Сборник задач по высшей математике. Часть II. Пределы. Производные. Графики функций. Самохин А.В - 131 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§17. éÎÔÅÒ×ÁÌÙ ×ÙÐÕËÌÏÓÔÉ É ÔÏÞËÉ ÐÅÒÅÇÉÂÁ ÆÕÎËÃÉÉ 131
2) ÐÒÉ f
00
(x) < 0 (ÚÎÁË ¤−¥) ÆÕÎËÃÉÑ f(x) ×ÙÐÕËÌÁ ××ÅÒÈ ÎÁ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ
(a; b).
ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÄÌÑ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÏ× ×ÙÐÕËÌÏÓÔÉ ××ÅÒÈ É ×ÙÐÕË-
ÌÏÓÔÉ ×ÎÉÚ ÆÕÎËÃÉÉ f (x) ÎÕÖÎÏ ÎÁÊÔÉ ×ÔÏÒÕÀ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ ÆÕÎËÃÉÉ É ÒÅ-
ÛÉÔØ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á f
00
(x) < 0 É f
00
(x) > 0.
ðÒÉÍÅÒ 1. îÁÊÔÉ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÙ ×ÙÐÕËÌÏÓÔÉ ÆÕÎËÃÉÉ y = (x
2
− 4x + 3)
2
.
òÅÛÅÎÉÅ. îÁÈÏÄÉÍ ×ÔÏÒÕÀ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ: y
00
= 12
x
2
− 4x +
11
3
. òÅÛÁ-
ÅÍ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á y
00
> 0 É y
00
< 0. éÍÅÅÍ:
y
00
> 0 ÉÌÉ 12
x
2
− 4x +
11
3
> 0, ÏÔËÕÄÁ x < 2 −
1
√
3
, x > 2 +
1
√
3
;
y
00
< 0 ÉÌÉ 12
x
2
− 4x +
11
3
< 0, ÏÔËÕÄÁ 2 −
1
√
3
< x < 2 +
1
√
3
.
ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÎÁ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÁÈ
−∞; 2 −
1
√
3
É
2 +
1
√
3
; +∞
ÆÕÎËÃÉÑ ×Ù-
ÐÕËÌÁ ×ÎÉÚ, Á ÎÁ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ
2 −
1
√
3
; 2 +
1
√
3
ÆÕÎËÃÉÑ ×ÙÐÕËÌÁ ××ÅÒÈ.
úÁÍÅÞÁÎÉÅ. ÷ÍÅÓÔÏ ÒÅÛÅÎÉÑ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ× f
00
(x) < 0 É f
00
(x) > 0 ÕÄÏÂÎÏ
×ÙÞÉÓÌÑÔØ ÚÎÁÞÅÎÉÑ f
00
(x) × ÏÔÄÅÌØÎÙÈ ÔÏÞËÁÈ, ×ÚÑ× ÐÏ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ÔÏÞËÅ
ÉÚ ËÁÖÄÏÇÏ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÁ ÚÎÁËÏÐÏÓÔÏÑÎÓÔ×Á ÆÕÎËÃÉÉ f
00
(x).
ôÏÞËÁ M
0
(x
0
; f(x
0
)) ÇÒÁÆÉËÁ ÆÕÎËÃÉÉ y = f(x) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÔÏÞËÏÊ ÐÅÒÅ-
ÇÉÂÁ ÜÔÏÇÏ ÇÒÁÆÉËÁ, ÅÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÁËÁÑ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔØ ÔÏÞËÉ x
0
, × ÐÒÅÄÅ-
ÌÁÈ ËÏÔÏÒÏÊ ÇÒÁÆÉË ÆÕÎËÃÉÉ y = f (x) ÓÌÅ×Á É ÓÐÒÁ×Á ÏÔ M
0
ÉÍÅÅÔ ÒÁÚÎÙÅ
ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÑ ×ÙÐÕËÌÏÓÔÉ.
îÁ ÒÉÓÕÎËÅ ÉÚÏÂÒÁ־ΠÇÒÁÆÉË ÆÕÎËÃÉÉ y = f(x), ÉÍÅÀÝÉÊ ÐÅÒÅÇÉ ×
ÔÏÞËÅ M
0
(x
0
; f(x
0
)).
ðÒÉÍÅÒ 2. îÁÊÔÉ ÔÏÞËÉ ÐÅÒÅÇÉÂÁ ÆÕÎËÃÉÉ y = (x
2
− 4x + 3)
2
.
òÅÛÅÎÉÅ. ÷ ÐÒÉÍÅÒÅ 1 ÄÌÑ ÄÁÎÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ ÎÁÊÄÅÎÙ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÙ ×Ù-
ÐÕËÌÏÓÔÉ ××ÅÒÈ É ×ÎÉÚ. äÌÑ ÔÏÞÅË x = 2 −
1
√
3
É x = 2 +
1
√
3
ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ
§17. éÎÔÅÒ×ÁÌÙ ×ÙÐÕËÌÏÓÔÉ É ÔÏÞËÉ ÐÅÒÅÇÉÂÁ ÆÕÎËÃÉÉ                      131

    2) ÐÒÉ f 00(x) < 0 (ÚÎÁË ¤−¥) ÆÕÎËÃÉÑ f (x) ×ÙÐÕËÌÁ ××ÅÒÈ ÎÁ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ
(a; b).
    ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÄÌÑ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÏ× ×ÙÐÕËÌÏÓÔÉ ××ÅÒÈ É ×ÙÐÕË-
ÌÏÓÔÉ ×ÎÉÚ ÆÕÎËÃÉÉ f (x) ÎÕÖÎÏ ÎÁÊÔÉ ×ÔÏÒÕÀ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ ÆÕÎËÃÉÉ É ÒÅ-
ÛÉÔØ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á f 00(x) < 0 É f 00(x) > 0.
    ðÒÉÍÅÒ 1. îÁÊÔÉ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÙ ×ÙÐÕËÌÏÓÔÉ ÆÕÎËÃÉÉ y = (x2 − 4x + 3)2.
    òÅÛÅÎÉÅ. îÁÈÏÄÉÍ ×ÔÏÒÕÀ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ: y 00 = 12 x2 − 4x + 11    3 . òÅÛÁ-
                     00     00
ÅÍ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á y > 0 É y < 0. éÍÅÅÍ:
                                  
      00                 2      11                          1          1
     y > 0 ÉÌÉ 12 x − 4x +           > 0, ÏÔËÕÄÁ x < 2 − √ , x > 2 + √ ;
                                 3                           3          3
                                    
                                  11                    1            1
       y 00 < 0 ÉÌÉ 12 x2 − 4x +        < 0, ÏÔËÕÄÁ 2 − √ < x < 2 + √ .
                                   3                     3            3
                                                            
                                                1         1
ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÎÁ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÁÈ −∞; 2 − √3 É 2 + √3 ; +∞ ÆÕÎËÃÉÑ ×Ù-
                                               
                                      1       1
ÐÕËÌÁ ×ÎÉÚ, Á ÎÁ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ 2 − √3 ; 2 + √3 ÆÕÎËÃÉÑ ×ÙÐÕËÌÁ ××ÅÒÈ.
   úÁÍÅÞÁÎÉÅ. ÷ÍÅÓÔÏ ÒÅÛÅÎÉÑ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ× f 00(x) < 0 É f 00(x) > 0 ÕÄÏÂÎÏ
×ÙÞÉÓÌÑÔØ ÚÎÁÞÅÎÉÑ f 00(x) × ÏÔÄÅÌØÎÙÈ ÔÏÞËÁÈ, ×ÚÑ× ÐÏ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ÔÏÞËÅ
ÉÚ ËÁÖÄÏÇÏ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÁ ÚÎÁËÏÐÏÓÔÏÑÎÓÔ×Á ÆÕÎËÃÉÉ f 00 (x).
   ôÏÞËÁ M0 (x0; f (x0)) ÇÒÁÆÉËÁ ÆÕÎËÃÉÉ y = f (x) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÔÏÞËÏÊ ÐÅÒÅ-
ÇÉÂÁ ÜÔÏÇÏ ÇÒÁÆÉËÁ, ÅÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÁËÁÑ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔØ ÔÏÞËÉ x 0, × ÐÒÅÄÅ-
ÌÁÈ ËÏÔÏÒÏÊ ÇÒÁÆÉË ÆÕÎËÃÉÉ y = f (x) ÓÌÅ×Á É ÓÐÒÁ×Á ÏÔ M0 ÉÍÅÅÔ ÒÁÚÎÙÅ
ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÑ ×ÙÐÕËÌÏÓÔÉ.
   îÁ ÒÉÓÕÎËÅ ÉÚÏÂÒÁ־ΠÇÒÁÆÉË ÆÕÎËÃÉÉ y = f (x), ÉÍÅÀÝÉÊ ÐÅÒÅÇÉ ×
ÔÏÞËÅ M0 (x0; f (x0)).




  ðÒÉÍÅÒ 2. îÁÊÔÉ ÔÏÞËÉ ÐÅÒÅÇÉÂÁ ÆÕÎËÃÉÉ y = (x2 − 4x + 3)2.
  òÅÛÅÎÉÅ. ÷ ÐÒÉÍÅÒÅ 1 ÄÌÑ ÄÁÎÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ ÎÁÊÄÅÎÙ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÙ ×Ù-
ÐÕËÌÏÓÔÉ ××ÅÒÈ É ×ÎÉÚ. äÌÑ ÔÏÞÅË x = 2 − √13 É x = 2 + √13 ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ

Страницы