Сборник задач по высшей математике. Часть II. Пределы. Производные. Графики функций. Самохин А.В - 134 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

134 çÌÁ×Á IV. ðÏÓÔÒÏÅÎÉÅ ÇÒÁÆÉËÏ× ÆÕÎËÃÉÊ
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÏÞËÏÊ ÐÅÒÅÇÉÂÁ, ÔÁË ËÁË ×ÔÏÒÁÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ÎÅ ÍÅÎÑÅÔ ÚÎÁË ÐÒÉ
ÐÅÒÅÈÏÄÅ ÞÅÒÅÚ ÜÔÕ ÔÏÞËÕ (y
00
(x) < 0 É ÓÌÅ×Á É ÓÐÒÁ×Á ÏÔ ÔÏÞËÉ x = 0).
17.5. äÏÓÔÁÔÏÞÎÙÊ ÐÒÉÚÎÁË ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ ÔÏÞËÉ ÐÅÒÅÇÉÂÁ (Ó ÐÏ-
ÍÏÝØÀ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÈ ×ÙÓÛÅÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ)
ðÕÓÔØ n ¡ ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ É ÐÕÓÔØ ÆÕÎËÃÉÑ y = f(x) ÉÍÅ-
ÅÔ × ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÔÏÞËÉ x
0
ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ ÐÏÒÑÄËÁ n −1, Á × ÓÁÍÏÊ
ÔÏÞËÅ x
0
¡ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ n-ÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ. ðÕÓÔØ × ÔÏÞËÅ x
0
×ÙÐÏÌÎÑÀÔÓÑ ÓÌÅ-
ÄÕÀÝÉÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ:
f
00
(x
0
) = . . . = f
(n−1)
(x
0
) = 0, f
(n)
(x
0
) 6= 0.
ôÏÇÄÁ:
1) ÅÓÌÉ n ¡ ÎÅÞ¾ÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ, ÔÏ ÔÏÞËÁ x
0
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÏÞËÏÊ ÐÅÒÅÇÉÂÁ ÆÕÎË-
ÃÉÉ y = f(x);
2) ÅÓÌÉ n ¡ Þ¾ÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ, ÔÏ ÔÏÞËÁ x
0
ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÏÞËÏÊ ÐÅÒÅÇÉÂÁ ÆÕÎË-
ÃÉÉ y = f(x).
ðÒÉÍÅÒ 8. îÁÊÔÉ ÔÏÞËÉ ÐÅÒÅÇÉÂÁ ÆÕÎËÃÉÉ y = x
3
.
òÅÛÅÎÉÅ. îÁÈÏÄÉÍ: y
00
(x) = 6x, ÏÔÓÀÄÁ, ×ÏÚÍÏÖÎÁÑ ÔÏÞËÁ ÐÅÒÅÇÉÂÁ ¡
x = 0 (ÓÍ. ÐÒÉÍÅÒ 3). äÁÌÅÅ, y
000
(x) = y
000
(0) = 6 6= 0.
éÔÁË, ×ÔÏÒÁÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÉ × ÔÏÞËÅ x = 0 ÒÁ×ÎÁ ÎÕÌÀ, Á ÔÒÅ-
ÔØÑ ¡ ÎÅ ÒÁ×ÎÁ ÎÕÌÀ, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, x = 0 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÏÞËÏÊ ÐÅÒÅÇÉÂÁ (3 ¡
ÎÅÞ¾ÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ).
ðÒÉÍÅÒ 9. îÁÊÔÉ ÔÏÞËÉ ÐÅÒÅÇÉÂÁ ÆÕÎËÃÉÉ y = x
4
.
òÅÛÅÎÉÅ. îÁÈÏÄÉÍ: y
00
(x) = 12x
2
, ÏÔÓÀÄÁ, ×ÏÚÍÏÖÎÁÑ ÔÏÞËÁ ÐÅÒÅÇÉÂÁ ¡
x = 0 (ÓÍ. ÐÒÉÍÅÒ 4). äÁÌÅÅ,
y
000
(x) = 24x, y
000
(0) = 0; y
(4)
(x) = y
(4)
(0) = 24 6= 0.
éÔÁË, ×ÔÏÒÁÑ É ÔÒÅÔØÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ ÆÕÎËÃÉÉ × ÔÏÞËÅ x = 0 ÒÁ×ÎÙ ÎÕÌÀ, Á
ÞÅÔ×¾ÒÔÁÑ ¡ ÎÅ ÒÁ×ÎÁ ÎÕÌÀ, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, x = 0 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÏÞËÏÊ ÐÅÒÅÇÉÂÁ
(4 ¡ Þ¾ÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ).
17.6. îÁÈÏÖÄÅÎÉÅ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÏ× ×ÙÐÕËÌÏÓÔÉ É ÔÏÞÅË ÐÅÒÅÇÉÂÁ
áÌÇÏÒÉÔÍ ÐÒÉÍÅÎÅÎÉÑ ×ÔÏÒÏÊ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ ÄÌÑ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÏ×
×ÙÐÕËÌÏÓÔÉ ××ÅÒÈ É ×ÎÉÚ É ÔÏÞÅË ÐÅÒÅÇÉÂÁ ÐÏÌÎÏÓÔØÀ ÁÎÁÌÏÇÉÞÅÎ ÁÌÇÏ-
ÒÉÔÍÕ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ÜËÓÔÒÅÍÕÍÏ× É ÉÎÔÅÒ×ÁÌÏ× ÍÏÎÏÔÏÎÎÏÓÔÉ, ÔÏÌØËÏ ×ÍÅÓÔÏ
ÐÅÒ×ÏÊ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÔÓÑ ×ÔÏÒÁÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ.
1. ÷ÙÞÉÓÌÉÔØ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ f
00
(x).
134                                   çÌÁ×Á IV. ðÏÓÔÒÏÅÎÉÅ ÇÒÁÆÉËÏ× ÆÕÎËÃÉÊ

Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÏÞËÏÊ ÐÅÒÅÇÉÂÁ, ÔÁË ËÁË ×ÔÏÒÁÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ÎÅ ÍÅÎÑÅÔ ÚÎÁË ÐÒÉ
ÐÅÒÅÈÏÄÅ ÞÅÒÅÚ ÜÔÕ ÔÏÞËÕ (y 00(x) < 0 É ÓÌÅ×Á É ÓÐÒÁ×Á ÏÔ ÔÏÞËÉ x = 0).

17.5. äÏÓÔÁÔÏÞÎÙÊ ÐÒÉÚÎÁË ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ ÔÏÞËÉ ÐÅÒÅÇÉÂÁ (Ó ÐÏ-
      ÍÏÝØÀ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÈ ×ÙÓÛÅÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ)

   ðÕÓÔØ n ¡ ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ É ÐÕÓÔØ ÆÕÎËÃÉÑ y = f (x) ÉÍÅ-
ÅÔ × ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÔÏÞËÉ x0 ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ ÐÏÒÑÄËÁ n − 1, Á × ÓÁÍÏÊ
ÔÏÞËÅ x0 ¡ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ n-ÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ. ðÕÓÔØ × ÔÏÞËÅ x0 ×ÙÐÏÌÎÑÀÔÓÑ ÓÌÅ-
ÄÕÀÝÉÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ:
                 f 00(x0) = . . . = f (n−1)(x0) = 0,     f (n) (x0) 6= 0.
ôÏÇÄÁ:
   1) ÅÓÌÉ n ¡ ÎÅÞ¾ÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ, ÔÏ ÔÏÞËÁ x0 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÏÞËÏÊ ÐÅÒÅÇÉÂÁ ÆÕÎË-
ÃÉÉ y = f (x);
   2) ÅÓÌÉ n ¡ Þ¾ÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ, ÔÏ ÔÏÞËÁ x0 ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÏÞËÏÊ ÐÅÒÅÇÉÂÁ ÆÕÎË-
ÃÉÉ y = f (x).
   ðÒÉÍÅÒ 8. îÁÊÔÉ ÔÏÞËÉ ÐÅÒÅÇÉÂÁ ÆÕÎËÃÉÉ y = x3.
   òÅÛÅÎÉÅ. îÁÈÏÄÉÍ: y 00 (x) = 6x, ÏÔÓÀÄÁ, ×ÏÚÍÏÖÎÁÑ ÔÏÞËÁ ÐÅÒÅÇÉÂÁ ¡
x = 0 (ÓÍ. ÐÒÉÍÅÒ 3). äÁÌÅÅ, y 000 (x) = y 000 (0) = 6 6= 0.
   éÔÁË, ×ÔÏÒÁÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÉ × ÔÏÞËÅ x = 0 ÒÁ×ÎÁ ÎÕÌÀ, Á ÔÒÅ-
ÔØÑ ¡ ÎÅ ÒÁ×ÎÁ ÎÕÌÀ, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, x = 0 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÏÞËÏÊ ÐÅÒÅÇÉÂÁ (3 ¡
ÎÅÞ¾ÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ).
   ðÒÉÍÅÒ 9. îÁÊÔÉ ÔÏÞËÉ ÐÅÒÅÇÉÂÁ ÆÕÎËÃÉÉ y = x4.
   òÅÛÅÎÉÅ. îÁÈÏÄÉÍ: y 00 (x) = 12x2, ÏÔÓÀÄÁ, ×ÏÚÍÏÖÎÁÑ ÔÏÞËÁ ÐÅÒÅÇÉÂÁ ¡
x = 0 (ÓÍ. ÐÒÉÍÅÒ 4). äÁÌÅÅ,
           y 000 (x) = 24x,   y 000 (0) = 0;   y (4) (x) = y (4) (0) = 24 6= 0.
   éÔÁË, ×ÔÏÒÁÑ É ÔÒÅÔØÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ ÆÕÎËÃÉÉ × ÔÏÞËÅ x = 0 ÒÁ×ÎÙ ÎÕÌÀ, Á
ÞÅÔ×¾ÒÔÁÑ ¡ ÎÅ ÒÁ×ÎÁ ÎÕÌÀ, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, x = 0 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÏÞËÏÊ ÐÅÒÅÇÉÂÁ
(4 ¡ Þ¾ÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ).

17.6. îÁÈÏÖÄÅÎÉÅ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÏ× ×ÙÐÕËÌÏÓÔÉ É ÔÏÞÅË ÐÅÒÅÇÉÂÁ

   áÌÇÏÒÉÔÍ ÐÒÉÍÅÎÅÎÉÑ ×ÔÏÒÏÊ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ ÄÌÑ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÏ×
×ÙÐÕËÌÏÓÔÉ ××ÅÒÈ É ×ÎÉÚ É ÔÏÞÅË ÐÅÒÅÇÉÂÁ ÐÏÌÎÏÓÔØÀ ÁÎÁÌÏÇÉÞÅÎ ÁÌÇÏ-
ÒÉÔÍÕ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ÜËÓÔÒÅÍÕÍÏ× É ÉÎÔÅÒ×ÁÌÏ× ÍÏÎÏÔÏÎÎÏÓÔÉ, ÔÏÌØËÏ ×ÍÅÓÔÏ
ÐÅÒ×ÏÊ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÔÓÑ ×ÔÏÒÁÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ.
    1. ÷ÙÞÉÓÌÉÔØ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ f 00(x).

Страницы