÏÞËÉ. ôÏÇÄÁ t ÂÕÄÅÔ ×ÓÀÄÕ ÏÔÌÉÞÁÔØ-
ÓÑ ÏÔ f . ÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ÅÓÌÉ f (x) ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÏ, ÔÏ f (x) ≡ g(x) 6≡ h(g(x)) = t(x),
É ÐÏÔÏÍÕ f (x) 6= t(x). åÓÌÉ ÖÅ f (x) ÎÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÏ, ÔÏ ÜÔÏÔ ÆÁËÔ ÓÁÍ ÐÏ ÓÅÂÅ
ÕÖÅ ÏÔÌÉÞÁÅÔ f (x) É t(x).
  ôÅÏÒÅÍÕ Ï ÎÅÐÏÄ×ÉÖÎÏÊ ÔÏÞËÅ ÍÏÖÎÏ ÐÅÒÅÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ É ÔÁË:
   ôÅÏÒÅÍÁ 66. ðÕÓÔØ U(n, x) ¡ ÇÌÁ×ÎÁÑ ×ÙÞÉÓÌÉÍÁÑ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÁÑ
ÆÕÎËÃÉÑ ÄÌÑ ËÌÁÓÓÁ ×ÙÞÉÓÌÉÍÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ ÏÄÎÏÇÏ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ. ðÕÓÔØ
V (n, x) ¡ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ ×ÙÞÉÓÌÉÍÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ. ôÏÇÄÁ ÆÕÎËÃÉÉ U É V ÓÏ-
×ÐÁÄÁÀÔ ÎÁ ÎÅËÏÔÏÒÏÍ ÓÅÞÅÎÉÉ: ÎÁÊľÔÓÑ ÔÁËÏÅ p, ÞÔÏ Up = Vp , ÔÏ
ÅÓÔØ U(p, n) = V (p, n) ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ n.
   äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ôÁË ËÁË ÆÕÎËÃÉÑ U Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÇÌÁ×ÎÏÊ, ÎÁÊÄ¾Í ÔÁËÕÀ
×ÓÀÄÕ ÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÕÀ ×ÙÞÉÓÌÉÍÕÀ ÆÕÎËÃÉÀ h, ÞÔÏ V (n, x) = U(h(n), x) ÐÒÉ
×ÓÅÈ n É x. ïÓÔÁÌÏÓØ ×ÚÑÔØ × ËÁÞÅÓÔ×Å p ÎÅÐÏÄ×ÉÖÎÕÀ ÔÏÞËÕ ÆÕÎËÃÉÉ h.
   (ðÒÉÍÅÒ ÓÌÅÄÓÔ×ÉÑ ÉÚ ÜÔÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ: ËÁË ÂÙ ÎÉ ÓÔÁÒÁÌÉÓØ ÒÁÚÒÁÂÏÔÞÉ-
ËÉ, ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ Ä×ÕÈ ×ÅÒÓÉÊ ËÏÍÐÉÌÑÔÏÒÁ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÐÒÏÇÒÁÍÍÁ, ËÏÔÏÒÁÑ
ÏÄÉÎÁËÏ×Ï ÒÁÂÏÔÁÅÔ × ÏÂÅÉÈ ×ÅÒÓÉÑÈ ¡ ÎÁÐÒÉÍÅÒ, ÚÁÃÉËÌÉ×ÁÅÔÓÑ É ÔÁÍ, É
ÔÁÍ. ÷ÐÒÏÞÅÍ, ÜÔÏ ×Ó¾ ÖÅ ÎÅ ÎÁ×ÅÒÎÑËÁ, Á ÔÏÌØËÏ ÅÓÌÉ ËÏÍÐÉÌÑÔÏÒ ÚÁÄÁ¾Ô
ÇÌÁ×ÎÕÀ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÕÀ ÆÕÎËÃÉÀ ¡ ÎÏ ÎÁÄÏ ÏÞÅÎØ ÐÏÓÔÁÒÁÔØÓÑ, ÞÔÏÂÙ ÜÔÏ
ÂÙÌÏ ÎÅ ÔÁË!)
   ðÏÕÞÉÔÅÌØÎÏ ÒÁÚ×ÅÒÎÕÔØ ÃÅÐÏÞËÕ ÐÒÉ×ÅľÎÎÙÈ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÊ É ÐÒÏÓÌÅ-
ÄÉÔØ, ËÁË ÓÔÒÏÉÔÓÑ ÎÅÐÏÄ×ÉÖÎÁÑ ÔÏÞËÁ. äÌÑ ÎÁÇÌÑÄÎÏÓÔÉ ×ÍÅÓÔÏ U(n, x)
ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÐÉÓÁÔØ [n](x) É ÞÉÔÁÔØ ÜÔÏ ¥ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÐÒÉÍÅÎÅÎÉÑ ÐÒÏÇÒÁÍÍÙ n
Ë ×ÈÏÄÕ x¥;
   òÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅ ÎÁÞÉÎÁÅÔÓÑ Ó ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÉÑ ¥ÄÉÁÇÏÎÁÌØÎÏÊ¥ ÆÕÎË-
ÃÉÉ U(x, x), ËÏÔÏÒÕÀ ÔÅÐÅÒØ ÍÏÖÎÏ ÚÁÐÉÓÁÔØ ËÁË [x](x) (ÒÅÚÕÌØÔÁÔ
ÐÒÉÍÅÎÅÎÉÑ ÐÒÏÇÒÁÍÍÙ x Ë ÓÅÂÅ). äÁÌÅÅ ÍÙ ÓÔÒÏÉÍ Å¾ ×ÓÀÄÕ ÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÅ

Страницы