Математическая логика и теория алгоритмов. Самохин А.В. - 52 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

52 çÌÁ×Á II. õÐÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á
ðÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ÐÏÒÑÄËÁ (ÓÎÁÞÁÌÁ ÓÒÁ×ÎÉ×ÁÀÔÓÑ ×ÔÏÒÙÅ ÞÌÅÎÙ) y
0
> y
1
>
> y
2
> . . . É ÐÏÔÏÍÕ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ y
i
Ó ËÁËÏÇÏ-ÔÏ
ÍÅÓÔÁ ÎÅ ÍÅÎÑÅÔÓÑ. ðÏÓÌÅ ÜÔÏÇÏ ÕÖÅ x
i
ÄÏÌÖÎÙ ÕÂÙ×ÁÔØ ¡ É ÔÏÖÅ ÓÔÁÂÉÌÉ-
ÚÉÒÕÀÔÓÑ. þÔÏ É ÔÒÅÂÏ×ÁÌÏÓØ.
ôÏ ÖÅ ÓÁÍÏÅ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅ ÐÒÉÇÏÄÎÏ É × ÂÏÌÅÅ ÏÂÝÅÊ ÓÉÔÕÁÃÉÉ.
ôÅÏÒÅÍÁ 16. ðÕÓÔØ A É B ¡ Ä×Á ÆÕÎÄÉÒÏ×ÁÎÎÙÈ ÞÁÓÔÉÞÎÏ ÕÐÏÒÑÄÏ-
ÞÅÎÎÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á. ôÏÇÄÁ ÉÈ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ A × B, × ËÏÔÏÒÏÍ
ha
1
, b
1
i 6 ha
2
, b
2
i ⇔ [(b
1
< b
2
) ÉÌÉ (b
1
= b
2
É a
1
6 a
2
)],
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÆÕÎÄÉÒÏ×ÁÎÎÙÍ.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ÷ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ha
0
, b
0
i > ha
1
, b
1
i > . . . ÓÔÁÂÉÌÉ-
ÚÉÒÕÀÔÓÑ ÓÎÁÞÁÌÁ ×ÔÏÒÙÅ, Á ÚÁÔÅÍ É ÐÅÒ×ÙÅ ÞÌÅÎÙ.
ïÔÓÀÄÁ ×ÙÔÅËÁÅÔ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÄÌÑ N × N × N, ÄÌÑ N
k
ÉÌÉ
×ÏÏÂÝÅ ÄÌÑ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÆÕÎÄÉÒÏ×ÁÎÎÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×.
åݾ ÐÒÏÝÅ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÓÕÍÍÁ A + B Ä×ÕÈ ÆÕÎÄÉÒÏ×ÁÎÎÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×
A É B ÆÕÎÄÉÒÏ×ÁÎÁ: ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ x
0
6 x
1
6 x
2
6 . . . ÌÉÂÏ ÃÅÌÉËÏÍ
ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ × B (É ÍÙ ÓÓÙÌÁÅÍÓÑ ÎÁ ÆÕÎÄÉÒÏ×ÁÎÎÏÓÔØ B), ÌÉÂÏ ÓÏÄÅÒÖÉÔ
ÜÌÅÍÅÎÔ ÉÚ A. ÷ ÐÏÓÌÅÄÎÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ×ÓÅ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÔÁËÖÅ ÐÒÉÎÁÄ-
ÌÅÖÁÔ A, É ÍÙ ÉÓÐÏÌØÚÕÅÍ ÆÕÎÄÉÒÏ×ÁÎÎÏÓÔØ A.
þÁÓÔÏ × ÐÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÉ (ÉÌÉ × ÏÌÉÍÐÉÁÄÎÙÈ ÚÁÄÁÞÁÈ) ÎÁÍ ÎÕÖÎÏ ÄÏ-
ËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÎÅËÏÔÏÒÙÊ ÐÒÏÃÅÓÓ ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÐÒÏÄÏÌÖÁÔØÓÑ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÄÏÌÇÏ.
îÁÐÒÉÍÅÒ, ÎÁÐÉÓÁ× ÃÉËÌ, ÍÙ ÄÏÌÖÎÙ ÕÂÅÄÉÔØÓÑ, ÞÔÏ ÒÁÎÏ ÉÌÉ ÐÏÚÄÎÏ ÉÚ
ÎÅÇÏ ×ÙÊÄÅÍ. üÔÏ ÍÏÖÎÏ ÓÄÅÌÁÔØ ÔÁË: ××ÅÓÔÉ ËÁËÏÊ-ÔÏ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÊ ÐÁÒÁ-
ÍÅÔÒ É ÕÂÅÄÉÔØÓÑ, ÞÔÏ ÎÁ ËÁÖÄÏÍ ÛÁÇÅ ÃÉËÌÁ ÜÔÏÔ ÐÁÒÁÍÅÔÒ ÕÍÅÎØÛÁÅÔÓÑ.
ôÏÇÄÁ, ÅÓÌÉ ÓÅÊÞÁÓ ÜÔÏÔ ÐÁÒÁÍÅÔÒ ÒÁ×ÅÎ N, ÔÏ ÍÏÖÎÏ ÇÁÒÁÎÔÉÒÏ×ÁÔØ, ÞÔÏ
ÎÅ ÐÏÚÖÅ ÞÅÍ ÞÅÒÅÚ N ÛÁÇÏ× ÃÉËÌ ÚÁËÏÎÞÉÔÓÑ.
ïÄÎÁËÏ ÂÙ×ÁÀÔ ÓÉÔÕÁÃÉÉ, × ËÏÔÏÒÙÈ ÞÉÓÌÏ ÛÁÇÏ× ÚÁÒÁÎÅÅ ÏÃÅÎÉÔØ ÎÅ-
ÌØÚÑ, ÎÏ ÔÅÍ ÎÅ ÍÅÎÅÅ ÇÁÒÁÎÔÉÒÏ×ÁÔØ ÚÁ×ÅÒÛÅÎÉÅ ÃÉËÌÁ ÍÏÖÎÏ, ÐÏÓËÏÌØËÕ
ÅÓÔØ ÐÁÒÁÍÅÔÒ, ÐÒÉÎÉÍÁÀÝÉÊ ÚÎÁÞÅÎÉÑ × ÆÕÎÄÉÒÏ×ÁÎÎÏÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å É ÕÂÙ-
×ÁÀÝÉÊ ÎÁ ËÁÖÄÏÍ ÛÁÇÅ ÃÉËÌÁ.
÷ÏÔ ÐÒÉÍÅÒ ÏÌÉÍÐÉÁÄÎÏÊ ÚÁÄÁÞÉ, ÇÄÅ ÐÏ ÓÕÝÅÓÔ×Õ ÔÁËÏÅ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅ É
ÉÓÐÏÌØÚÕÅÔÓÑ.
âÉÚÎÅÓÍÅÎ ÚÁËÌÀÞÉÌ Ó Þ¾ÒÔÏÍ ÓÄÅÌËÕ: ËÁÖÄÙÊ ÄÅÎØ ÏÎ ÄÁ¾Ô Þ¾ÒÔÕ ÏÄÎÕ
ÍÏÎÅÔÕ, É × ÏÂÍÅÎ ÐÏÌÕÞÁÅÔ ÌÀÂÏÊ ÎÁÂÏÒ ÍÏÎÅÔ ÐÏ Ó×ÏÅÍÕ ×ÙÂÏÒÕ, ÎÏ ×ÓÅ ÜÔÉ
ÍÏÎÅÔÙ ÍÅÎØÛÅÇÏ ÄÏÓÔÏÉÎÓÔ×Á (×ÉÄÏ× ÍÏÎÅÔ ËÏÎÅÞÎÏÅ ÞÉÓÌÏ). íÅÎÑÔØ (ÉÌÉ
ÐÏÌÕÞÁÔØ) ÄÅÎØÇÉ × ÄÒÕÇÏÍ ÍÅÓÔÅ ÂÉÚÎÅÓÍÅÎ ÎÅ ÍÏÖÅÔ. ëÏÇÄÁ ÍÏÎÅÔ ÂÏÌØÛÅ
ÎÅ ÏÓÔÁÎÅÔÓÑ, ÂÉÚÎÅÓÍÅÎ ÐÒÏÉÇÒÙ×ÁÅÔ. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÒÁÎÏ ÉÌÉ ÐÏÚÄÎÏ Þ¾ÒÔ
×ÙÉÇÒÁÅÔ, ËÁËÏ× ÂÙ ÎÉ ÂÙÌ ÎÁÞÁÌØÎÙÊ ÎÁÂÏÒ ÍÏÎÅÔ Õ ÂÉÚÎÅÓÍÅÎÁ.
52                                       çÌÁ×Á II. õÐÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á

ðÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ÐÏÒÑÄËÁ (ÓÎÁÞÁÌÁ ÓÒÁ×ÎÉ×ÁÀÔÓÑ ×ÔÏÒÙÅ ÞÌÅÎÙ) y0 > y1 >
> y2 > . . . É ÐÏÔÏÍÕ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ yi Ó ËÁËÏÇÏ-ÔÏ
ÍÅÓÔÁ ÎÅ ÍÅÎÑÅÔÓÑ. ðÏÓÌÅ ÜÔÏÇÏ ÕÖÅ xi ÄÏÌÖÎÙ ÕÂÙ×ÁÔØ ¡ É ÔÏÖÅ ÓÔÁÂÉÌÉ-
ÚÉÒÕÀÔÓÑ. þÔÏ É ÔÒÅÂÏ×ÁÌÏÓØ.
   ôÏ ÖÅ ÓÁÍÏÅ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅ ÐÒÉÇÏÄÎÏ É × ÂÏÌÅÅ ÏÂÝÅÊ ÓÉÔÕÁÃÉÉ.
   ôÅÏÒÅÍÁ 16. ðÕÓÔØ A É B ¡ Ä×Á ÆÕÎÄÉÒÏ×ÁÎÎÙÈ ÞÁÓÔÉÞÎÏ ÕÐÏÒÑÄÏ-
ÞÅÎÎÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á. ôÏÇÄÁ ÉÈ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ A × B, × ËÏÔÏÒÏÍ
           ha1 , b1i 6 ha2 , b2i ⇔ [(b1 < b2 ) ÉÌÉ (b1 = b2 É a1 6 a2 )],
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÆÕÎÄÉÒÏ×ÁÎÎÙÍ.
   äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ÷ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ha0 , b0i > ha1 , b1i > . . . ÓÔÁÂÉÌÉ-
ÚÉÒÕÀÔÓÑ ÓÎÁÞÁÌÁ ×ÔÏÒÙÅ, Á ÚÁÔÅÍ É ÐÅÒ×ÙÅ ÞÌÅÎÙ.
   ïÔÓÀÄÁ ×ÙÔÅËÁÅÔ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÄÌÑ N × N × N, ÄÌÑ Nk ÉÌÉ
×ÏÏÂÝÅ ÄÌÑ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÆÕÎÄÉÒÏ×ÁÎÎÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×.
   åݾ ÐÒÏÝÅ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÓÕÍÍÁ A + B Ä×ÕÈ ÆÕÎÄÉÒÏ×ÁÎÎÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×
A É B ÆÕÎÄÉÒÏ×ÁÎÁ: ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ x0 6 x1 6 x2 6 . . . ÌÉÂÏ ÃÅÌÉËÏÍ
ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ × B (É ÍÙ ÓÓÙÌÁÅÍÓÑ ÎÁ ÆÕÎÄÉÒÏ×ÁÎÎÏÓÔØ B), ÌÉÂÏ ÓÏÄÅÒÖÉÔ
ÜÌÅÍÅÎÔ ÉÚ A. ÷ ÐÏÓÌÅÄÎÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ×ÓÅ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÔÁËÖÅ ÐÒÉÎÁÄ-
ÌÅÖÁÔ A, É ÍÙ ÉÓÐÏÌØÚÕÅÍ ÆÕÎÄÉÒÏ×ÁÎÎÏÓÔØ A.
   þÁÓÔÏ × ÐÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÉ (ÉÌÉ × ÏÌÉÍÐÉÁÄÎÙÈ ÚÁÄÁÞÁÈ) ÎÁÍ ÎÕÖÎÏ ÄÏ-
ËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÎÅËÏÔÏÒÙÊ ÐÒÏÃÅÓÓ ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÐÒÏÄÏÌÖÁÔØÓÑ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÄÏÌÇÏ.
îÁÐÒÉÍÅÒ, ÎÁÐÉÓÁ× ÃÉËÌ, ÍÙ ÄÏÌÖÎÙ ÕÂÅÄÉÔØÓÑ, ÞÔÏ ÒÁÎÏ ÉÌÉ ÐÏÚÄÎÏ ÉÚ
ÎÅÇÏ ×ÙÊÄÅÍ. üÔÏ ÍÏÖÎÏ ÓÄÅÌÁÔØ ÔÁË: ××ÅÓÔÉ ËÁËÏÊ-ÔÏ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÊ ÐÁÒÁ-
ÍÅÔÒ É ÕÂÅÄÉÔØÓÑ, ÞÔÏ ÎÁ ËÁÖÄÏÍ ÛÁÇÅ ÃÉËÌÁ ÜÔÏÔ ÐÁÒÁÍÅÔÒ ÕÍÅÎØÛÁÅÔÓÑ.
ôÏÇÄÁ, ÅÓÌÉ ÓÅÊÞÁÓ ÜÔÏÔ ÐÁÒÁÍÅÔÒ ÒÁ×ÅÎ N, ÔÏ ÍÏÖÎÏ ÇÁÒÁÎÔÉÒÏ×ÁÔØ, ÞÔÏ
ÎÅ ÐÏÚÖÅ ÞÅÍ ÞÅÒÅÚ N ÛÁÇÏ× ÃÉËÌ ÚÁËÏÎÞÉÔÓÑ.
   ïÄÎÁËÏ ÂÙ×ÁÀÔ ÓÉÔÕÁÃÉÉ, × ËÏÔÏÒÙÈ ÞÉÓÌÏ ÛÁÇÏ× ÚÁÒÁÎÅÅ ÏÃÅÎÉÔØ ÎÅ-
ÌØÚÑ, ÎÏ ÔÅÍ ÎÅ ÍÅÎÅÅ ÇÁÒÁÎÔÉÒÏ×ÁÔØ ÚÁ×ÅÒÛÅÎÉÅ ÃÉËÌÁ ÍÏÖÎÏ, ÐÏÓËÏÌØËÕ
ÅÓÔØ ÐÁÒÁÍÅÔÒ, ÐÒÉÎÉÍÁÀÝÉÊ ÚÎÁÞÅÎÉÑ × ÆÕÎÄÉÒÏ×ÁÎÎÏÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å É ÕÂÙ-
×ÁÀÝÉÊ ÎÁ ËÁÖÄÏÍ ÛÁÇÅ ÃÉËÌÁ.
   ÷ÏÔ ÐÒÉÍÅÒ ÏÌÉÍÐÉÁÄÎÏÊ ÚÁÄÁÞÉ, ÇÄÅ ÐÏ ÓÕÝÅÓÔ×Õ ÔÁËÏÅ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅ É
ÉÓÐÏÌØÚÕÅÔÓÑ.
   âÉÚÎÅÓÍÅÎ ÚÁËÌÀÞÉÌ Ó Þ¾ÒÔÏÍ ÓÄÅÌËÕ: ËÁÖÄÙÊ ÄÅÎØ ÏÎ ÄÁ¾Ô Þ¾ÒÔÕ ÏÄÎÕ
ÍÏÎÅÔÕ, É × ÏÂÍÅÎ ÐÏÌÕÞÁÅÔ ÌÀÂÏÊ ÎÁÂÏÒ ÍÏÎÅÔ ÐÏ Ó×ÏÅÍÕ ×ÙÂÏÒÕ, ÎÏ ×ÓÅ ÜÔÉ
ÍÏÎÅÔÙ ÍÅÎØÛÅÇÏ ÄÏÓÔÏÉÎÓÔ×Á (×ÉÄÏ× ÍÏÎÅÔ ËÏÎÅÞÎÏÅ ÞÉÓÌÏ). íÅÎÑÔØ (ÉÌÉ
ÐÏÌÕÞÁÔØ) ÄÅÎØÇÉ × ÄÒÕÇÏÍ ÍÅÓÔÅ ÂÉÚÎÅÓÍÅÎ ÎÅ ÍÏÖÅÔ. ëÏÇÄÁ ÍÏÎÅÔ ÂÏÌØÛÅ
ÎÅ ÏÓÔÁÎÅÔÓÑ, ÂÉÚÎÅÓÍÅÎ ÐÒÏÉÇÒÙ×ÁÅÔ. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÒÁÎÏ ÉÌÉ ÐÏÚÄÎÏ Þ¾ÒÔ
×ÙÉÇÒÁÅÔ, ËÁËÏ× ÂÙ ÎÉ ÂÙÌ ÎÁÞÁÌØÎÙÊ ÎÁÂÏÒ ÍÏÎÅÔ Õ ÂÉÚÎÅÓÍÅÎÁ.

Страницы