Сборник задач по высшей математике. Часть II. Пределы. Производные. Графики функций. Самохин А.В - 102 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

çìá÷á IV
ðÏÓÔÒÏÅÎÉÅ ÇÒÁÆÉËÏ× ÆÕÎËÃÉÊ
§13. ïÂÝÉÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÆÕÎËÃÉÊ
13.1. þ¾ÔÎÏÓÔØ É ÎÅÞ¾ÔÎÏÓÔØ
æÕÎËÃÉÑ y = f(x) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ Þ¾ÔÎÏÊ, ÅÓÌÉ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑ x, ×ÚÑ-
ÔÏÇÏ ÉÚ ÏÂÌÁÓÔÉ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÆÕÎËÃÉÉ, ÚÎÁÞÅÎÉÅ −x ÔÁËÖÅ ÐÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ
ÏÂÌÁÓÔÉ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ É ×ÙÐÏÌÎÑÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï f (x) = f(−x).
þ¾ÔÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÁ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å, ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÍ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ
ÎÁÞÁÌÁ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ. çÒÁÆÉË Þ¾ÔÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÎ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÏÓÉ
ÏÒÄÉÎÁÔ (ÏÓÉ Oy, ÓÍ. ÌÅ×ÙÊ ÒÉÓÕÎÏË).
ðÒÉÍÅÒÙ Þ¾ÔÎÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ: y = x
2
, y =
3
√
x
8
, y = ln |x|, y = cos x.
æÕÎËÃÉÑ y = f(x) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÎÅÞ¾ÔÎÏÊ, ÅÓÌÉ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑ x,
×ÚÑÔÏÇÏ ÉÚ ÏÂÌÁÓÔÉ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÆÕÎËÃÉÉ, ÚÎÁÞÅÎÉÅ −x ÔÁËÖÅ ÐÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ
ÏÂÌÁÓÔÉ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ É ×ÙÐÏÌÎÑÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï f (x) = −f(−x).
çÒÁÆÉË ÎÅÞ¾ÔÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÎ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÎÁÞÁÌÁ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ
(ÓÍ. ÐÒÁ×ÙÊ ÒÉÓÕÎÏË).
ðÒÉÍÅÒÙ ÎÅÞ¾ÔÎÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ: y = x
3
, y =
3
√
x
7
, y = sin x, y = x
√
1 + x
2
,
y = tg x, y = arcsin x, y = arctg x.
ðÒÉ ÐÏÓÔÒÏÅÎÉÉ ÇÒÁÆÉËÏ× Þ¾ÔÎÙÈ É ÎÅÞ¾ÔÎÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÐÏ-
ÓÔÒÏÉÔØ ÔÏÌØËÏ ÐÒÁ×ÕÀ ×ÅÔ×Ø ÇÒÁÆÉËÁ ¡ ÄÌÑ ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÈ É ÎÕÌÅ×ÏÇÏ
ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ. ìÅ×ÁÑ ×ÅÔ×Ø ÄÏÓÔÒÁÉ×ÁÅÔÓÑ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ
ÏÓÉ ÏÒÄÉÎÁÔ ÄÌÑ Þ¾ÔÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ É ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ (ÔÏ ÅÓÔØ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ
ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÎÁÞÁÌÁ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ) ÄÌÑ ÎÅÞ¾ÔÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ.
ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ Ä×ÕÈ Þ¾ÔÎÙÈ ÉÌÉ Ä×ÕÈ ÎÅÞ¾ÔÎÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ
ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ Þ¾ÔÎÕÀ ÆÕÎËÃÉÀ, Á ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ Þ¾ÔÎÏÊ É ÎÅÞ¾ÔÎÏÊ
102
                           çìá÷á IV
      ðÏÓÔÒÏÅÎÉÅ ÇÒÁÆÉËÏ× ÆÕÎËÃÉÊ

§13. ïÂÝÉÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÆÕÎËÃÉÊ
13.1. þ¾ÔÎÏÓÔØ É ÎÅÞ¾ÔÎÏÓÔØ

   æÕÎËÃÉÑ y = f (x) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ Þ¾ÔÎÏÊ, ÅÓÌÉ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑ x, ×ÚÑ-
ÔÏÇÏ ÉÚ ÏÂÌÁÓÔÉ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÆÕÎËÃÉÉ, ÚÎÁÞÅÎÉÅ −x ÔÁËÖÅ ÐÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ
ÏÂÌÁÓÔÉ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ É ×ÙÐÏÌÎÑÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï f (x) = f (−x).
   þ¾ÔÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÁ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å, ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÍ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ
ÎÁÞÁÌÁ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ. çÒÁÆÉË Þ¾ÔÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÎ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÏÓÉ
ÏÒÄÉÎÁÔ (ÏÓÉ Oy, ÓÍ. ÌÅ×ÙÊ ÒÉÓÕÎÏË).     √
                                         3
   ðÒÉÍÅÒÙ Þ¾ÔÎÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ: y = x2, y = x8, y = ln |x|, y = cos x.




   æÕÎËÃÉÑ y = f (x) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÎÅÞ¾ÔÎÏÊ, ÅÓÌÉ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑ x,
×ÚÑÔÏÇÏ ÉÚ ÏÂÌÁÓÔÉ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÆÕÎËÃÉÉ, ÚÎÁÞÅÎÉÅ −x ÔÁËÖÅ ÐÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ
ÏÂÌÁÓÔÉ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ É ×ÙÐÏÌÎÑÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï f (x) = −f (−x).
   çÒÁÆÉË ÎÅÞ¾ÔÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÎ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÎÁÞÁÌÁ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ
(ÓÍ. ÐÒÁ×ÙÊ ÒÉÓÕÎÏË).                      √                   √
                                            3
   ðÒÉÍÅÒÙ ÎÅÞ¾ÔÎÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ: y = x3, y = x7, y = sin x, y = x 1 + x2,
y = tg x, y = arcsin x, y = arctg x.
   ðÒÉ ÐÏÓÔÒÏÅÎÉÉ ÇÒÁÆÉËÏ× Þ¾ÔÎÙÈ É ÎÅÞ¾ÔÎÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÐÏ-
ÓÔÒÏÉÔØ ÔÏÌØËÏ ÐÒÁ×ÕÀ ×ÅÔ×Ø ÇÒÁÆÉËÁ ¡ ÄÌÑ ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÈ É ÎÕÌÅ×ÏÇÏ
ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ. ìÅ×ÁÑ ×ÅÔ×Ø ÄÏÓÔÒÁÉ×ÁÅÔÓÑ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ
ÏÓÉ ÏÒÄÉÎÁÔ ÄÌÑ Þ¾ÔÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ É ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ (ÔÏ ÅÓÔØ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ
ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÎÁÞÁÌÁ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ) ÄÌÑ ÎÅÞ¾ÔÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ.
   ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ Ä×ÕÈ Þ¾ÔÎÙÈ ÉÌÉ Ä×ÕÈ ÎÅÞ¾ÔÎÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ
ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ Þ¾ÔÎÕÀ ÆÕÎËÃÉÀ, Á ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ Þ¾ÔÎÏÊ É ÎÅÞ¾ÔÎÏÊ
                                     102

Страницы