Сборник задач по высшей математике. Часть II. Пределы. Производные. Графики функций. Самохин А.В - 133 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§17. éÎÔÅÒ×ÁÌÙ ×ÙÐÕËÌÏÓÔÉ É ÔÏÞËÉ ÐÅÒÅÇÉÂÁ ÆÕÎËÃÉÉ 133
òÅÛÅÎÉÅ. üÔÁ ÆÕÎËÃÉÑ × ÔÏÞËÅ x = 0 ÉÍÅÅÔ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÕÀ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ,
Á ËÁÓÁÔÅÌØÎÁÑ Ë ÇÒÁÆÉËÕ ÆÕÎËÃÉÉ × ÔÏÞËÅ (0; 0) ÓÏ×ÐÁÄÁÅÔ Ó ÏÓØ Oy. ÷ÔÏÒÁÑ
ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ × ÔÏÞËÅ x = 0 ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ. çÒÁÆÉË ÆÕÎËÃÉÉ y = x
1
3
ÉÍÅÅÔ
ÐÅÒÅÇÉÂ × ÔÏÞËÅ (0; 0), ÔÁË ËÁË ×ÔÏÒÁÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ y
00
(x) =
2
9
5/3
ÉÍÅÅÔ ÓÌÅ×Á
É ÓÐÒÁ×Á ÏÔ ÔÏÞËÉ x = 0 ÒÁÚÎÙÅ ÚÎÁËÉ.
ðÒÉÍÅÒ 7. îÁÊÔÉ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÙ ×ÙÐÕËÌÏÓÔÉ É ÔÏÞËÉ ÐÅÒÅÇÉÂÁ ÆÕÎËÃÉÉ
y = x
2
+
3
√
x
2
.
òÅÛÅÎÉÅ. îÁÊÄ¾Í ×ÔÏÒÕÀ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ ÆÕÎËÃÉÉ:
y
0
(x) = 2x +
2
3
x
−
1
3
, y
00
(x) = 2 −
2
9
x
−
4
3
= 2
1 −
1
9x
3
√
x
;
y
00
(x) = 0 ÐÒÉ x =
1
√
27
É x = −
1
√
27
;
y
00
(x) ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÐÒÉ x = 0.
ïÐÒÅÄÅÌÉÍ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÙ ×ÙÐÕËÌÏÓÔÉ ××ÅÒÈ É ×ÎÉÚ:
−∞ < x < −
1
√
27
, y
00
(x) > 0, ÆÕÎËÃÉÑ ×ÙÐÕËÌÁ ×ÎÉÚ;
−
1
√
27
< x < 0, y
00
(x) < 0, ÆÕÎËÃÉÑ ×ÙÐÕËÌÁ ××ÅÒÈ;
0 < x <
1
√
27
, y
00
(x) < 0, ÆÕÎËÃÉÑ ×ÙÐÕËÌÁ ××ÅÒÈ;
1
√
27
< x < +∞, y
00
(x) > 0, ÆÕÎËÃÉÑ ×ÙÐÕËÌÁ ×ÎÉÚ.
ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÎÁ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÁÈ
−∞; −
1
√
27
É
1
√
27
; +∞
ÆÕÎËÃÉÑ ×ÙÐÕËÌÁ
×ÎÉÚ, Á ÎÁ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÁÈ
−
1
√
27
; 0
É
0;
1
√
27
¡ ×ÙÐÕËÌÁ ××ÅÒÈ.
÷ ÔÏÞËÁÈ x = −
1
√
27
É x =
1
√
27
×ÔÏÒÁÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ÍÅÎÑÅÔ ÚÎÁË, ÚÎÁÞÉÔ
ÜÔÉ ÔÏÞËÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÔÏÞËÁÍÉ ÐÅÒÅÇÉÂÁ ÄÁÎÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ. ôÏÞËÁ x = 0 ÎÅ
§17. éÎÔÅÒ×ÁÌÙ ×ÙÐÕËÌÏÓÔÉ É ÔÏÞËÉ ÐÅÒÅÇÉÂÁ ÆÕÎËÃÉÉ                        133

   òÅÛÅÎÉÅ. üÔÁ ÆÕÎËÃÉÑ × ÔÏÞËÅ x = 0 ÉÍÅÅÔ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÕÀ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ,
Á ËÁÓÁÔÅÌØÎÁÑ Ë ÇÒÁÆÉËÕ ÆÕÎËÃÉÉ × ÔÏÞËÅ (0; 0) ÓÏ×ÐÁÄÁÅÔ Ó ÏÓØ Oy. ÷ÔÏÒÁÑ
                                                                       1
ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ × ÔÏÞËÅ x = 0 ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ. çÒÁÆÉË ÆÕÎËÃÉÉ y = x 3 ÉÍÅÅÔ
                                                               2
ÐÅÒÅÇÉÂ × ÔÏÞËÅ (0; 0), ÔÁË ËÁË ×ÔÏÒÁÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ y 00 (x) = 95/3 ÉÍÅÅÔ ÓÌÅ×Á
É ÓÐÒÁ×Á ÏÔ ÔÏÞËÉ x = 0 ÒÁÚÎÙÅ ÚÎÁËÉ.




 ðÒÉÍÅÒ
     √     7. îÁÊÔÉ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÙ ×ÙÐÕËÌÏÓÔÉ É ÔÏÞËÉ ÐÅÒÅÇÉÂÁ ÆÕÎËÃÉÉ
   2 3   2
y=x + x .
 òÅÛÅÎÉÅ. îÁÊÄ¾Í ×ÔÏÒÕÀ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ ÆÕÎËÃÉÉ:
                                                             
       0               2 −1      00        2 −4          1
      y (x) = 2x + x 3 , y (x) = 2 − x 3 = 2 1 − √              ;
                       3                   9           9x 3 x
                                        1           1
                 y 00 (x) = 0 ÐÒÉ x = √ É x = − √ ;
                                        27          27
                        00
                       y (x) ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÐÒÉ x = 0.
ïÐÒÅÄÅÌÉÍ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÙ ×ÙÐÕËÌÏÓÔÉ ××ÅÒÈ É ×ÎÉÚ:
                        1
          −∞ < x < − √ , y 00 (x) > 0, ÆÕÎËÃÉÑ ×ÙÐÕËÌÁ ×ÎÉÚ;
                         27
               1
           − √ < x < 0, y 00 (x) < 0, ÆÕÎËÃÉÑ ×ÙÐÕËÌÁ ××ÅÒÈ;
               27
                     1
            0 < x < √ , y 00 (x) < 0, ÆÕÎËÃÉÑ ×ÙÐÕËÌÁ ××ÅÒÈ;
                     27
             1
           √ < x < +∞, y 00 (x) > 0, ÆÕÎËÃÉÑ ×ÙÐÕËÌÁ ×ÎÉÚ.
             27
                                                 
                                       1      1
ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÎÁ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÁÈ −∞; − √27 É √27 ; +∞ ÆÕÎËÃÉÑ ×ÙÐÕËÌÁ
                                      
                            1         1
×ÎÉÚ, Á ÎÁ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÁÈ − √27 ; 0 É 0; √27 ¡ ×ÙÐÕËÌÁ ××ÅÒÈ.
   ÷ ÔÏÞËÁÈ x = − √127 É x = √127 ×ÔÏÒÁÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ÍÅÎÑÅÔ ÚÎÁË, ÚÎÁÞÉÔ
ÜÔÉ ÔÏÞËÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÔÏÞËÁÍÉ ÐÅÒÅÇÉÂÁ ÄÁÎÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ. ôÏÞËÁ x = 0 ÎÅ

Страницы