Сборник задач по высшей математике. Часть II. Пределы. Производные. Графики функций. Самохин А.В - 87 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§9. ðÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ É ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÙ ×ÙÓÛÉÈ ÐÏÒÑÄËÏ× 87
áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ, ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌ d(d
2
y) ÏÔ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÁ d
2
y ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÄÉÆ-
ÆÅÒÅÎÃÉÁÌÏÍ ÔÒÅÔØÅÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ ÆÕÎËÃÉÉ f(x) É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ d
3
y. ÷ÏÏÂÝÅ,
ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌ d(d
n−1
y) ÏÔ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÁ d
n−1
y ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁ-
ÌÏÍ n-ÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ (ÉÌÉ n-Í ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÏÍ) ÆÕÎËÃÉÉ f (x) É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ
d
n
y.
äÌÑ n-ÇÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÁ ÆÕÎËÃÉÉ y(x) ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Á ÆÏÒÍÕÌÁ
d
n
y = y
(n)
(x)(dx)
n
, n = 1, 2, 3, . . .
éÚ ÐÏÓÌÅÄÎÅÊ ÆÏÒÍÕÌÙ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ n
ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï
y
(n)
(x) =
d
n
y
(dx)
n
.
úÁÍÅÞÁÎÉÅ. ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÏÓÔÉ (ÓÍ. ÐÕÎËÔ 8.3) ÏÂÌÁÄÁÅÔ ÔÏÌØ-
ËÏ ÐÅÒ×ÙÊ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌ. ÷ÔÏÒÏÊ É ÐÏÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÙ ÜÔÉÍ
Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ ÎÅ ÏÂÌÁÄÁÀÔ.
ðÒÉÍÅÒ 10. ÷ÙÞÉÓÌÉÔØ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌ d
3
y ÆÕÎËÃÉÉ y = x
4
− 3x
2
+ 4.
òÅÛÅÎÉÅ. ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÑ, ÐÏÌÕÞÁÅÍ
y
0
(x) = 4x
3
− 6x, y
00
(x) = 12x
2
− 6, y
000
(x) = 24x.
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,
d
3
y = y
000
(x)(dx)
3
= 24x(dx)
3
.
úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ
îÁÊÔÉ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ ×ÔÏÒÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ ÏÔ ÆÕÎËÃÉÉ:
529. y = e
−x
2
;
530. y = tg x;
531. y = arcsin
x
2
;
532. y =
√
1 + x
2
;
533. y = arctg
1
x
.
îÁÊÔÉ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ ÔÒÅÔØÅÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ ÏÔ ÆÕÎËÃÉÉ:
534. y = arctg
x
2
;
535. y = xe
−x
;
536. y = x
2
sin x;
537. y = x
3
2
x
.
îÁÊÔÉ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ n-ÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ ÏÔ ÆÕÎËÃÉÉ:
538. y = e
x
;
539. y = ln x;
540. y = 3
x
;
541. y = x
m
, m ¡ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÅ;
§9. ðÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ É ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÙ ×ÙÓÛÉÈ ÐÏÒÑÄËÏ×                             87

áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ, ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌ d(d2y) ÏÔ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÁ d2y ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÄÉÆ-
ÆÅÒÅÎÃÉÁÌÏÍ ÔÒÅÔØÅÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ ÆÕÎËÃÉÉ f (x) É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ d 3 y. ÷ÏÏÂÝÅ,
ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌ d(dn−1y) ÏÔ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÁ dn−1y ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁ-
ÌÏÍ n-ÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ (ÉÌÉ n-Í ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÏÍ) ÆÕÎËÃÉÉ f (x) É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ
dn y.
    äÌÑ n-ÇÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÁ ÆÕÎËÃÉÉ y(x) ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Á ÆÏÒÍÕÌÁ
                    dny = y (n) (x)(dx)n,    n = 1, 2, 3, . . .
   éÚ ÐÏÓÌÅÄÎÅÊ ÆÏÒÍÕÌÙ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ n
ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï
                                        dn y
                           y (n) (x) =       .
                                       (dx)n
   úÁÍÅÞÁÎÉÅ. ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÏÓÔÉ (ÓÍ. ÐÕÎËÔ 8.3) ÏÂÌÁÄÁÅÔ ÔÏÌØ-
ËÏ ÐÅÒ×ÙÊ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌ. ÷ÔÏÒÏÊ É ÐÏÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÙ ÜÔÉÍ
Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ ÎÅ ÏÂÌÁÄÁÀÔ.
   ðÒÉÍÅÒ 10. ÷ÙÞÉÓÌÉÔØ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌ d3y ÆÕÎËÃÉÉ y = x4 − 3x2 + 4.
   òÅÛÅÎÉÅ. ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÑ, ÐÏÌÕÞÁÅÍ
           y 0 (x) = 4x3 − 6x,   y 00 (x) = 12x2 − 6,    y 000 (x) = 24x.
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,
                       d3y = y 000 (x)(dx)3 = 24x(dx)3.

úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ

îÁÊÔÉ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ ×ÔÏÒÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ ÏÔ ÆÕÎËÃÉÉ:
                2
  529. y = e−x ;
  530. y = tg x;
  531. y = arcsin x2 ;
           √
  532. y = 1 + x2;
  533. y = arctg x1 .
îÁÊÔÉ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ ÔÒÅÔØÅÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ ÏÔ ÆÕÎËÃÉÉ:
  534. y = arctg x2 ;
  535. y = xe−x ;
  536. y = x2 sin x;
  537. y = x32x .
îÁÊÔÉ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ n-ÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ ÏÔ ÆÕÎËÃÉÉ:
  538. y = ex ;
  539. y = ln x;
  540. y = 3x ;
  541. y = xm, m ¡ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÅ;

Страницы