Математическая логика и теория алгоритмов. Самохин А.В. - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

48 çÌÁ×Á II. õÐÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á
ÍÅÖÄÕ 0 É 0 (ÉÈ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÍÎÏÇÏ: 1, 2, 3, . . . , −3, −2, −1) ÄÏÌÖÎÙ
ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×Ï×ÁÔØ ÞÉÓÌÁ ÍÅÖÄÕ a É b ¡ ÎÏ ÉÈ ÌÉÛØ ËÏÎÅÞÎÏÅ ÞÉÓÌÏ.
üÔÏÔ ÐÒÉÍÅÒ ÐÒÉÎÃÉÐÉÁÌØÎÏ ÏÔÌÉÞÁÅÔÓÑ ÏÔ ÐÒÅÄÙÄÕÝÉÈ ÔÅÍ, ÞÔÏ
ÚÄÅÓØ ÒÁÚÎÉÃÕ ÍÅÖÄÕ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÎÅÌØÚÑ ÚÁÐÉÓÁÔØ ÆÏÒÍÕ-
ÌÏÊ. ëÁË ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÕÐÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á Z É Z + Z ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏ
ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ.
úÁÄÁÞÁ 91. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÌÉÎÅÊÎÏ ÕÐÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á Z ×N
É Z × Z (Ó ÏÐÉÓÁÎÎÙÍ ×ÙÛÅ ÎÁ Ó. 44 ÐÏÒÑÄËÏÍ) ÎÅ ÉÚÏÍÏÒÆÎÙ.
úÁÄÁÞÁ 92. âÕÄÕÔ ÌÉ ÉÚÏÍÏÒÆÎÙ ÌÉÎÅÊÎÏ ÕÐÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á
N × Z É Z × Z?
úÁÄÁÞÁ 93. âÕÄÕÔ ÌÉ ÉÚÏÍÏÒÆÎÙ ÌÉÎÅÊÎÏ ÕÐÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á
Q × Z É Q × N?
ïÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ x 7→
√
2x ÏÓÕÝÅÓÔ×ÌÑÅÔ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ ÍÅÖÄÕ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÁ-
ÍÉ (0, 1) É (0,
√
2). îÏ ÕÖÅ ÎÅ ÔÁË ÐÒÏÓÔÏ ÐÏÓÔÒÏÉÔØ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ ÍÅÖÄÕ
ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ ÒÁÃÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÔÏÞÅË ÜÔÉÈ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÏ× (ÔÏ ÅÓÔØ ÍÅÖÄÕ Q ∩
∩(0, 1) É Q ∩(0,
√
2)), ÐÏÓËÏÌØËÕ ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ ÎÁ
√
2 ÐÅÒÅ×ÏÄÉÔ ÒÁÃÉÏÎÁÌØÎÙÅ
ÞÉÓÌÁ × ÉÒÒÁÃÉÏÎÁÌØÎÙÅ. ôÅÍ ÎÅ ÍÅÎÅÅ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ ÐÏÓÔÒÏÉÔØ ÍÏÖÎÏ. äÌÑ
ÜÔÏÇÏ ÎÁÄÏ ×ÚÑÔØ ×ÏÚÒÁÓÔÁÀÝÉÅ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÒÁÃÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ
0 < x
1
< x
2
< . . . É 0 < y
1
< y
2
< . . . , ÓÈÏÄÑÝÉÅÓÑ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ Ë 1
É
√
2 É ÐÏÓÔÒÏÉÔØ ËÕÓÏÞÎÏ-ÌÉÎÅÊÎÕÀ ÆÕÎËÃÉÀ f, ËÏÔÏÒÁÑ ÐÅÒÅ×ÏÄÉÔ x
i
× y
i
É ÌÉÎÅÊÎÁ ÎÁ ËÁÖÄÏÍ ÉÚ ÏÔÒÅÚËÏ× [x
i
, x
i+1
] (ÒÉÓ. 1). ìÅÇËÏ ÐÏÎÑÔØ, ÞÔÏ ÏÎÁ
ÂÕÄÅÔ ÉÓËÏÍÙÍ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ.
úÁÄÁÞÁ 94. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÒÁÃÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÉÎÔÅÒ×Á-
ÌÁ (0, 1) É ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï Q ÉÚÏÍÏÒÆÎÙ. (õËÁÚÁÎÉÅ: ÚÄÅÓØ ÔÏÖÅ ÍÏÖÎÏ ÐÏ-
ÓÔÒÏÉÔØ ÌÏÍÁÎÕÀ; ×ÐÒÏÞÅÍ, Õ ÜÔÏÊ ÚÁÄÁÞÉ ÅÓÔØ É ÄÒÕÇÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ, ËÏÔÏ-
ÒÏÅ ÎÁÞÉÎÁÅÔÓÑ Ó ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÆÕÎËÃÉÑ x 7→ 1/x ÐÅÒÅ×ÏÄÉÔ ÒÁÃÉÏÎÁÌØÎÙÅ
ÞÉÓÌÁ × ÒÁÃÉÏÎÁÌØÎÙÅ.)
âÏÌÅÅ ÓÌÏÖÎÁÑ ËÏÎÓÔÒÕËÃÉÑ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ × ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÚÁÄÁÞÅ (×ÉÄÉÍÏ, ÎÉ-
ÞÅÇÏ ÐÒÏÝÅ, ÞÅÍ ÓÏÓÌÁÔØÓÑ ÎÁ ÏÂÝÕÀ ÔÅÏÒÅÍÕ 13, ÔÕÔ ÎÅ ÐÒÉÄÕÍÁÅÛØ).
úÁÄÁÞÁ 95. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï Ä×ÏÉÞÎÏ-ÒÁÃÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ
ÉÎÔÅÒ×ÁÌÁ (0, 1) ÉÚÏÍÏÒÆÎÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ Q. (þÉÓÌÏ ÓÞÉÔÁÅÔÓÑ Ä×ÏÉÞÎÏ-ÒÁ-
ÃÉÏÎÁÌØÎÙÍ, ÅÓÌÉ ÏÎÏ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ m/2
n
, ÇÄÅ m ¡ ÃÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ, Á n ¡ ÎÁ-
ÔÕÒÁÌØÎÏÅ.)
ä×Á ÜÌÅÍÅÎÔÁ x, y ÌÉÎÅÊÎÏ ÕÐÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÓÏÓÅÄ-
ÎÉÍÉ, ÅÓÌÉ x < y É ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÜÌÅÍÅÎÔÁ ÍÅÖÄÕ ÎÉÍÉ, ÔÏ ÅÓÔØ ÔÁËÏÇÏ z,
48                                  çÌÁ×Á II. õÐÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á

     ÍÅÖÄÕ 0 É 0 (ÉÈ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÍÎÏÇÏ: 1, 2, 3, . . . , −3, −2, −1) ÄÏÌÖÎÙ
     ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×Ï×ÁÔØ ÞÉÓÌÁ ÍÅÖÄÕ a É b ¡ ÎÏ ÉÈ ÌÉÛØ ËÏÎÅÞÎÏÅ ÞÉÓÌÏ.
        üÔÏÔ ÐÒÉÍÅÒ ÐÒÉÎÃÉÐÉÁÌØÎÏ ÏÔÌÉÞÁÅÔÓÑ ÏÔ ÐÒÅÄÙÄÕÝÉÈ ÔÅÍ, ÞÔÏ
     ÚÄÅÓØ ÒÁÚÎÉÃÕ ÍÅÖÄÕ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÎÅÌØÚÑ ÚÁÐÉÓÁÔØ ÆÏÒÍÕ-
     ÌÏÊ. ëÁË ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÕÐÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á Z É Z + Z ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏ
     ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ.
   úÁÄÁÞÁ 91. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÌÉÎÅÊÎÏ ÕÐÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á Z × N
É Z × Z (Ó ÏÐÉÓÁÎÎÙÍ ×ÙÛÅ ÎÁ Ó. 44 ÐÏÒÑÄËÏÍ) ÎÅ ÉÚÏÍÏÒÆÎÙ.
  úÁÄÁÞÁ 92. âÕÄÕÔ ÌÉ ÉÚÏÍÏÒÆÎÙ ÌÉÎÅÊÎÏ ÕÐÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á
N × Z É Z × Z?
   úÁÄÁÞÁ 93. âÕÄÕÔ ÌÉ ÉÚÏÍÏÒÆÎÙ ÌÉÎÅÊÎÏ ÕÐÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á
Q × Z É Q × N?
                         √
   ïÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ   √ x →
                     7     2x ÏÓÕÝÅÓÔ×ÌÑÅÔ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ ÍÅÖÄÕ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÁ-
ÍÉ (0, 1) É (0, 2). îÏ ÕÖÅ ÎÅ ÔÁË ÐÒÏÓÔÏ ÐÏÓÔÒÏÉÔØ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ ÍÅÖÄÕ
ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ ÒÁÃÉÏÎÁÌØÎÙÈ
                  √            ÔÏÞÅË ÜÔÉÈ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÏ×
                                               √      (ÔÏ ÅÓÔØ ÍÅÖÄÕ Q ∩
∩ (0, 1) É Q ∩ (0, 2)), ÐÏÓËÏÌØËÕ ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ ÎÁ 2 ÐÅÒÅ×ÏÄÉÔ ÒÁÃÉÏÎÁÌØÎÙÅ
ÞÉÓÌÁ × ÉÒÒÁÃÉÏÎÁÌØÎÙÅ. ôÅÍ ÎÅ ÍÅÎÅÅ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ ÐÏÓÔÒÏÉÔØ ÍÏÖÎÏ. äÌÑ
ÜÔÏÇÏ ÎÁÄÏ ×ÚÑÔØ ×ÏÚÒÁÓÔÁÀÝÉÅ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÒÁÃÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ
0√< x1 < x2 < . . . É 0 < y1 < y2 < . . . , ÓÈÏÄÑÝÉÅÓÑ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ Ë 1
É 2 É ÐÏÓÔÒÏÉÔØ ËÕÓÏÞÎÏ-ÌÉÎÅÊÎÕÀ ÆÕÎËÃÉÀ f , ËÏÔÏÒÁÑ ÐÅÒÅ×ÏÄÉÔ x i × yi
É ÌÉÎÅÊÎÁ ÎÁ ËÁÖÄÏÍ ÉÚ ÏÔÒÅÚËÏ× [xi, xi+1] (ÒÉÓ. 1). ìÅÇËÏ ÐÏÎÑÔØ, ÞÔÏ ÏÎÁ
ÂÕÄÅÔ ÉÓËÏÍÙÍ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ.
   úÁÄÁÞÁ 94. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÒÁÃÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÉÎÔÅÒ×Á-
ÌÁ (0, 1) É ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï Q ÉÚÏÍÏÒÆÎÙ. (õËÁÚÁÎÉÅ: ÚÄÅÓØ ÔÏÖÅ ÍÏÖÎÏ ÐÏ-
ÓÔÒÏÉÔØ ÌÏÍÁÎÕÀ; ×ÐÒÏÞÅÍ, Õ ÜÔÏÊ ÚÁÄÁÞÉ ÅÓÔØ É ÄÒÕÇÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ, ËÏÔÏ-
ÒÏÅ ÎÁÞÉÎÁÅÔÓÑ Ó ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÆÕÎËÃÉÑ x 7→ 1/x ÐÅÒÅ×ÏÄÉÔ ÒÁÃÉÏÎÁÌØÎÙÅ
ÞÉÓÌÁ × ÒÁÃÉÏÎÁÌØÎÙÅ.)

   âÏÌÅÅ ÓÌÏÖÎÁÑ ËÏÎÓÔÒÕËÃÉÑ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ × ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÚÁÄÁÞÅ (×ÉÄÉÍÏ, ÎÉ-
ÞÅÇÏ ÐÒÏÝÅ, ÞÅÍ ÓÏÓÌÁÔØÓÑ ÎÁ ÏÂÝÕÀ ÔÅÏÒÅÍÕ 13, ÔÕÔ ÎÅ ÐÒÉÄÕÍÁÅÛØ).
  úÁÄÁÞÁ 95. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï Ä×ÏÉÞÎÏ-ÒÁÃÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ
ÉÎÔÅÒ×ÁÌÁ (0, 1) ÉÚÏÍÏÒÆÎÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ Q. (þÉÓÌÏ ÓÞÉÔÁÅÔÓÑ Ä×ÏÉÞÎÏ-ÒÁ-
ÃÉÏÎÁÌØÎÙÍ, ÅÓÌÉ ÏÎÏ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ m/2n , ÇÄÅ m ¡ ÃÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ, Á n ¡ ÎÁ-
ÔÕÒÁÌØÎÏÅ.)

  ä×Á ÜÌÅÍÅÎÔÁ x, y ÌÉÎÅÊÎÏ ÕÐÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÓÏÓÅÄ-
ÎÉÍÉ, ÅÓÌÉ x < y É ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÜÌÅÍÅÎÔÁ ÍÅÖÄÕ ÎÉÍÉ, ÔÏ ÅÓÔØ ÔÁËÏÇÏ z,

Страницы