Математическая логика и теория алгоритмов. Самохин А.В. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

8 çÌÁ×Á I. íÎÏÖÅÓÔ×Á É ÍÏÝÎÏÓÔÉ
• þÅÒÅÚ {a, b, c} ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï, ËÏÔÏÒÏÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÜÌÅÍÅÎÔÙ a,
b, c É ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÄÒÕÇÉÈ. åÓÌÉ ÓÒÅÄÉ a, b, c ÅÓÔØ ÒÁ×ÎÙÅ, ÏÎÏ ÍÏÖÅÔ ÓÏ-
ÄÅÒÖÁÔØ ÏÄÉÎ ÉÌÉ Ä×Á ÜÌÅÍÅÎÔÁ. ðÏÄÏÂÎÏÅ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÅ ÉÓÐÏÌØÚÕÅÔÓÑ
É × ÍÅÎÅÅ ÆÏÒÍÁÌØÎÙÈ ÓÉÔÕÁÃÉÑÈ: ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÞÌÅÎÏ× ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØ-
ÎÏÓÔÉ a
0
, a
1
, . . . ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ {a
0
, a
1
, . . . } ÉÌÉ ÄÁÖÅ {a
i
}. âÏÌÅÅ ÁËËÕ-
ÒÁÔÎÁÑ ÚÁÐÉÓØ ÄÌÑ ÔÏÇÏ ÖÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÔÁËÏ×Á: {a
i
| i ∈ N}, ÇÄÅ N ¡
ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ {0, 1, 2, . . . }.
ðÏÎÑÔÉÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÐÏÑ×ÉÌÏÓØ × ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ ÓÒÁ×ÎÉÔÅÌØÎÏ ÎÅÄÁ×ÎÏ, ×
ËÏÎÃÅ 19-ÇÏ ×ÅËÁ, × Ó×ÑÚÉ Ó ÒÁÂÏÔÁÍÉ ëÁÎÔÏÒÁ (ÓÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÍÏÝÎÏÓÔÅÊ ÍÎÏ-
ÖÅÓÔ×), Ï ËÏÔÏÒÙÈ ÐÏÊÄ¾Ô ÒÅÞØ ÄÁÌØÛÅ (ÒÁÚÄÅÌ 3 É ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ). îÅËÏÔÏ-
ÒÏÅ ×ÒÅÍÑ ÎÁÚÁÄ ÜÔÏÔ ÑÚÙË ÐÙÔÁÌÉÓØ ×ÎÅÄÒÉÔØ × ÛËÏÌØÎÏÅ ÐÒÅÐÏÄÁ×ÁÎÉÅ,
ÏÂßÑÓÎÑÑ ÕÞÅÎÉËÁÍ, ÞÔÏ Õ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ x
2
+ 1 = 0 ÅÓÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÒÅÛÅÎÉÊ
(×ÐÒÏÞÅÍ, ÐÕÓÔÏÅ), ÞÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÒÅÛÅÎÉÊ ÓÉÓÔÅÍÙ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÅÓÔØ ÐÅÒÅÓÅ-
ÞÅÎÉÅ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÒÅÛÅÎÉÊ ËÁÖÄÏÇÏ ÉÚ ÎÉÈ (Á ÄÌÑ ÓÏ×ÏËÕÐÎÏÓÔÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ¡
ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ), ÞÔÏ × ÍÎÏÖÅÓÔ×Å {2, 2, 3} ÎÅ ÔÒÉ ÜÌÅÍÅÎÔÁ, Á Ä×Á, É ÏÎÏ ÒÁ×ÎÏ
ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ {2, 3}, ÞÔÏ ∅, {∅} É {∅, {∅}} ¡ ÜÔÏ ÔÒÉ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÒÁÚÎÙÈ
ÍÎÏÖÅÓÔ×Á É Ô. Ä. îÏ ×Ó¾ ÒÁ×ÎÏ ÂÏÌØÛÉÎÓÔ×Ï ÛËÏÌØÎÉËÏ× ÔÁË É ÎÅ ÐÏÎÑ-
ÌÏ, ÐÏÞÅÍÕ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÒÅÛÅÎÉÊ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ x
2
= 4 ÍÏÖÎÏ ÚÁÐÉÓÙ×ÁÔØ ËÁË
{−2, 2}, Á ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÒÅÛÅÎÉÊ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ x
2
= −4 ÎÅÌØÚÑ ÚÁÐÉÓÙ×ÁÔØ ËÁË
{∅} (Á ÎÁÄÏ ÐÉÓÁÔØ ∅). ïÔÍÅÔÉÍ ËÓÔÁÔÉ Åݾ Ä×Á ÒÁÓÈÏÖÄÅÎÉÑ: × ÛËÏÌÅ ÎÁ-
ÔÕÒÁÌØÎÙÅ ÞÉÓÌÁ ÎÁÞÉÎÁÀÔÓÑ Ó ÅÄÉÎÉÃÙ, Á × ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ËÎÉÖËÁÈ ¡ Ó ÎÕÌÑ
(ÍÙ ÔÏÖÅ ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÎÕÌØ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÍ ÞÉÓÌÏÍ). ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÉÎÏÇÄÁ
×ÍÅÓÔÏ ⊂ ÐÉÛÕÔ ⊆, ÉÓÐÏÌØÚÕÑ ⊂ ÄÌÑ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ× (×ÍÅÓÔÏ ÎÁ-
ÛÅÇÏ ().
íÙ ÐÒÅÄÐÏÌÁÇÁÅÍ, ÞÔÏ ÐÅÒÅÞÉÓÌÅÎÎÙÅ ×ÙÛÅ ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÐÏÎÑÔÉÑ ÔÅÏÒÉÉ
ÍÎÏÖÅÓÔ× ÂÏÌÅÅ ÉÌÉ ÍÅÎÅÅ ×ÁÍ ÚÎÁËÏÍÙ, É ÂÕÄÅÍ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ Ó×ÏÂÏÄÎÏ ÉÍÉ
ÐÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ. ÷ÏÔ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÚÁÄÁÞ ÄÌÑ ÓÁÍÏËÏÎÔÒÏÌÑ; ÎÁÄÅÅÍÓÑ, ÞÔÏ ÂÏÌØ-
ÛÉÎÓÔ×Ï ÉÚ ÎÉÈ ÎÅ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÔ ÄÌÑ ×ÁÓ ÂÏÌØÛÏÇÏ ÔÒÕÄÁ.
úÁÄÁÞÁ 1. óÔÁÒÅÊÛÉÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉË ÓÒÅÄÉ ÛÁÈÍÁÔÉÓÔÏ× É ÓÔÁÒÅÊÛÉÊ
ÛÁÈÍÁÔÉÓÔ ÓÒÅÄÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ× ¡ ÜÔÏ ÏÄÉÎ ÉÌÉ ÔÏÔ ÖÅ ÞÅÌÏ×ÅË ÉÌÉ
(×ÏÚÍÏÖÎÏ) ÒÁÚÎÙÅ?
úÁÄÁÞÁ 2. ìÕÞÛÉÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉË ÓÒÅÄÉ ÛÁÈÍÁÔÉÓÔÏ× É ÌÕÞÛÉÊ ÛÁÈÍÁ-
ÔÉÓÔ ÓÒÅÄÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ× ¡ ÜÔÏ ÏÄÉÎ ÉÌÉ ÔÏÔ ÖÅ ÞÅÌÏ×ÅË ÉÌÉ (×ÏÚÍÏÖ-
ÎÏ) ÒÁÚÎÙÅ?
úÁÄÁÞÁ 3. ëÁÖÄÙÊ ÄÅÓÑÔÙÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉË ¡ ÛÁÈÍÁÔÉÓÔ, Á ËÁÖÄÙÊ
ÛÅÓÔÏÊ ÛÁÈÍÁÔÉÓÔ ¡ ÍÁÔÅÍÁÔÉË. ëÏÇÏ ÂÏÌØÛÅ ¡ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ× ÉÌÉ
ÛÁÈÍÁÔÉÓÔÏ× ¡ É ×Ï ÓËÏÌØËÏ ÒÁÚ?
8                                              çÌÁ×Á I. íÎÏÖÅÓÔ×Á É ÍÏÝÎÏÓÔÉ

    • þÅÒÅÚ {a, b, c} ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï, ËÏÔÏÒÏÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÜÌÅÍÅÎÔÙ a,
      b, c É ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÄÒÕÇÉÈ. åÓÌÉ ÓÒÅÄÉ a, b, c ÅÓÔØ ÒÁ×ÎÙÅ, ÏÎÏ ÍÏÖÅÔ ÓÏ-
      ÄÅÒÖÁÔØ ÏÄÉÎ ÉÌÉ Ä×Á ÜÌÅÍÅÎÔÁ. ðÏÄÏÂÎÏÅ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÅ ÉÓÐÏÌØÚÕÅÔÓÑ
      É × ÍÅÎÅÅ ÆÏÒÍÁÌØÎÙÈ ÓÉÔÕÁÃÉÑÈ: ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÞÌÅÎÏ× ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØ-
      ÎÏÓÔÉ a0 , a1 , . . . ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ {a0, a1 , . . . } ÉÌÉ ÄÁÖÅ {ai }. âÏÌÅÅ ÁËËÕ-
      ÒÁÔÎÁÑ ÚÁÐÉÓØ ÄÌÑ ÔÏÇÏ ÖÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÔÁËÏ×Á: {ai | i ∈ N}, ÇÄÅ N ¡
      ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ {0, 1, 2, . . . }.
   ðÏÎÑÔÉÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÐÏÑ×ÉÌÏÓØ × ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ ÓÒÁ×ÎÉÔÅÌØÎÏ ÎÅÄÁ×ÎÏ, ×
ËÏÎÃÅ 19-ÇÏ ×ÅËÁ, × Ó×ÑÚÉ Ó ÒÁÂÏÔÁÍÉ ëÁÎÔÏÒÁ (ÓÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÍÏÝÎÏÓÔÅÊ ÍÎÏ-
ÖÅÓÔ×), Ï ËÏÔÏÒÙÈ ÐÏÊÄ¾Ô ÒÅÞØ ÄÁÌØÛÅ (ÒÁÚÄÅÌ 3 É ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ). îÅËÏÔÏ-
ÒÏÅ ×ÒÅÍÑ ÎÁÚÁÄ ÜÔÏÔ ÑÚÙË ÐÙÔÁÌÉÓØ ×ÎÅÄÒÉÔØ × ÛËÏÌØÎÏÅ ÐÒÅÐÏÄÁ×ÁÎÉÅ,
ÏÂßÑÓÎÑÑ ÕÞÅÎÉËÁÍ, ÞÔÏ Õ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ x2 + 1 = 0 ÅÓÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÒÅÛÅÎÉÊ
(×ÐÒÏÞÅÍ, ÐÕÓÔÏÅ), ÞÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÒÅÛÅÎÉÊ ÓÉÓÔÅÍÙ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÅÓÔØ ÐÅÒÅÓÅ-
ÞÅÎÉÅ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÒÅÛÅÎÉÊ ËÁÖÄÏÇÏ ÉÚ ÎÉÈ (Á ÄÌÑ ÓÏ×ÏËÕÐÎÏÓÔÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ¡
ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ), ÞÔÏ × ÍÎÏÖÅÓÔ×Å {2, 2, 3} ÎÅ ÔÒÉ ÜÌÅÍÅÎÔÁ, Á Ä×Á, É ÏÎÏ ÒÁ×ÎÏ
ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ {2, 3}, ÞÔÏ ∅, {∅} É {∅, {∅}} ¡ ÜÔÏ ÔÒÉ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÒÁÚÎÙÈ
ÍÎÏÖÅÓÔ×Á É Ô. Ä. îÏ ×Ó¾ ÒÁ×ÎÏ ÂÏÌØÛÉÎÓÔ×Ï ÛËÏÌØÎÉËÏ× ÔÁË É ÎÅ ÐÏÎÑ-
ÌÏ, ÐÏÞÅÍÕ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÒÅÛÅÎÉÊ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ x2 = 4 ÍÏÖÎÏ ÚÁÐÉÓÙ×ÁÔØ ËÁË
{−2, 2}, Á ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÒÅÛÅÎÉÊ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ x2 = −4 ÎÅÌØÚÑ ÚÁÐÉÓÙ×ÁÔØ ËÁË
{∅} (Á ÎÁÄÏ ÐÉÓÁÔØ ∅). ïÔÍÅÔÉÍ ËÓÔÁÔÉ Åݾ Ä×Á ÒÁÓÈÏÖÄÅÎÉÑ: × ÛËÏÌÅ ÎÁ-
ÔÕÒÁÌØÎÙÅ ÞÉÓÌÁ ÎÁÞÉÎÁÀÔÓÑ Ó ÅÄÉÎÉÃÙ, Á × ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ËÎÉÖËÁÈ ¡ Ó ÎÕÌÑ
(ÍÙ ÔÏÖÅ ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÎÕÌØ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÍ ÞÉÓÌÏÍ). ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÉÎÏÇÄÁ
×ÍÅÓÔÏ ⊂ ÐÉÛÕÔ ⊆, ÉÓÐÏÌØÚÕÑ ⊂ ÄÌÑ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ× (×ÍÅÓÔÏ ÎÁ-
ÛÅÇÏ ().
   íÙ ÐÒÅÄÐÏÌÁÇÁÅÍ, ÞÔÏ ÐÅÒÅÞÉÓÌÅÎÎÙÅ ×ÙÛÅ ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÐÏÎÑÔÉÑ ÔÅÏÒÉÉ
ÍÎÏÖÅÓÔ× ÂÏÌÅÅ ÉÌÉ ÍÅÎÅÅ ×ÁÍ ÚÎÁËÏÍÙ, É ÂÕÄÅÍ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ Ó×ÏÂÏÄÎÏ ÉÍÉ
ÐÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ. ÷ÏÔ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÚÁÄÁÞ ÄÌÑ ÓÁÍÏËÏÎÔÒÏÌÑ; ÎÁÄÅÅÍÓÑ, ÞÔÏ ÂÏÌØ-
ÛÉÎÓÔ×Ï ÉÚ ÎÉÈ ÎÅ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÔ ÄÌÑ ×ÁÓ ÂÏÌØÛÏÇÏ ÔÒÕÄÁ.

   úÁÄÁÞÁ 1. óÔÁÒÅÊÛÉÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉË ÓÒÅÄÉ ÛÁÈÍÁÔÉÓÔÏ× É ÓÔÁÒÅÊÛÉÊ
ÛÁÈÍÁÔÉÓÔ ÓÒÅÄÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ× ¡ ÜÔÏ ÏÄÉÎ ÉÌÉ ÔÏÔ ÖÅ ÞÅÌÏ×ÅË ÉÌÉ
(×ÏÚÍÏÖÎÏ) ÒÁÚÎÙÅ?

   úÁÄÁÞÁ 2. ìÕÞÛÉÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉË ÓÒÅÄÉ ÛÁÈÍÁÔÉÓÔÏ× É ÌÕÞÛÉÊ ÛÁÈÍÁ-
ÔÉÓÔ ÓÒÅÄÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ× ¡ ÜÔÏ ÏÄÉÎ ÉÌÉ ÔÏÔ ÖÅ ÞÅÌÏ×ÅË ÉÌÉ (×ÏÚÍÏÖ-
ÎÏ) ÒÁÚÎÙÅ?

  úÁÄÁÞÁ 3. ëÁÖÄÙÊ ÄÅÓÑÔÙÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉË ¡ ÛÁÈÍÁÔÉÓÔ, Á ËÁÖÄÙÊ
ÛÅÓÔÏÊ ÛÁÈÍÁÔÉÓÔ ¡ ÍÁÔÅÍÁÔÉË. ëÏÇÏ ÂÏÌØÛÅ ¡ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ× ÉÌÉ
ÛÁÈÍÁÔÉÓÔÏ× ¡ É ×Ï ÓËÏÌØËÏ ÒÁÚ?

Страницы