Математическая логика и теория алгоритмов. Самохин А.В. - 80 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

80 çÌÁ×Á III. ìÏÇÉËÁ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ
ôÅÏÒÅÍÁ 29. óÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÓÈÅÍÁ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ Ä×ÕÈ n-ÒÁÚÒÑÄÎÙÈ ÞÉÓÅÌ
ÒÁÚÍÅÒÁ O(n
log
2
3
) É ÇÌÕÂÉÎÙ O(log
2
n).
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. îÁÞÎ¾Í Ó ÔÁËÏÇÏ ÚÁÍÅÞÁÎÉÑ. ÷ÙÞÉÓÌÑÑ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ
Ä×ÕÈ ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÈ ÞÉÓÅÌ
(a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i
ÏÂÙÞÎÙÍ ÓÐÏÓÏÂÏÍ, ÍÙ ÄÅÌÁÅÍ ÞÅÔÙÒÅ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ. îÏ ÍÏÖÎÏ ÏÂÏÊÔÉÓØ É
ÔÒÅÍÑ Ó ÐÏÍÏÝØÀ ÔÁËÏÇÏ ÔÒÀËÁ: ×ÙÞÉÓÌÉÔØ ac, bd É (a + b)(c + d), Á ÐÏÔÏÍ
ÎÁÊÔÉ ad + bc ËÁË ÒÁÚÎÏÓÔØ (a + b)(c + d) − ac − bd.
áÎÁÌÏÇÉÞÎÙÊ ÆÏËÕÓ ÍÏÖÎÏ ÐÒÏÄÅÌÁÔØ É ÄÌÑ ÃÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ. òÁÚÏÂؾÍ
2n-ÂÉÔÏ×ÏÅ ÞÉÓÌÏ ÎÁ Ä×Å n-ÂÉÔÏ×ÙÅ ÞÁÓÔÉ, ÔÏ ÅÓÔØ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ ÅÇÏ × ×É-
ÄÅ a2
n
+ b. ôÅÐÅÒØ ÚÁÐÉÛÅÍ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ Ä×ÕÈ ÔÁËÉÈ ÞÉÓÅÌ:
(a2
n
+ b)(c2
n
+ d) = ac2
2n
+ (ad + bc)2
n
+ bd.
ôÅÐÅÒØ ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÎÁÊÔÉ ÔÒÉ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ac, bd É (a+b)(c+d),
ÞÔÏÂÙ ÏÐÒÅÄÅÌÉÔØ ×ÓÅ ÔÒÉ ÓÌÁÇÁÅÍÙÈ × ÐÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á. ðÏÌÕÞÁÅÔ-
ÓÑ, ÞÔÏ ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ Ä×ÕÈ 2n-ÒÁÚÒÑÄÎÙÈ ÞÉÓÅÌ Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë ÔÒ¾Í ÕÍÎÏÖÅÎÉÑÍ
n-ÒÁÚÒÑÄÎÙÈ É Ë ÎÅÓËÏÌØËÉÍ ÓÌÏÖÅÎÉÑÍ É ×ÙÞÉÔÁÎÉÑÍ. (îÁ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ ÐÒÉ
ÕÍÎÏÖÅÎÉÉ (a+b) ÎÁ (c+d) ÓÏÍÎÏÖÉÔÅÌÉ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ (n+1)-ÒÁÚÒÑÄÎÙÍÉ, ÎÏ
ÜÔÏ ÎÅ ÓÔÒÁÛÎÏ, ÔÁË ËÁË ÏÂÒÁÂÏÔËÁ ÌÉÛÎÅÇÏ ÒÁÚÒÑÄÁ Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë ÎÅÓËÏÌØËÉÍ
ÓÌÏÖÅÎÉÑÍ.)
äÌÑ ÒÁÚÍÅÒÁ ÓÈÅÍÙ, ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÐÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÁÑ ÏÃÅÎËÁ
S(2n) 6 3S(n) + O(n),
ÉÚ ËÏÔÏÒÏÊ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ S(n) = O(n
log
2
3
). ÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ÄÌÑ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ
n-ÒÁÚÒÑÄÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÄÅÒÅ×Ï ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÙÈ ×ÙÚÏ×Ï× ÇÌÕÂÉÎÙ log
2
n
É ÓÔÅÐÅÎÉ ×ÅÔ×ÌÅÎÉÑ 3. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÒÁÚÍÅÒ ÓÈÅÍÙ × ×ÅÒÛÉÎÅ ÐÒÏÐÏÒÃÉÏ-
ÎÁÌÅÎ ÞÉÓÌÕ ÓËÌÁÄÙ×ÁÅÍÙÈ ÂÉÔÏ×. ðÒÉ ÐÅÒÅÈÏÄÅ ÏÔ ÏÄÎÏÇÏ ÕÒÏ×ÎÑ Ë ÓÌÅÄÕ-
ÀÝÅÍÕ (ÂÏÌÅÅ ÂÌÉÚËÏÍÕ Ë ËÏÒÎÀ) ÒÁÚÍÅÒ ÓÌÁÇÁÅÍÙÈ ÒÁÓÔ¾Ô ×Ä×ÏÅ, Á ÞÉÓÌÏ
×ÅÒÛÉÎ ÕÍÅÎØÛÁÅÔÓÑ ×ÔÒÏÅ, ÐÏÜÔÏÍÕ ÏÂÝÅÅ ÞÉÓÌÏ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÎÁ ÜÔÏÍ ÕÒÏ×-
ÎÅ ÕÍÅÎØÛÁÅÔÓÑ × ÐÏÌÔÏÒÁ ÒÁÚÁ. ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÐÒÉ Ä×ÉÖÅÎÉÉ ÐÏ ÕÒÏ×ÎÑÍ
ÏÔ ÌÉÓÔØÅ× Ë ËÏÒÎÀ ÐÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÕÂÙ×ÁÀÝÁÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÁÑ ÐÒÏÇÒÅÓÓÉÑ ÓÏ
ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌÅÍ 2/3, ÓÕÍÍÁ ËÏÔÏÒÏÊ ×ÓÅÇÏ ÌÉÛØ ×ÔÒÏÅ ÐÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔ Å¾ ÐÅÒ×ÙÊ
ÞÌÅÎ. ïÓÔÁ¾ÔÓÑ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ ÞÉÓÌÏ ÌÉÓÔØÅ× ÒÁ×ÎÏ 3
log
2
n
= n
log
2
3
.
ïÃÅÎËÁ ÇÌÕÂÉÎÙ ÔÁËÖÅ ÏÞÅ×ÉÄÎÁ: ÎÁ ËÁÖÄÏÍ ÕÒÏ×ÎÅ ÍÙ ÉÍÅÅÍ ÓÈÅÍÕ
ÓÌÏÖÅÎÉÑ ÇÌÕÂÉÎÙ O(log n), Á ÞÉÓÌÏ ÕÒÏ×ÎÅÊ ÅÓÔØ O(log n).
îÁ ÜÔÏÍ ÍÙ ÚÁ×ÅÒÛÁÅÍ ÚÎÁËÏÍÓÔ×Ï ÓÏ ÓÈÅÍÁÍÉ ÉÚ ÆÕÎËÃÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÜÌÅ-
ÍÅÎÔÏ×, ×ÙÐÏÌÎÑÀÝÉÍÉ ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÉÅ ÏÐÅÒÁÃÉÉ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÔÅÐÅÒØ
80                                        çÌÁ×Á III. ìÏÇÉËÁ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ

   ôÅÏÒÅÍÁ 29. óÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÓÈÅÍÁ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ Ä×ÕÈ n-ÒÁÚÒÑÄÎÙÈ ÞÉÓÅÌ
ÒÁÚÍÅÒÁ O(nlog2 3) É ÇÌÕÂÉÎÙ O(log2 n).
  äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. îÁÞÎ¾Í Ó ÔÁËÏÇÏ ÚÁÍÅÞÁÎÉÑ. ÷ÙÞÉÓÌÑÑ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ
Ä×ÕÈ ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÈ ÞÉÓÅÌ
                  (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i
ÏÂÙÞÎÙÍ ÓÐÏÓÏÂÏÍ, ÍÙ ÄÅÌÁÅÍ ÞÅÔÙÒÅ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ. îÏ ÍÏÖÎÏ ÏÂÏÊÔÉÓØ É
ÔÒÅÍÑ Ó ÐÏÍÏÝØÀ ÔÁËÏÇÏ ÔÒÀËÁ: ×ÙÞÉÓÌÉÔØ ac, bd É (a + b)(c + d), Á ÐÏÔÏÍ
ÎÁÊÔÉ ad + bc ËÁË ÒÁÚÎÏÓÔØ (a + b)(c + d) − ac − bd.
   áÎÁÌÏÇÉÞÎÙÊ ÆÏËÕÓ ÍÏÖÎÏ ÐÒÏÄÅÌÁÔØ É ÄÌÑ ÃÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ. òÁÚÏÂؾÍ
2n-ÂÉÔÏ×ÏÅ ÞÉÓÌÏ ÎÁ Ä×Å n-ÂÉÔÏ×ÙÅ ÞÁÓÔÉ, ÔÏ ÅÓÔØ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ ÅÇÏ × ×É-
ÄÅ a2n + b. ôÅÐÅÒØ ÚÁÐÉÛÅÍ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ Ä×ÕÈ ÔÁËÉÈ ÞÉÓÅÌ:
               (a2n + b)(c2n + d) = ac22n + (ad + bc)2n + bd.
ôÅÐÅÒØ ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÎÁÊÔÉ ÔÒÉ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ac, bd É (a+b)(c+d),
ÞÔÏÂÙ ÏÐÒÅÄÅÌÉÔØ ×ÓÅ ÔÒÉ ÓÌÁÇÁÅÍÙÈ × ÐÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á. ðÏÌÕÞÁÅÔ-
ÓÑ, ÞÔÏ ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ Ä×ÕÈ 2n-ÒÁÚÒÑÄÎÙÈ ÞÉÓÅÌ Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë ÔÒ¾Í ÕÍÎÏÖÅÎÉÑÍ
n-ÒÁÚÒÑÄÎÙÈ É Ë ÎÅÓËÏÌØËÉÍ ÓÌÏÖÅÎÉÑÍ É ×ÙÞÉÔÁÎÉÑÍ. (îÁ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ ÐÒÉ
ÕÍÎÏÖÅÎÉÉ (a+b) ÎÁ (c+d) ÓÏÍÎÏÖÉÔÅÌÉ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ (n+1)-ÒÁÚÒÑÄÎÙÍÉ, ÎÏ
ÜÔÏ ÎÅ ÓÔÒÁÛÎÏ, ÔÁË ËÁË ÏÂÒÁÂÏÔËÁ ÌÉÛÎÅÇÏ ÒÁÚÒÑÄÁ Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë ÎÅÓËÏÌØËÉÍ
ÓÌÏÖÅÎÉÑÍ.)
   äÌÑ ÒÁÚÍÅÒÁ ÓÈÅÍÙ, ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÐÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÁÑ ÏÃÅÎËÁ
                          S(2n) 6 3S(n) + O(n),
ÉÚ ËÏÔÏÒÏÊ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ S(n) = O(nlog2 3 ). ÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ÄÌÑ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ
n-ÒÁÚÒÑÄÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÄÅÒÅ×Ï ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÙÈ ×ÙÚÏ×Ï× ÇÌÕÂÉÎÙ log 2 n
É ÓÔÅÐÅÎÉ ×ÅÔ×ÌÅÎÉÑ 3. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÒÁÚÍÅÒ ÓÈÅÍÙ × ×ÅÒÛÉÎÅ ÐÒÏÐÏÒÃÉÏ-
ÎÁÌÅÎ ÞÉÓÌÕ ÓËÌÁÄÙ×ÁÅÍÙÈ ÂÉÔÏ×. ðÒÉ ÐÅÒÅÈÏÄÅ ÏÔ ÏÄÎÏÇÏ ÕÒÏ×ÎÑ Ë ÓÌÅÄÕ-
ÀÝÅÍÕ (ÂÏÌÅÅ ÂÌÉÚËÏÍÕ Ë ËÏÒÎÀ) ÒÁÚÍÅÒ ÓÌÁÇÁÅÍÙÈ ÒÁÓÔ¾Ô ×Ä×ÏÅ, Á ÞÉÓÌÏ
×ÅÒÛÉÎ ÕÍÅÎØÛÁÅÔÓÑ ×ÔÒÏÅ, ÐÏÜÔÏÍÕ ÏÂÝÅÅ ÞÉÓÌÏ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÎÁ ÜÔÏÍ ÕÒÏ×-
ÎÅ ÕÍÅÎØÛÁÅÔÓÑ × ÐÏÌÔÏÒÁ ÒÁÚÁ. ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÐÒÉ Ä×ÉÖÅÎÉÉ ÐÏ ÕÒÏ×ÎÑÍ
ÏÔ ÌÉÓÔØÅ× Ë ËÏÒÎÀ ÐÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÕÂÙ×ÁÀÝÁÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÁÑ ÐÒÏÇÒÅÓÓÉÑ ÓÏ
ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌÅÍ 2/3, ÓÕÍÍÁ ËÏÔÏÒÏÊ ×ÓÅÇÏ ÌÉÛØ ×ÔÒÏÅ ÐÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔ Å¾ ÐÅÒ×ÙÊ
ÞÌÅÎ. ïÓÔÁ¾ÔÓÑ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ ÞÉÓÌÏ ÌÉÓÔØÅ× ÒÁ×ÎÏ 3log2 n = nlog2 3 .
   ïÃÅÎËÁ ÇÌÕÂÉÎÙ ÔÁËÖÅ ÏÞÅ×ÉÄÎÁ: ÎÁ ËÁÖÄÏÍ ÕÒÏ×ÎÅ ÍÙ ÉÍÅÅÍ ÓÈÅÍÕ
ÓÌÏÖÅÎÉÑ ÇÌÕÂÉÎÙ O(log n), Á ÞÉÓÌÏ ÕÒÏ×ÎÅÊ ÅÓÔØ O(log n).
  îÁ ÜÔÏÍ ÍÙ ÚÁ×ÅÒÛÁÅÍ ÚÎÁËÏÍÓÔ×Ï ÓÏ ÓÈÅÍÁÍÉ ÉÚ ÆÕÎËÃÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÜÌÅ-
ÍÅÎÔÏ×, ×ÙÐÏÌÎÑÀÝÉÍÉ ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÉÅ ÏÐÅÒÁÃÉÉ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÔÅÐÅÒØ

Страницы