Сборник задач по высшей математике. Часть II. Пределы. Производные. Графики функций. Самохин А.В - 113 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§15. áÓÉÍÐÔÏÔÙ 113
ðÒÑÍÁÑ y = kx + b ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÁÓÉÍÐÔÏÔÏÊ ÇÒÁÆÉËÁ ÆÕÎËÃÉÉ y = f (x)
ÐÒÉ x → −∞, ÅÓÌÉ lim
x→−∞
(f(x) − (kx + b)) = 0.
ðÒÑÍÁÑ y = kx + b ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÁÓÉÍÐÔÏÔÏÊ ÇÒÁÆÉËÁ ÆÕÎËÃÉÉ y = f (x)
ÐÒÉ x → +∞, ÅÓÌÉ lim
x→+∞
(f(x) − (kx + b)) = 0.
ðÒÉÍÅÒ 1. îÁÊÔÉ ÁÓÉÍÐÔÏÔÙ ÇÒÁÆÉËÁ ÆÕÎËÃÉÉ y = 4 +
1
x
.
òÅÛÅÎÉÅ. îÁÈÏÄÉÍ:
lim
x→∞
4 +
1
x
= 4,
ÐÏÜÔÏÍÕ y = 4 ¡ ÇÏÒÉÚÏÎÔÁÌØÎÁÑ ÁÓÉÍÐÔÏÔÁ ÇÒÁÆÉËÁ ÄÁÎÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ. äÁ-
ÌÅÅ, ÔÁË ËÁË
lim
x→0+
4 +
1
x
= +∞, lim
x→0−
4 +
1
x
= −∞,
ÔÏ x = 0 ¡ ×ÅÒÔÉËÁÌØÎÁÑ ÁÓÉÍÐÔÏÔÁ.
ðÒÉÍÅÒ 2. îÁÊÔÉ ÁÓÉÍÐÔÏÔÙ ÇÒÁÆÉËÁ ÆÕÎËÃÉÉ y = 2
−x
.
òÅÛÅÎÉÅ. ôÁË ËÁË
lim
x→+∞
2
−x
= 0. lim
x→−∞
2
−x
= +∞,
ÔÏ ÏÓØ ÁÂÓÃÉÓÓ (ÐÒÑÍÁÑ y = 0) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÇÏÒÉÚÏÎÔÁÌØÎÏÊ ÁÓÉÍÐÔÏÔÏÊ ÇÒÁÆÉËÁ
ÄÁÎÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ ÐÒÉ x → +∞. ÷ÅÒÔÉËÁÌØÎÙÈ ÁÓÉÍÐÔÏÔ ÎÅÔ.
ðÒÉÍÅÒ 3. îÁÊÔÉ ÁÓÉÍÐÔÏÔÙ ÇÒÁÆÉËÁ ÆÕÎËÃÉÉ y = 2
1
x
.
òÅÛÅÎÉÅ.
lim
x→∞
2
1
x
= 1,
ÚÎÁÞÉÔ, y = 1 ¡ ÇÏÒÉÚÏÎÔÁÌØÎÁÑ ÁÓÉÍÐÔÏÔÁ ÇÒÁÆÉËÁ ÆÕÎËÃÉÉ y = 2
1
x
. ïÓØ
ÏÒÄÉÎÁÔ (ÐÒÑÍÁÑ x = 0) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ×ÅÒÔÉËÁÌØÎÏÊ ÁÓÉÍÐÔÏÔÏÊ, ÔÁË ËÁË
lim
x→0+
2
1
x
= +∞,
lim
x→0−
2
1
x
= 0
.
§15. áÓÉÍÐÔÏÔÙ                                                        113

  ðÒÑÍÁÑ y = kx + b ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÁÓÉÍÐÔÏÔÏÊ ÇÒÁÆÉËÁ ÆÕÎËÃÉÉ y = f (x)
ÐÒÉ x → −∞, ÅÓÌÉ lim (f (x) − (kx + b)) = 0.
                  x→−∞
  ðÒÑÍÁÑ y = kx + b ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÁÓÉÍÐÔÏÔÏÊ ÇÒÁÆÉËÁ ÆÕÎËÃÉÉ y = f (x)
ÐÒÉ x → +∞, ÅÓÌÉ lim (f (x) − (kx + b)) = 0.
                  x→+∞




   ðÒÉÍÅÒ 1. îÁÊÔÉ ÁÓÉÍÐÔÏÔÙ ÇÒÁÆÉËÁ ÆÕÎËÃÉÉ y = 4 + x1 .
   òÅÛÅÎÉÅ. îÁÈÏÄÉÍ:                 
                                    1
                            lim 4 +     = 4,
                           x→∞      x
ÐÏÜÔÏÍÕ y = 4 ¡ ÇÏÒÉÚÏÎÔÁÌØÎÁÑ ÁÓÉÍÐÔÏÔÁ ÇÒÁÆÉËÁ ÄÁÎÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ. äÁ-
ÌÅÅ, ÔÁË ËÁË
                                            
                        1                    1
               lim 4 +      = +∞, lim 4 +        = −∞,
              x→0+     x            x→0−     x
ÔÏ x = 0 ¡ ×ÅÒÔÉËÁÌØÎÁÑ ÁÓÉÍÐÔÏÔÁ.
   ðÒÉÍÅÒ 2. îÁÊÔÉ ÁÓÉÍÐÔÏÔÙ ÇÒÁÆÉËÁ ÆÕÎËÃÉÉ y = 2−x .
   òÅÛÅÎÉÅ. ôÁË ËÁË
                     lim 2−x = 0.   lim 2−x = +∞,
                    x→+∞            x→−∞
ÔÏ ÏÓØ ÁÂÓÃÉÓÓ (ÐÒÑÍÁÑ y = 0) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÇÏÒÉÚÏÎÔÁÌØÎÏÊ ÁÓÉÍÐÔÏÔÏÊ ÇÒÁÆÉËÁ
ÄÁÎÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ ÐÒÉ x → +∞. ÷ÅÒÔÉËÁÌØÎÙÈ ÁÓÉÍÐÔÏÔ ÎÅÔ.
                                                         1
   ðÒÉÍÅÒ 3. îÁÊÔÉ ÁÓÉÍÐÔÏÔÙ ÇÒÁÆÉËÁ ÆÕÎËÃÉÉ y = 2 x .
   òÅÛÅÎÉÅ.                            1
                                 lim 2 x = 1,
                              x→∞
                                                                  1
ÚÎÁÞÉÔ, y = 1 ¡ ÇÏÒÉÚÏÎÔÁÌØÎÁÑ ÁÓÉÍÐÔÏÔÁ ÇÒÁÆÉËÁ ÆÕÎËÃÉÉ y = 2 x . ïÓØ
ÏÒÄÉÎÁÔ (ÐÒÑÍÁÑ x = 0) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ×ÅÒÔÉËÁÌØÎÏÊ ÁÓÉÍÐÔÏÔÏÊ, ÔÁË ËÁË
                                                
                          1                 1
                    lim 2 x = +∞,     lim 2 x = 0 .
                    x→0+              x→0−

Страницы