Сборник задач по высшей математике. Часть II. Пределы. Производные. Графики функций. Самохин А.В - 114 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

114 çÌÁ×Á IV. ðÏÓÔÒÏÅÎÉÅ ÇÒÁÆÉËÏ× ÆÕÎËÃÉÊ
ðÒÉÍÅÒ 4. îÁÊÔÉ ÁÓÉÍÐÔÏÔÙ ÇÒÁÆÉËÁ ÆÕÎËÃÉÉ y =
sin x
x
.
òÅÛÅÎÉÅ. ôÏÞËÁ x = 0 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÏÞËÏÊ ÒÁÚÒÙ×Á ÐÅÒ×ÏÇÏ ÒÏÄÁ (ÓÍ.
ÐÒÉÍÅÒ 3 §14), ÐÏÜÔÏÍÕ ×ÅÒÔÉËÁÌØÎÙÈ ÁÓÉÍÐÔÏÔ ÎÅÔ. çÏÒÉÚÏÎÔÁÌØÎÏÊ ÁÓÉÍ-
ÐÔÏÔÏÊ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÒÑÍÁÑ y = 0, ÔÁË ËÁË lim
x→∞
sin x
x
= 0. îÁËÌÏÎÎÙÈ ÁÓÉÍÐÔÏÔ
ÎÅÔ.
úÁÍÅÞÁÎÉÅ. áÓÉÍÐÔÏÔÁ ÇÒÁÆÉËÁ ÆÕÎËÃÉÉ ÍÏÖÅÔ ÐÅÒÅÓÅËÁÔØ ÓÁÍ ÇÒÁÆÉË
ÆÕÎËÃÉÉ. âÏÌÅÅ ÔÏÇÏ, ÁÓÉÍÐÔÏÔÁ ÇÒÁÆÉËÁ ÆÕÎËÃÉÉ ÍÏÖÅÔ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÅ ÞÉÓÌÏ
ÒÁÚ ÐÅÒÅÓÅËÁÔØ ÓÁÍ ÇÒÁÆÉË ÆÕÎËÃÉÉ (ÓÍ. ÐÒÉÍÅÒ 4).
15.2. îÁÈÏÖÄÅÎÉÅ ÇÏÒÉÚÏÎÔÁÌØÎÙÈ É ÎÁËÌÏÎÎÙÈ ÁÓÉÍÐÔÏÔ
çÏÒÉÚÏÎÔÁÌØÎÙÅ É ÎÁËÌÏÎÎÙÅ ÁÓÉÍÐÔÏÔÙ ÇÒÁÆÉËÁ ÆÕÎËÃÉÉ y = f(x) ÐÒÉ
x → ∞ ÍÏÖÎÏ ÎÁÈÏÄÉÔØ ÐÏ ÓÌÅÄÕÀÝÅÍÕ ÁÌÇÏÒÉÔÍÕ.
1. ÷ÙÞÉÓÌÉÔØ lim
x→∞
f(x). åÓÌÉ ÜÔÏÔ ÐÒÅÄÅÌ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ É ÒÁ×ÅÎ ÎÅËÏÔÏ-
ÒÏÍÕ ÞÉÓÌÕ b, ÔÏ y = b ¡ ÇÏÒÉÚÏÎÔÁÌØÎÁÑ ÁÓÉÍÐÔÏÔÁ. åÓÌÉ ÐÒÅÄÅÌ ÎÅ
ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÉÌÉ ÒÁ×ÅÎ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÓÔÉ, ÔÏ ÐÅÒÅÊÔÉ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÐÕÎËÔÕ.
2. ÷ÙÞÉÓÌÉÔØ lim
x→∞
f(x)
x
. åÓÌÉ ÜÔÏÔ ÐÒÅÄÅÌ ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÉÌÉ ÒÁ×ÅÎ ÂÅÓ-
ËÏÎÅÞÎÏÓÔÉ, ÔÏ ÁÓÉÍÐÔÏÔÙ ÎÅÔ. åÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ËÏÎÅÞÎÙÊ ÐÒÅÄÅÌ
lim
x→∞
f(x)
x
= k, ÔÏ ÐÅÒÅÊÔÉ Ë ÔÒÅÔØÅÍÕ ÛÁÇÕ.
3. ÷ÙÞÉÓÌÉÔØ lim
x→∞
(f(x) −kx). åÓÌÉ ÜÔÏÔ ÐÒÅÄÅÌ ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÉÌÉ ÒÁ-
×ÅÎ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÓÔÉ, ÔÏ ÁÓÉÍÐÔÏÔÙ ÎÅÔ. åÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ËÏÎÅÞÎÙÊ
ÐÒÅÄÅÌ lim
x→∞
(f(x) − kx) = b, ÔÏ ÐÅÒÅÊÔÉ Ë ÞÅÔ×¾ÒÔÏÍÕ ÛÁÇÕ.
4. úÁÐÉÓÁÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÎÁËÌÏÎÎÏÊ ÁÓÉÍÐÔÏÔÙ: y = kx + b.
úÁÍÅÞÁÎÉÅ. ðÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÐÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÎÁÊÔÉ ÐÒÑÍÕÀ, Ñ×ÌÑ-
ÀÝÕÀÓÑ ÁÓÉÍÐÔÏÔÏÊ ÐÒÉ x → ∞, ÔÏ ÅÓÔØ É ÐÒÉ x → −∞ É ÐÒÉ x → +∞.
114                            çÌÁ×Á IV. ðÏÓÔÒÏÅÎÉÅ ÇÒÁÆÉËÏ× ÆÕÎËÃÉÊ




   ðÒÉÍÅÒ 4. îÁÊÔÉ ÁÓÉÍÐÔÏÔÙ ÇÒÁÆÉËÁ ÆÕÎËÃÉÉ y = sinx x .
   òÅÛÅÎÉÅ. ôÏÞËÁ x = 0 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÏÞËÏÊ ÒÁÚÒÙ×Á ÐÅÒ×ÏÇÏ ÒÏÄÁ (ÓÍ.
ÐÒÉÍÅÒ 3 §14), ÐÏÜÔÏÍÕ ×ÅÒÔÉËÁÌØÎÙÈ ÁÓÉÍÐÔÏÔ ÎÅÔ. çÏÒÉÚÏÎÔÁÌØÎÏÊ ÁÓÉÍ-
ÐÔÏÔÏÊ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÒÑÍÁÑ y = 0, ÔÁË ËÁË lim sinx x = 0. îÁËÌÏÎÎÙÈ ÁÓÉÍÐÔÏÔ
                                      x→∞
ÎÅÔ.
   úÁÍÅÞÁÎÉÅ. áÓÉÍÐÔÏÔÁ ÇÒÁÆÉËÁ ÆÕÎËÃÉÉ ÍÏÖÅÔ ÐÅÒÅÓÅËÁÔØ ÓÁÍ ÇÒÁÆÉË
ÆÕÎËÃÉÉ. âÏÌÅÅ ÔÏÇÏ, ÁÓÉÍÐÔÏÔÁ ÇÒÁÆÉËÁ ÆÕÎËÃÉÉ ÍÏÖÅÔ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÅ ÞÉÓÌÏ
ÒÁÚ ÐÅÒÅÓÅËÁÔØ ÓÁÍ ÇÒÁÆÉË ÆÕÎËÃÉÉ (ÓÍ. ÐÒÉÍÅÒ 4).

15.2. îÁÈÏÖÄÅÎÉÅ ÇÏÒÉÚÏÎÔÁÌØÎÙÈ É ÎÁËÌÏÎÎÙÈ ÁÓÉÍÐÔÏÔ

  çÏÒÉÚÏÎÔÁÌØÎÙÅ É ÎÁËÌÏÎÎÙÅ ÁÓÉÍÐÔÏÔÙ ÇÒÁÆÉËÁ ÆÕÎËÃÉÉ y = f (x) ÐÒÉ
x → ∞ ÍÏÖÎÏ ÎÁÈÏÄÉÔØ ÐÏ ÓÌÅÄÕÀÝÅÍÕ ÁÌÇÏÒÉÔÍÕ.
   1. ÷ÙÞÉÓÌÉÔØ lim f (x). åÓÌÉ ÜÔÏÔ ÐÒÅÄÅÌ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ É ÒÁ×ÅÎ ÎÅËÏÔÏ-
                 x→∞
      ÒÏÍÕ ÞÉÓÌÕ b, ÔÏ y = b ¡ ÇÏÒÉÚÏÎÔÁÌØÎÁÑ ÁÓÉÍÐÔÏÔÁ. åÓÌÉ ÐÒÅÄÅÌ ÎÅ
      ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÉÌÉ ÒÁ×ÅÎ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÓÔÉ, ÔÏ ÐÅÒÅÊÔÉ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÐÕÎËÔÕ.
   2. ÷ÙÞÉÓÌÉÔØ lim f (x) . åÓÌÉ ÜÔÏÔ ÐÒÅÄÅÌ ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÉÌÉ ÒÁ×ÅÎ ÂÅÓ-
                 x→∞ x
      ËÏÎÅÞÎÏÓÔÉ, ÔÏ ÁÓÉÍÐÔÏÔÙ ÎÅÔ. åÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ËÏÎÅÞÎÙÊ ÐÒÅÄÅÌ
      lim f (x)
            x = k, ÔÏ ÐÅÒÅÊÔÉ Ë ÔÒÅÔØÅÍÕ ÛÁÇÕ.
      x→∞
   3. ÷ÙÞÉÓÌÉÔØ lim (f (x) − kx). åÓÌÉ ÜÔÏÔ ÐÒÅÄÅÌ ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÉÌÉ ÒÁ-
                  x→∞
      ×ÅÎ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÓÔÉ, ÔÏ ÁÓÉÍÐÔÏÔÙ ÎÅÔ. åÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ËÏÎÅÞÎÙÊ
      ÐÒÅÄÅÌ lim (f (x) − kx) = b, ÔÏ ÐÅÒÅÊÔÉ Ë ÞÅÔ×¾ÒÔÏÍÕ ÛÁÇÕ.
             x→∞
   4. úÁÐÉÓÁÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÎÁËÌÏÎÎÏÊ ÁÓÉÍÐÔÏÔÙ: y = kx + b.
  úÁÍÅÞÁÎÉÅ. ðÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÐÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÎÁÊÔÉ ÐÒÑÍÕÀ, Ñ×ÌÑ-
ÀÝÕÀÓÑ ÁÓÉÍÐÔÏÔÏÊ ÐÒÉ x → ∞, ÔÏ ÅÓÔØ É ÐÒÉ x → −∞ É ÐÒÉ x → +∞.

Страницы