Сборник задач по высшей математике. Часть II. Пределы. Производные. Графики функций. Самохин А.В - 129 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§17. éÎÔÅÒ×ÁÌÙ ×ÙÐÕËÌÏÓÔÉ É ÔÏÞËÉ ÐÅÒÅÇÉÂÁ ÆÕÎËÃÉÉ 129
ôÁË ËÁË ÆÕÎËÃÉÑ y = x
3
− 2x
2
+ 4x ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÁ ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ [2; 3] É y
0
(x) > 0
ÎÁ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ (2; 3), ÔÏ ÜÔÁ ÆÕÎËÃÉÑ ×ÏÚÒÁÓÔÁÅÔ ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ [2; 3]. óÌÅÄÏ×Á-
ÔÅÌØÎÏ, ÎÁÉÂÏÌØÛÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÄÁÎÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ [2; 3] ÅÓÔØ y(3), Á
ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ¡ y(2).
ôÅÐÅÒØ ÎÁÈÏÄÉÍ ÎÁÉÂÏÌØÛÅÅ É ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÆÕÎËÃÉÉ ÎÁ ×Ó¾Í
ÏÔÒÅÚËÅ [0; 3]. äÌÑ ÜÔÏÇÏ ×ÙÞÉÓÌÑÅÍ ÚÎÁÞÅÎÉÑ:
y(0) = 0, y
2
3
= −
40
27
, y(2) = 8, y(3) = 21.
ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÎÁÉÂÏÌØÛÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÄÁÎÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ [0; 3] ÅÓÔØ
y(3) = 21, Á ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÒÁ×ÎÏ y
2
3
= −
40
27
.
úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ
îÁÊÔÉ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ É ÎÁÉÂÏÌØÛÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÆÕÎËÃÉÉ ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ:
696. y = 2x − 1, [0; 1];
697. y = x
2
− 6x + 8, [1; 4];
698. y = 3x
3
− 4x + 8, [−1; 1];
699. y = 3x
4
+ 4x
3
+ 1, [0; 1];
700. y = 3x
4
+ 4x
3
+ 1, [−2; 1];
701. y = sin x + 2x, [−π; π];
702. y = sin
2
x,
π
4
;
2π
3
;
703. y = sin x − x −
x
3
3
, [0; π];
704. y =
1
x
+ x, [0, 1; 10];
705. y =
x
x−x
2
−1
, [−2; 2];
706. y = x ln x − x,
1
e
; e
.
§17. éÎÔÅÒ×ÁÌÙ ×ÙÐÕËÌÏÓÔÉ É ÔÏÞËÉ ÐÅÒÅÇÉÂÁ ÆÕÎË-
ÃÉÉ
17.1. ÷ÙÐÕËÌÏÓÔØ ××ÅÒÈ É ×ÎÉÚ
æÕÎËÃÉÑ y = f(x) ×ÙÐÕËÌÁ ××ÅÒÈ × ÔÏÞËÅ x
0
, ÅÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÏËÒÅÓÔ-
ÎÏÓÔØ ÔÏÞËÉ x
0
ÔÁËÁÑ, ÞÔÏ ÄÌÑ ×ÓÅÈ Å¾ ÔÏÞÅË x ËÁÓÁÔÅÌØÎÁÑ Ë ÇÒÁÆÉËÕ ÆÕÎË-
ÃÉÉ × ÔÏÞËÅ M(x
0
; y
0
) ÌÅÖÉÔ ×ÙÛÅ ÇÒÁÆÉËÁ.
æÕÎËÃÉÑ y = f(x) ×ÙÐÕËÌÁ ×ÎÉÚ × ÔÏÞËÅ x
0
, ÅÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔØ
ÔÏÞËÉ x
0
ÔÁËÁÑ, ÞÔÏ ÄÌÑ ×ÓÅÈ Å¾ ÔÏÞÅË x ËÁÓÁÔÅÌØÎÁÑ Ë ÇÒÁÆÉËÕ ÆÕÎËÃÉÉ ×
ÔÏÞËÅ M(x
0
; y
0
) ÌÅÖÉÔ ÎÉÖÅ ÇÒÁÆÉËÁ.
§17. éÎÔÅÒ×ÁÌÙ ×ÙÐÕËÌÏÓÔÉ É ÔÏÞËÉ ÐÅÒÅÇÉÂÁ ÆÕÎËÃÉÉ                      129

ôÁË ËÁË ÆÕÎËÃÉÑ y = x3 − 2x2 + 4x ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÁ ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ [2; 3] É y 0 (x) > 0
ÎÁ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ (2; 3), ÔÏ ÜÔÁ ÆÕÎËÃÉÑ ×ÏÚÒÁÓÔÁÅÔ ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ [2; 3]. óÌÅÄÏ×Á-
ÔÅÌØÎÏ, ÎÁÉÂÏÌØÛÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÄÁÎÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ [2; 3] ÅÓÔØ y(3), Á
ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ¡ y(2).
   ôÅÐÅÒØ ÎÁÈÏÄÉÍ ÎÁÉÂÏÌØÛÅÅ É ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÆÕÎËÃÉÉ ÎÁ ×Ó¾Í
ÏÔÒÅÚËÅ [0; 3]. äÌÑ ÜÔÏÇÏ ×ÙÞÉÓÌÑÅÍ ÚÎÁÞÅÎÉÑ:
                            
                             2     40
               y(0) = 0, y      = − , y(2) = 8, y(3) = 21.
                             3     27
ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÎÁÉÂÏÌØÛÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÄÁÎÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ [0; 3] ÅÓÔØ
y(3) = 21, Á ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÒÁ×ÎÏ y 23 = − 40
                                                        27 .


úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ

îÁÊÔÉ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ É ÎÁÉÂÏÌØÛÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÆÕÎËÃÉÉ ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ:
  696. y = 2x − 1, [0; 1];
  697. y = x2 − 6x + 8, [1; 4];
  698. y = 3x3 − 4x + 8, [−1; 1];
  699. y = 3x4 + 4x3 + 1, [0; 1];
  700. y = 3x4 + 4x3 + 1, [−2; 1];
  701. y = sin x +2x, [−π; π];
               2      π 2π
  702. y = sin x, 4 ; 3 ;
                           3
  703. y = sin x − x − x3 , [0; π];
  704. y = x1 + x, [0, 1; 10];
  705. y = x−xx2 −1 , [−2; 2];
  706. y = x ln x − x, 1e ; e .
                          


§17. éÎÔÅÒ×ÁÌÙ ×ÙÐÕËÌÏÓÔÉ É ÔÏÞËÉ ÐÅÒÅÇÉÂÁ ÆÕÎË-
     ÃÉÉ
17.1. ÷ÙÐÕËÌÏÓÔØ ××ÅÒÈ É ×ÎÉÚ

   æÕÎËÃÉÑ y = f (x) ×ÙÐÕËÌÁ ××ÅÒÈ × ÔÏÞËÅ x0, ÅÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÏËÒÅÓÔ-
ÎÏÓÔØ ÔÏÞËÉ x0 ÔÁËÁÑ, ÞÔÏ ÄÌÑ ×ÓÅÈ Å¾ ÔÏÞÅË x ËÁÓÁÔÅÌØÎÁÑ Ë ÇÒÁÆÉËÕ ÆÕÎË-
ÃÉÉ × ÔÏÞËÅ M (x0; y0) ÌÅÖÉÔ ×ÙÛÅ ÇÒÁÆÉËÁ.
   æÕÎËÃÉÑ y = f (x) ×ÙÐÕËÌÁ ×ÎÉÚ × ÔÏÞËÅ x0, ÅÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔØ
ÔÏÞËÉ x0 ÔÁËÁÑ, ÞÔÏ ÄÌÑ ×ÓÅÈ Å¾ ÔÏÞÅË x ËÁÓÁÔÅÌØÎÁÑ Ë ÇÒÁÆÉËÕ ÆÕÎËÃÉÉ ×
ÔÏÞËÅ M (x0 ; y0) ÌÅÖÉÔ ÎÉÖÅ ÇÒÁÆÉËÁ.

Страницы