Математическая логика и теория алгоритмов. Самохин А.В. - 205 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§7. ïÃÅÎËÉ ÓËÏÒÏÓÔÉ ÒÏÓÔÁ. æÕÎËÃÉÑ áËËÅÒÍÁÎÁ 205
ÏÐÒÅÄÅÌÑÀÔÓÑ ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ÐÒÉÍÉÔÉ×ÎÏ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÙÅ ÆÕÎËÃÉÉ É ÄÌÑ ËÁÖÄÏÊ
ÎÁÐÉÓÁÎÏ, ÉÚ ËÁËÉÈ ÄÒÕÇÉÈ ÏÎÁ ÐÏÌÕÞÁÅÔÓÑ É Ó ÐÏÍÏÝØÀ ËÁËÉÈ ÏÐÅÒÁÃÉÊ). éÚ
×ÓÅÈ ÐÒÏÇÒÁÍÍ ÏÔÂÅÒ¾Í ÐÒÏÇÒÁÍÍÙ ÄÌÑ ÏÄÎÏÍÅÓÔÎÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ (ÒÁÚÕÍÅÅÔÓÑ,
× ËÁÞÅÓÔ×Å ÐÒÏÍÅÖÕÔÏÞÎÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ ÍÏÖÎÏ ÉÓÐÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÆÕÎËÃÉÉ Ó ÌÀÂÙÍ
ÞÉÓÌÏÍ ÁÒÇÕÍÅÎÔÏ×). íÎÏÖÅÓÔ×Ï ÔÁËÉÈ ÐÒÏÇÒÁÍÍ ÒÁÚÒÅÛÉÍÏ, ÉÈ ÍÏÖÎÏ ÐÒÏ-
ÎÕÍÅÒÏ×ÁÔØ ×ÙÞÉÓÌÉÍÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. æÕÎËÃÉÑ hn, xi 7→ (ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÐÒÉÍÅÎÅ-
ÎÉÑ ÆÕÎËÃÉÉ, ÚÁÄÁÎÎÏÊ ÐÒÏÇÒÁÍÍÏÊ ÎÏÍÅÒ n, Ë ÞÉÓÌÕ x) ÂÕÄÅÔ ×ÙÞÉÓÌÉÍÁ É
ÐÏ ÐÏÓÔÒÏÅÎÉÀ ÂÕÄÅÔ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÊ ÄÌÑ ËÌÁÓÓÁ ÐÒÉÍÉÔÉ×ÎÏ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÙÈ
ÆÕÎËÃÉÊ.
ïÄÎÁËÏ ÉÎÔÅÒÅÓÎÏ ÕËÁÚÁÔØ É ÂÏÌÅÅ ËÏÎËÒÅÔÎÕÀ ÐÒÉÞÉÎÕ, ÍÅÛÁÀÝÕÀ ÎÅ-
ËÏÔÏÒÙÍ ×ÙÞÉÓÌÉÍÙÍ ÆÕÎËÃÉÑÍ ÂÙÔØ ÐÒÉÍÉÔÉ×ÎÏ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÙÍÉ. ÷ÏÔ ÏÄ-
ÎÁ ÉÚ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÅÊ: ÐÒÉÍÉÔÉ×ÎÏ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÙÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÎÅ ÍÏÇÕÔ ÂÙÓÔÒÏ
ÒÁÓÔÉ. üÔÁ ÉÄÅÑ ×ÏÓÈÏÄÉÔ Ë áËËÅÒÍÁÎÕ, ËÏÔÏÒÙÊ ÐÏÓÔÒÏÉÌ ÆÕÎËÃÉÀ, ÒÁÓÔÕ-
ÝÕÀ ÂÙÓÔÒÅÅ ×ÓÅÈ ÐÒÉÍÉÔÉ×ÎÏ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÙÈ ¡ ÆÕÎËÃÉÀ áËËÅÒÍÁÎÁ. óÅÊÞÁÓ
ÍÙ ÉÚÌÏÖÉÍ ÜÔÕ ËÏÎÓÔÒÕËÃÉÀ (ÈÏÔÑ ÄÅÔÁÌÉ ÐÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÂÕÄÕÔ ÉÎÙÍÉ).
ïÐÒÅÄÅÌÉÍ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÆÕÎËÃÉÊ α
0
, α
1
, . . . ÏÔ ÏÄÎÏÇÏ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ.
(÷ÓÅ ÜÔÉ ÆÕÎËÃÉÉ ÂÕÄÕÔ ×ÓÀÄÕ ÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÙÍÉ.) ðÏÌÏÖÉÍ α
0
(x) = x + 1.
ïÐÒÅÄÅÌÑÑ α
i
, ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÉÓÐÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÔÁËÏÅ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÅ: f
[n]
(x) ÏÚÎÁÞÁ-
ÅÔ f(f(. . . f(x) . . . )), ÇÄÅ ÆÕÎËÃÉÑ f ÉÓÐÏÌØÚÏ×ÁÎÁ n ÒÁÚ. ôÁË ×ÏÔ,
α
i
(x) = α
[x+2]
i−1
(x)
(ÐÏÞÅÍÕ ÕÄÏÂÎÏ ÐÒÉÍÅÎÑÔØ ÆÕÎËÃÉÀ α
i−1
ÒÏ×ÎÏ x + 2 ÒÁÚÁ, ÍÙ Õ×ÉÄÉÍ ÞÕÔØ
ÐÏÚÖÅ).
ïÞÅ×ÉÄÎÙÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á (ÆÏÒÍÁÌØÎÏ ÉÈ ÍÏÖÎÏ ÄÏËÁÚÁÔØ ÐÏ ÉÎÄÕËÃÉÉ):
• α
i
(x) > x ÐÒÉ ×ÓÅÈ i É x;
• α
i
(x) ×ÏÚÒÁÓÔÁÅÔ Ó ×ÏÚÒÁÓÔÁÎÉÅÍ x;
• α
i
(x) ×ÏÚÒÁÓÔÁÅÔ Ó ×ÏÚÒÁÓÔÁÎÉÅÍ i (ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ x);
• α
i
(x) > α
i−1
(α
i−1
(x)).
ôÅÐÅÒØ ÍÏÖÎÏ ÏÃÅÎÉÔØ ÓËÏÒÏÓÔØ ÒÏÓÔÁ ÌÀÂÏÊ ÐÒÉÍÉÔÉ×ÎÏ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏÊ
ÆÕÎËÃÉÉ.
ôÅÏÒÅÍÁ 81. ðÕÓÔØ f ¡ ÐÒÉÍÉÔÉ×ÎÏ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ n ÁÒÇÕÍÅÎ-
ÔÏ×. ôÏÇÄÁ ÎÁÊľÔÓÑ ÔÁËÏÅ k, ÞÔÏ
f(x
1
, . . . , x
n
) 6 α
k
(max(x
1
, . . . , x
n
))
ÐÒÉ ×ÓÅÈ x
1
, . . . , x
n
.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. éÄÅÑ ÐÒÏÓÔÁ ¡ ÍÏÖÎÏ ÏÃÅÎÉÔØ ÓËÏÒÏÓÔØ ÒÏÓÔÁ ËÏÍÐÏ-
ÚÉÃÉÉ ÆÕÎËÃÉÊ, ÚÎÁÑ ÏÃÅÎËÉ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÊ ÉÚ ÎÉÈ; ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÄÌÑ ÒÅËÕÒÓÉÉ.
æÏÒÍÁÌØÎÏ ÇÏ×ÏÒÑ, ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÉÓÐÏÌØÚÕÅÔ ¥ÉÎÄÕËÃÉÀ ÐÏ ÐÏÓÔÒÏÅÎÉÀ¥
ÐÒÉÍÉÔÉ×ÎÏ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ.
§7. ïÃÅÎËÉ ÓËÏÒÏÓÔÉ ÒÏÓÔÁ. æÕÎËÃÉÑ áËËÅÒÍÁÎÁ                               205

ÏÐÒÅÄÅÌÑÀÔÓÑ ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ÐÒÉÍÉÔÉ×ÎÏ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÙÅ ÆÕÎËÃÉÉ É ÄÌÑ ËÁÖÄÏÊ
ÎÁÐÉÓÁÎÏ, ÉÚ ËÁËÉÈ ÄÒÕÇÉÈ ÏÎÁ ÐÏÌÕÞÁÅÔÓÑ É Ó ÐÏÍÏÝØÀ ËÁËÉÈ ÏÐÅÒÁÃÉÊ). éÚ
×ÓÅÈ ÐÒÏÇÒÁÍÍ ÏÔÂÅÒ¾Í ÐÒÏÇÒÁÍÍÙ ÄÌÑ ÏÄÎÏÍÅÓÔÎÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ (ÒÁÚÕÍÅÅÔÓÑ,
× ËÁÞÅÓÔ×Å ÐÒÏÍÅÖÕÔÏÞÎÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ ÍÏÖÎÏ ÉÓÐÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÆÕÎËÃÉÉ Ó ÌÀÂÙÍ
ÞÉÓÌÏÍ ÁÒÇÕÍÅÎÔÏ×). íÎÏÖÅÓÔ×Ï ÔÁËÉÈ ÐÒÏÇÒÁÍÍ ÒÁÚÒÅÛÉÍÏ, ÉÈ ÍÏÖÎÏ ÐÒÏ-
ÎÕÍÅÒÏ×ÁÔØ ×ÙÞÉÓÌÉÍÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. æÕÎËÃÉÑ hn, xi 7→ (ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÐÒÉÍÅÎÅ-
ÎÉÑ ÆÕÎËÃÉÉ, ÚÁÄÁÎÎÏÊ ÐÒÏÇÒÁÍÍÏÊ ÎÏÍÅÒ n, Ë ÞÉÓÌÕ x) ÂÕÄÅÔ ×ÙÞÉÓÌÉÍÁ É
ÐÏ ÐÏÓÔÒÏÅÎÉÀ ÂÕÄÅÔ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÊ ÄÌÑ ËÌÁÓÓÁ ÐÒÉÍÉÔÉ×ÎÏ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÙÈ
ÆÕÎËÃÉÊ.
   ïÄÎÁËÏ ÉÎÔÅÒÅÓÎÏ ÕËÁÚÁÔØ É ÂÏÌÅÅ ËÏÎËÒÅÔÎÕÀ ÐÒÉÞÉÎÕ, ÍÅÛÁÀÝÕÀ ÎÅ-
ËÏÔÏÒÙÍ ×ÙÞÉÓÌÉÍÙÍ ÆÕÎËÃÉÑÍ ÂÙÔØ ÐÒÉÍÉÔÉ×ÎÏ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÙÍÉ. ÷ÏÔ ÏÄ-
ÎÁ ÉÚ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÅÊ: ÐÒÉÍÉÔÉ×ÎÏ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÙÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÎÅ ÍÏÇÕÔ ÂÙÓÔÒÏ
ÒÁÓÔÉ. üÔÁ ÉÄÅÑ ×ÏÓÈÏÄÉÔ Ë áËËÅÒÍÁÎÕ, ËÏÔÏÒÙÊ ÐÏÓÔÒÏÉÌ ÆÕÎËÃÉÀ, ÒÁÓÔÕ-
ÝÕÀ ÂÙÓÔÒÅÅ ×ÓÅÈ ÐÒÉÍÉÔÉ×ÎÏ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÙÈ ¡ ÆÕÎËÃÉÀ áËËÅÒÍÁÎÁ. óÅÊÞÁÓ
ÍÙ ÉÚÌÏÖÉÍ ÜÔÕ ËÏÎÓÔÒÕËÃÉÀ (ÈÏÔÑ ÄÅÔÁÌÉ ÐÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÂÕÄÕÔ ÉÎÙÍÉ).
   ïÐÒÅÄÅÌÉÍ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÆÕÎËÃÉÊ α0 , α1, . . . ÏÔ ÏÄÎÏÇÏ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ.
(÷ÓÅ ÜÔÉ ÆÕÎËÃÉÉ ÂÕÄÕÔ ×ÓÀÄÕ ÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÙÍÉ.) ðÏÌÏÖÉÍ α0 (x) = x + 1.
ïÐÒÅÄÅÌÑÑ αi , ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÉÓÐÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÔÁËÏÅ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÅ: f [n](x) ÏÚÎÁÞÁ-
ÅÔ f (f (. . . f (x) . . . )), ÇÄÅ ÆÕÎËÃÉÑ f ÉÓÐÏÌØÚÏ×ÁÎÁ n ÒÁÚ. ôÁË ×ÏÔ,
                                                   [x+2]
                                      αi (x) = αi−1 (x)
(ÐÏÞÅÍÕ ÕÄÏÂÎÏ ÐÒÉÍÅÎÑÔØ ÆÕÎËÃÉÀ αi−1 ÒÏ×ÎÏ x + 2 ÒÁÚÁ, ÍÙ Õ×ÉÄÉÍ ÞÕÔØ
ÐÏÚÖÅ).
   ïÞÅ×ÉÄÎÙÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á (ÆÏÒÍÁÌØÎÏ ÉÈ ÍÏÖÎÏ ÄÏËÁÚÁÔØ ÐÏ ÉÎÄÕËÃÉÉ):
    • αi (x) > x ÐÒÉ ×ÓÅÈ i É x;
    • αi (x) ×ÏÚÒÁÓÔÁÅÔ Ó ×ÏÚÒÁÓÔÁÎÉÅÍ x;
    • αi (x) ×ÏÚÒÁÓÔÁÅÔ Ó ×ÏÚÒÁÓÔÁÎÉÅÍ i (ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ x);
    • αi (x) > αi−1(αi−1(x)).
   ôÅÐÅÒØ ÍÏÖÎÏ ÏÃÅÎÉÔØ ÓËÏÒÏÓÔØ ÒÏÓÔÁ ÌÀÂÏÊ ÐÒÉÍÉÔÉ×ÎÏ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏÊ
ÆÕÎËÃÉÉ.
  ôÅÏÒÅÍÁ 81. ðÕÓÔØ f ¡ ÐÒÉÍÉÔÉ×ÎÏ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ n ÁÒÇÕÍÅÎ-
ÔÏ×. ôÏÇÄÁ ÎÁÊľÔÓÑ ÔÁËÏÅ k, ÞÔÏ
                           f (x1, . . . , xn) 6 αk (max(x1, . . . , xn))
ÐÒÉ ×ÓÅÈ x1, . . . , xn.
   äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. éÄÅÑ ÐÒÏÓÔÁ ¡ ÍÏÖÎÏ ÏÃÅÎÉÔØ ÓËÏÒÏÓÔØ ÒÏÓÔÁ ËÏÍÐÏ-
ÚÉÃÉÉ ÆÕÎËÃÉÊ, ÚÎÁÑ ÏÃÅÎËÉ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÊ ÉÚ ÎÉÈ; ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÄÌÑ ÒÅËÕÒÓÉÉ.
æÏÒÍÁÌØÎÏ ÇÏ×ÏÒÑ, ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÉÓÐÏÌØÚÕÅÔ ¥ÉÎÄÕËÃÉÀ ÐÏ ÐÏÓÔÒÏÅÎÉÀ¥
ÐÒÉÍÉÔÉ×ÎÏ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ.

Страницы