Сборник задач по высшей математике. Часть II. Пределы. Производные. Графики функций. Самохин А.В - 132 стр.

132                               çÌÁ×Á IV. ðÏÓÔÒÏÅÎÉÅ ÇÒÁÆÉËÏ× ÆÕÎËÃÉÊ

ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ, × ÐÒÅÄÅÌÁÈ ËÏÔÏÒÙÈ ÇÒÁÆÉË ÆÕÎËÃÉÉ ÉÍÅÅÔ ÒÁÚÎÙÅ ÎÁÐÒÁ×ÌÅ-
ÎÉÑ ×ÙÐÕËÌÏÓÔÉ ÓÌÅ×Á É ÓÐÒÁ×Á ÏÔ ÄÁÎÎÙÈ ÔÏÞÅË. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÔÏÞËÉ
x = 2 − √13 É x = 2 + √13 Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÔÏÞËÁÍÉ ÐÅÒÅÇÉÂÁ ÉÓÈÏÄÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ.


17.3. îÅÏÂÈÏÄÉÍÙÊ ÐÒÉÚÎÁË ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ ÔÏÞËÉ ÐÅÒÅÇÉÂÁ

   åÓÌÉ ÆÕÎËÃÉÑ × ÔÏÞËÅ x0 ÉÍÅÅÔ ÐÅÒÅÇÉÂ, ÔÏ ×ÔÏÒÁÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ × ÜÔÏÊ
ÔÏÞËÅ ÌÉÂÏ ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ, ÌÉÂÏ ÒÁ×ÎÁ ÎÕÌÀ.
   ôÏÞËÉ, × ËÏÔÏÒÙÈ ×ÔÏÒÁÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ÏÂÒÁÝÁÅÔÓÑ × ÎÕÌØ ÉÌÉ ÎÅ ÓÕÝÅ-
ÓÔ×ÕÅÔ, ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ËÒÉÔÉÞÅÓËÉÍÉ ÔÏÞËÁÍÉ ×ÔÏÒÏÇÏ ÒÏÄÁ.
   ðÒÉÍÅÒ 3. îÁÊÔÉ ËÒÉÔÉÞÅÓËÉÅ ÔÏÞËÉ ×ÔÏÒÏÇÏ ÒÏÄÁ ÆÕÎËÃÉÉ y = x3.
   òÅÛÅÎÉÅ. ÷ÙÞÉÓÌÑÅÍ ×ÔÏÒÕÀ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ ÆÕÎËÃÉÉ y = x3: y 00 = 6x.
ðÒÉÒÁ×ÎÉ×ÁÅÍ ×ÔÏÒÕÀ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ ÎÕÌÀ É ÎÁÈÏÄÉÍ, ÞÔÏ x = 0 ¡ ËÒÉ-
ÔÉÞÅÓËÁÑ ÔÏÞËÁ ×ÔÏÒÏÇÏ ÒÏÄÁ. ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÔÏÞËÁ x = 0 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÏÞËÏÊ
ÐÅÒÅÇÉÂÁ ÆÕÎËÃÉÉ y = x3 (ÓÍ. ÇÒÁÆÉË ÆÕÎËÃÉÉ × ÐÒÉÍÅÒÅ 2 §16).
   ðÒÉÍÅÒ 4. îÁÊÔÉ ËÒÉÔÉÞÅÓËÉÅ ÔÏÞËÉ ×ÔÏÒÏÇÏ ÒÏÄÁ ÆÕÎËÃÉÉ y = x4.
   òÅÛÅÎÉÅ. ÷ÙÞÉÓÌÑÅÍ ×ÔÏÒÕÀ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ ÆÕÎËÃÉÉ y = x4 : y 00 = 12x2.
ðÒÉÒÁ×ÎÉ×ÁÅÍ ×ÔÏÒÕÀ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ ÎÕÌÀ É ÎÁÈÏÄÉÍ, ÞÔÏ x = 0 ¡ ËÒÉÔÉ-
ÞÅÓËÁÑ ÔÏÞËÁ ×ÔÏÒÏÇÏ ÒÏÄÁ. ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÔÏÞËÁ x = 0 ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÏÞËÏÊ
ÐÅÒÅÇÉÂÁ ÆÕÎËÃÉÉ y = x4 (ÓÍ. ÇÒÁÆÉË ÆÕÎËÃÉÉ × ÐÒÉÍÅÒÅ 3 §16).
   éÚ ÐÒÅÄÙÄÕÝÉÈ ÐÒÉÍÅÒÏ× ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ËÒÉÔÉÞÅÓËÁÑ ÔÏÞËÁ ×ÔÏÒÏÇÏ ÒÏÄÁ
ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÔÏÞËÏÊ ÐÅÒÅÇÉÂÁ, Á ÍÏÖÅÔ É ÎÅ ÂÙÔØ. üÔÏÔ ×ÏÐÒÏÓ ÒÅÛÁÅÔÓÑ Ó
ÐÏÍÏÝØÀ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÙÈ ÐÒÉÚÎÁËÏ× ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ ÔÏÞËÉ ÐÅÒÅÇÉÂÁ.

17.4. äÏÓÔÁÔÏÞÎÙÊ ÐÒÉÚÎÁË ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ ÔÏÞËÉ ÐÅÒÅÇÉÂÁ

      ðÕÓÔØ ÆÕÎËÃÉÑ f (x) ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÁ É ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÁ × ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ
ÔÏÞËÉ x0, ×ËÌÀÞÁÑ ÓÁÍÕ ÔÏÞËÕ. ðÕÓÔØ, ÄÁÌÅÅ, ×ÔÏÒÁÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ × ÜÔÏÊ
ÔÏÞËÅ ÒÁ×ÎÁ ÎÕÌÀ ÉÌÉ ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ. ôÏÇÄÁ, ÅÓÌÉ f 00 (x) < 0 ÐÒÉ x < x0 É
f 00 (x) > 0 ÐÒÉ x > x0 ÉÌÉ f 00(x) > 0 ÐÒÉ x < x0 É f 00(x) < 0 ÐÒÉ x > x0, ÔÏ
ÔÏÞËÁ M0 (x0; f (x0)) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÏÞËÏÊ ÐÅÒÅÇÉÂÁ ÆÕÎËÃÉÉ y = f (x).
      ðÒÉÍÅÒ 5. îÁÊÔÉ ÔÏÞËÉ ÐÅÒÅÇÉÂÁ ÆÕÎËÃÉÉ y = x3 − 3x2.
      òÅÛÅÎÉÅ. îÁÈÏÄÉÍ ×ÔÏÒÕÀ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ ÆÕÎËÃÉÀ: y 00 (x) = 6x. éÚ ÕÒÁ×-
ÎÅÎÉÑ 6x = 0 ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÏÄÎÕ ËÒÉÔÉÞÅÓËÕÀ ÔÏÞËÕ ×ÔÏÒÏÇÏ ÒÏÄÁ: x = 0. éÓÓÌÅ-
ÄÕÅÍ ÚÎÁË y 00 (x) × ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÜÔÏÊ ÔÏÞËÉ. óÌÅ×Á ÏÔ ÔÏÞËÉ x = 0 ×ÙÐÏÌÎÅÎÏ
y 00 (x) < 0 (×ÙÐÕËÌÏÓÔØ ÇÒÁÆÉËÁ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÁ ××ÅÒÈ), Á ÓÐÒÁ×Á ¡ y 00 (x) > 0
(×ÙÐÕËÌÏÓÔØ ÇÒÁÆÉËÁ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÁ ×ÎÉÚ), ÔÏ ÅÓÔØ ÔÏÞËÁ x = 0 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÏÞ-
ËÏÊ ÐÅÒÅÇÉÂÁ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ (ÓÍ. ÒÉÓÕÎÏË × ÐÒÉÍÅÒÅ 4 §16).
                                                          1
      ðÒÉÍÅÒ 6. îÁÊÔÉ ÔÏÞËÉ ÐÅÒÅÇÉÂÁ ÆÕÎËÃÉÉ y = x 3 .