Математическая логика и теория алгоритмов. Самохин А.В. - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§6. ôÅÏÒÅÍÁ ëÁÎÔÏÒÁ 27
(ïÂÝÅÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÒÁ×ÎÏÍÏÝÎÏÓÔÉ ÂÙÌÏ ÄÁÎÏ ëÁÎÔÏÒÏÍ ÌÉÛØ
ÞÅÒÅÚ ÔÒÉ ÇÏÄÁ, ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ Ó ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×ÏÍ ÒÁ×ÎÏÍÏÝÎÏ-
ÓÔÉ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× ÒÁÚÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÉÚÍÅÒÅÎÉÊ, Ï ËÏÔÏÒÏÍ ÍÙ ÕÖÅ
ÇÏ×ÏÒÉÌÉ.)
ïÔÍÅÔÉÍ ËÓÔÁÔÉ, ÞÔÏ × ÔÏÍ ÖÅ 1874 ÇÏÄÕ ÆÒÁÎÃÕÚÓËÉÊ ÍÁÔÅ-
ÍÁÔÉË û. üÒÍÉÔ ÄÏËÁÚÁÌ, ÞÔÏ ÏÓÎÏ×ÁÎÉÅ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÌÏÇÁÒÉÆ-
ÍÏ× e ÔÒÁÎÓÃÅÎÄÅÎÔÎÏ, Á ÞÅÒÅÚ ×ÏÓÅÍØ ÌÅÔ ÎÅÍÅÃËÉÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉË
æ. ìÉÎÄÅÍÁÎ ÄÏËÁÚÁÌ ÔÒÁÎÓÃÅÎÄÅÎÔÎÏÓÔØ ÞÉÓÌÁ π É ÔÅÍ ÓÁÍÙÍ
ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÉ Ë×ÁÄÒÁÔÕÒÙ ËÒÕÇÁ.)
úÁÄÁÞÁ 49. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÌÀÂÏÅ ÚÁÍËÎÕÔÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï A ⊂ R ÌÉ-
ÂÏ ËÏÎÅÞÎÏ, ÌÉÂÏ ÓÞ¾ÔÎÏ, ÌÉÂÏ ÉÍÅÅÔ ÍÏÝÎÏÓÔØ ËÏÎÔÉÎÕÕÍÁ. (õËÁÚÁÎÉÅ.
òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï B ⊂ A, ÓÏÓÔÏÑÝÅÅ ÉÚ ÔÅÈ ÔÏÞÅË ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A,
× ÌÀÂÏÊ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÎÅÓÞ¾ÔÎÏ ÍÎÏÇÏ ÄÒÕÇÉÈ ÔÏÞÅË ÉÚ A. åÓÌÉ
B ÐÕÓÔÏ, ÔÏ A ËÏÎÅÞÎÏ ÉÌÉ ÓÞ¾ÔÎÏ. åÓÌÉ B ÎÅÐÕÓÔÏ, ÔÏ ÏÎÏ ÚÁÍËÎÕÔÏ É
ÎÅ ÉÍÅÅÔ ÉÚÏÌÉÒÏ×ÁÎÎÙÈ ÔÏÞÅË.)
üÔÁ ÚÁÄÁÞÁ ÐÏËÁÚÙ×ÁÅÔ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÚÁÍËÎÕÔÙÈ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÐÒÑÍÏÊ ×ÅÒ-
ÎÁ ÇÉÐÏÔÅÚÁ ËÏÎÔÉÎÕÕÍÁ, ÕÔ×ÅÒÖÄÁÀÝÁÑ, ÞÔÏ ÌÀÂÏÅ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÐÒÑÍÏÊ
ÌÉÂÏ ËÏÎÅÞÎÏ, ÌÉÂÏ ÓÞ¾ÔÎÏ, ÌÉÂÏ ÒÁ×ÎÏÍÏÝÎÏ R. (ëÁÎÔÏÒ, ÄÏËÁÚÁ×ÛÉÊ ÜÔÏÔ
ÆÁËÔ, ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÌ ÅÇÏ ËÁË ÐÅÒ×ÙÊ ÛÁÇ Ë ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Õ ÇÉÐÏÔÅÚÙ ËÏÎÔÉ-
ÎÕÕÍÁ ÄÌÑ ÏÂÝÅÇÏ ÓÌÕÞÁÑ, ÎÏ ÉÚ ÜÔÏÇÏ ÎÉÞÅÇÏ ÎÅ ×ÙÛÌÏ.)
÷ÅÒξÍÓÑ Ë ÄÉÁÇÏÎÁÌØÎÏÊ ËÏÎÓÔÒÕËÃÉÉ. íÙ ÚÎÁÅÍ, ÞÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÐÏÓÌÅ-
ÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÎÕÌÅÊ É ÅÄÉÎÉà ÒÁ×ÎÏÍÏÝÎÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ× ÎÁ-
ÔÕÒÁÌØÎÏÇÏ ÒÑÄÁ (ËÁÖÄÏÍÕ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Õ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÅÇÏ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉ-
ÞÅÓËÁÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ, Õ ËÏÔÏÒÏÊ ÅÄÉÎÉÃÙ ÓÔÏÑÔ ÎÁ ÍÅÓÔÁÈ ÉÚ ÜÔÏÇÏ
ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á). ðÏÜÔÏÍÕ ÍÏÖÎÏ ÐÅÒÅÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ ÜÔÕ ÔÅÏÒÅÍÕ ÔÁË:
íÎÏÖÅÓÔ×Ï N ÎÅ ÒÁ×ÎÏÍÏÝÎÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ Ó×ÏÉÈ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÔÁËÖÅ ÍÏÖÎÏ ÛÁÇ ÚÁ ÛÁÇÏÍ ÐÅÒÅ×ÅÓÔÉ ÎÁ ÔÁËÏÊ ÑÚÙË: ÐÕÓÔØ
ÏÎÉ ÒÁ×ÎÏÍÏÝÎÙ; ÔÏÇÄÁ ÅÓÔØ ×ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ i 7→ A
i
ÍÅÖ-
ÄÕ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÍÉ ÞÉÓÌÁÍÉ É ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÇÏ ÒÑÄÁ. äÉÁÇÏ-
ÎÁÌØÎÁÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ × ÜÔÉÈ ÔÅÒÍÉÎÁÈ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÍÎÏÖÅÓÔ-
×Ï ÔÅÈ i, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ i ∈ A
i
, Á ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ β, ÏÔÓÕÔÓÔ×Ï×Á×ÛÁÑ ×
ÐÅÒÅÞÉÓÌÅÎÉÉ, ÔÅÐÅÒØ ÂÕÄÅÔ ÅÇÏ ÄÏÐÏÌÎÅÎÉÅÍ (B = {i | i /∈ A
i
}).
ðÒÉ ÜÔÏÍ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÎÅÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÍ, ÞÔÏ ÍÙ ÉÍÅÅÍ ÄÅÌÏ Ó ÎÁÔÕÒÁÌØ-
ÎÙÍ ÒÑÄÏÍ, É ÍÙ ÐÒÉÈÏÄÉÍ Ë ÔÁËÏÍÕ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÀ:
ôÅÏÒÅÍÁ 8 (ÏÂÝÁÑ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÁ ÔÅÏÒÅÍÙ ëÁÎÔÏÒÁ). îÉËÁËÏÅ ÍÎÏÖÅ-
ÓÔ×Ï X ÎÅ ÒÁ×ÎÏÍÏÝÎÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ ×ÓÅÈ Ó×ÏÉÈ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÕÓÔØ ϕ ¡ ×ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ÍÅÖÄÕ X
É ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ P (X) ×ÓÅÈ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ× ÍÎÏÖÅÓÔ×Á X. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÔÅ ÜÌÅÍÅÎ-
§6. ôÅÏÒÅÍÁ ëÁÎÔÏÒÁ                                                   27

     (ïÂÝÅÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÒÁ×ÎÏÍÏÝÎÏÓÔÉ ÂÙÌÏ ÄÁÎÏ ëÁÎÔÏÒÏÍ ÌÉÛØ
     ÞÅÒÅÚ ÔÒÉ ÇÏÄÁ, ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ Ó ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×ÏÍ ÒÁ×ÎÏÍÏÝÎÏ-
     ÓÔÉ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× ÒÁÚÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÉÚÍÅÒÅÎÉÊ, Ï ËÏÔÏÒÏÍ ÍÙ ÕÖÅ
     ÇÏ×ÏÒÉÌÉ.)
        ïÔÍÅÔÉÍ ËÓÔÁÔÉ, ÞÔÏ × ÔÏÍ ÖÅ 1874 ÇÏÄÕ ÆÒÁÎÃÕÚÓËÉÊ ÍÁÔÅ-
     ÍÁÔÉË û. üÒÍÉÔ ÄÏËÁÚÁÌ, ÞÔÏ ÏÓÎÏ×ÁÎÉÅ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÌÏÇÁÒÉÆ-
     ÍÏ× e ÔÒÁÎÓÃÅÎÄÅÎÔÎÏ, Á ÞÅÒÅÚ ×ÏÓÅÍØ ÌÅÔ ÎÅÍÅÃËÉÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉË
     æ. ìÉÎÄÅÍÁÎ ÄÏËÁÚÁÌ ÔÒÁÎÓÃÅÎÄÅÎÔÎÏÓÔØ ÞÉÓÌÁ π É ÔÅÍ ÓÁÍÙÍ
     ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÉ Ë×ÁÄÒÁÔÕÒÙ ËÒÕÇÁ.)
   úÁÄÁÞÁ 49. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÌÀÂÏÅ ÚÁÍËÎÕÔÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï A ⊂ R ÌÉ-
ÂÏ ËÏÎÅÞÎÏ, ÌÉÂÏ ÓÞ¾ÔÎÏ, ÌÉÂÏ ÉÍÅÅÔ ÍÏÝÎÏÓÔØ ËÏÎÔÉÎÕÕÍÁ. (õËÁÚÁÎÉÅ.
òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï B ⊂ A, ÓÏÓÔÏÑÝÅÅ ÉÚ ÔÅÈ ÔÏÞÅË ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A,
× ÌÀÂÏÊ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÎÅÓÞ¾ÔÎÏ ÍÎÏÇÏ ÄÒÕÇÉÈ ÔÏÞÅË ÉÚ A. åÓÌÉ
B ÐÕÓÔÏ, ÔÏ A ËÏÎÅÞÎÏ ÉÌÉ ÓÞ¾ÔÎÏ. åÓÌÉ B ÎÅÐÕÓÔÏ, ÔÏ ÏÎÏ ÚÁÍËÎÕÔÏ É
ÎÅ ÉÍÅÅÔ ÉÚÏÌÉÒÏ×ÁÎÎÙÈ ÔÏÞÅË.)
   üÔÁ ÚÁÄÁÞÁ ÐÏËÁÚÙ×ÁÅÔ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÚÁÍËÎÕÔÙÈ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÐÒÑÍÏÊ ×ÅÒ-
ÎÁ ÇÉÐÏÔÅÚÁ ËÏÎÔÉÎÕÕÍÁ, ÕÔ×ÅÒÖÄÁÀÝÁÑ, ÞÔÏ ÌÀÂÏÅ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÐÒÑÍÏÊ
ÌÉÂÏ ËÏÎÅÞÎÏ, ÌÉÂÏ ÓÞ¾ÔÎÏ, ÌÉÂÏ ÒÁ×ÎÏÍÏÝÎÏ R. (ëÁÎÔÏÒ, ÄÏËÁÚÁ×ÛÉÊ ÜÔÏÔ
ÆÁËÔ, ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÌ ÅÇÏ ËÁË ÐÅÒ×ÙÊ ÛÁÇ Ë ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Õ ÇÉÐÏÔÅÚÙ ËÏÎÔÉ-
ÎÕÕÍÁ ÄÌÑ ÏÂÝÅÇÏ ÓÌÕÞÁÑ, ÎÏ ÉÚ ÜÔÏÇÏ ÎÉÞÅÇÏ ÎÅ ×ÙÛÌÏ.)
   ÷ÅÒξÍÓÑ Ë ÄÉÁÇÏÎÁÌØÎÏÊ ËÏÎÓÔÒÕËÃÉÉ. íÙ ÚÎÁÅÍ, ÞÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÐÏÓÌÅ-
ÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÎÕÌÅÊ É ÅÄÉÎÉà ÒÁ×ÎÏÍÏÝÎÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ× ÎÁ-
ÔÕÒÁÌØÎÏÇÏ ÒÑÄÁ (ËÁÖÄÏÍÕ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Õ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÅÇÏ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉ-
ÞÅÓËÁÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ, Õ ËÏÔÏÒÏÊ ÅÄÉÎÉÃÙ ÓÔÏÑÔ ÎÁ ÍÅÓÔÁÈ ÉÚ ÜÔÏÇÏ
ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á). ðÏÜÔÏÍÕ ÍÏÖÎÏ ÐÅÒÅÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ ÜÔÕ ÔÅÏÒÅÍÕ ÔÁË:
   íÎÏÖÅÓÔ×Ï N ÎÅ ÒÁ×ÎÏÍÏÝÎÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ Ó×ÏÉÈ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÔÁËÖÅ ÍÏÖÎÏ ÛÁÇ ÚÁ ÛÁÇÏÍ ÐÅÒÅ×ÅÓÔÉ ÎÁ ÔÁËÏÊ ÑÚÙË: ÐÕÓÔØ
ÏÎÉ ÒÁ×ÎÏÍÏÝÎÙ; ÔÏÇÄÁ ÅÓÔØ ×ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ i 7→ A i ÍÅÖ-
ÄÕ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÍÉ ÞÉÓÌÁÍÉ É ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÇÏ ÒÑÄÁ. äÉÁÇÏ-
ÎÁÌØÎÁÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ × ÜÔÉÈ ÔÅÒÍÉÎÁÈ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÍÎÏÖÅÓÔ-
×Ï ÔÅÈ i, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ i ∈ Ai, Á ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ β, ÏÔÓÕÔÓÔ×Ï×Á×ÛÁÑ ×
ÐÅÒÅÞÉÓÌÅÎÉÉ, ÔÅÐÅÒØ ÂÕÄÅÔ ÅÇÏ ÄÏÐÏÌÎÅÎÉÅÍ (B = {i | i ∈
                                                       / Ai}).
   ðÒÉ ÜÔÏÍ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÎÅÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÍ, ÞÔÏ ÍÙ ÉÍÅÅÍ ÄÅÌÏ Ó ÎÁÔÕÒÁÌØ-
ÎÙÍ ÒÑÄÏÍ, É ÍÙ ÐÒÉÈÏÄÉÍ Ë ÔÁËÏÍÕ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÀ:
  ôÅÏÒÅÍÁ 8 (ÏÂÝÁÑ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÁ ÔÅÏÒÅÍÙ ëÁÎÔÏÒÁ). îÉËÁËÏÅ ÍÎÏÖÅ-
ÓÔ×Ï X ÎÅ ÒÁ×ÎÏÍÏÝÎÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ ×ÓÅÈ Ó×ÏÉÈ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×.
   äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÕÓÔØ ϕ ¡ ×ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ÍÅÖÄÕ X
É ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ P (X) ×ÓÅÈ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ× ÍÎÏÖÅÓÔ×Á X. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÔÅ ÜÌÅÍÅÎ-

Страницы