Сборник задач по высшей математике. Часть II. Пределы. Производные. Графики функций. Самохин А.В - 89 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§10. ðÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÉ, ÚÁÄÁÎÎÏÊ ÐÁÒÁÍÅÔÒÉÞÅÓËÉ 89
úÁÍÅÞÁÎÉÅ. éÎÄÅËÓ x Õ ÆÕÎËÃÉÉ y
0
ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÉ
y ÎÁÈÏÄÉÔÓÑ ÐÏ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ x. åÓÌÉ ÉÎÄÅËÓ Õ ÆÕÎËÃÉÉ ÎÅ ÕËÁÚÁÎ, ÔÏ ÐÒÏ-
ÉÚ×ÏÄÎÁÑ ÎÁÈÏÄÉÔÓÑ ÐÏ ÁÒÇÕÍÅÎÔÕ. ôÁË ËÁË ÆÕÎËÃÉÉ x(t) É y(t) ÚÁ×ÉÓÑÔ ÏÔ
ÐÁÒÁÍÅÔÒÁ t, ÔÏ x
0
(t) É y
0
(t) ÏÚÎÁÞÁÀÔ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ ÐÏ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ t.
ðÒÉÍÅÒ 1. îÁÊÔÉ y
0
x
(t) ÆÕÎËÃÉÉ, ÚÁÄÁÎÎÏÊ ÐÁÒÁÍÅÔÒÉÞÅÓËÉ:
x(t) = cos
4
2t, y(t) = sin
4
2t.
òÅÛÅÎÉÅ. îÁÈÏÄÉÍ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ x
0
(t) É y
0
(t):
x
0
(t) = 4 cos
3
2t · (−2 sin 2t) = −8 cos
3
2t sin 2t,
y
0
(t) = 4 sin
3
2t · (2 cos 2t) = 8 sin
3
2t cos 2t,
x
0
(t) 6= 0 ÐÒÉ t 6=
π
4
k, k ∈ Z.
÷ ÔÏÞËÁÈ, × ËÏÔÏÒÙÈ x
0
(t) 6= 0, ÉÍÅÅÍ
y
0
x
(t) =
y
0
(t)
x
0
(t)
=
8 sin
3
2t cos 2t
−8 cos
3
2t sin 2t
= −
tg
3
2t
tg 2t
= −tg
2
2t.
éÔÁË, y
0
x
(t) = −tg
2
2t.
10.2. ðÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ×ÔÏÒÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ
÷ÔÏÒÁÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÉ y (ÚÁÄÁÎÎÏÊ ÐÁÒÁÍÅÔÒÉÞÅÓËÉ) ÐÏ ÐÅÒÅÍÅÎ-
ÎÏÊ x ÎÁÈÏÄÉÔÓÑ ÐÏ ÏÄÎÏÊ ÉÚ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÆÏÒÍÕÌ:
y
00
xx
(t) = (y
0
x
(t))
0
x
=
(y
0
x
(t))
0
x
0
(t)
;
y
00
xx
(t) =
y
00
(t)x
0
(t) − x
00
(t)y
0
(t)
(x
0
(t))
3
.
úÁÍÅÞÁÎÉÅ. éÎÄÅËÓ xx Õ ÆÕÎËÃÉÉ y
00
ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÂÅÒ¾ÔÓÑ ×ÔÏÒÁÑ ÐÒÏ-
ÉÚ×ÏÄÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÉ y ÐÏ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ x. ôÁÍ, ÇÄÅ ÉÎÄÅËÓ ÎÅ ÕËÁÚÁÎ, ÐÒÏÉÚ×ÏÄ-
ÎÁÑ ÉÝÅÔÓÑ ÐÏ ÁÒÇÕÍÅÎÔÕ, × ÄÁÎÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÐÏ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ t.
ðÒÉÍÅÒ 2. îÁÊÔÉ y
0
x
(t) É y
00
xx
(t) ÆÕÎËÃÉÉ, ÚÁÄÁÎÎÏÊ ÐÁÒÁÍÅÔÒÉÞÅÓËÉ:
x(t) = 7(t − sin t), y(t) = 7(1 − cos t).
òÅÛÅÎÉÅ. îÁÈÏÄÉÍ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ x
0
(t) É y
0
(t):
x
0
(t) = 7(1 − cos t), y
0
(t) = 7 sin t,
x
0
(t) 6= 0 ÐÒÉ t 6= 2πk, k ∈ Z.
§10. ðÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÉ, ÚÁÄÁÎÎÏÊ ÐÁÒÁÍÅÔÒÉÞÅÓËÉ                           89

   úÁÍÅÞÁÎÉÅ. éÎÄÅËÓ x Õ ÆÕÎËÃÉÉ y 0 ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÉ
y ÎÁÈÏÄÉÔÓÑ ÐÏ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ x. åÓÌÉ ÉÎÄÅËÓ Õ ÆÕÎËÃÉÉ ÎÅ ÕËÁÚÁÎ, ÔÏ ÐÒÏ-
ÉÚ×ÏÄÎÁÑ ÎÁÈÏÄÉÔÓÑ ÐÏ ÁÒÇÕÍÅÎÔÕ. ôÁË ËÁË ÆÕÎËÃÉÉ x(t) É y(t) ÚÁ×ÉÓÑÔ ÏÔ
ÐÁÒÁÍÅÔÒÁ t, ÔÏ x0 (t) É y 0 (t) ÏÚÎÁÞÁÀÔ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ ÐÏ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ t.
   ðÒÉÍÅÒ 1. îÁÊÔÉ yx0 (t) ÆÕÎËÃÉÉ, ÚÁÄÁÎÎÏÊ ÐÁÒÁÍÅÔÒÉÞÅÓËÉ:
                              x(t) = cos4 2t,      y(t) = sin4 2t.
   òÅÛÅÎÉÅ. îÁÈÏÄÉÍ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ x0(t) É y 0 (t):
                   x0(t) = 4 cos3 2t · (−2 sin 2t) = −8 cos3 2t sin 2t,
                 y 0 (t) = 4 sin3 2t · (2 cos 2t) = 8 sin3 2t cos 2t,
                                                 π
                          x0(t) 6= 0 ÐÒÉ t 6= k, k ∈ Z.
                                                 4
÷ ÔÏÞËÁÈ, × ËÏÔÏÒÙÈ x0(t) 6= 0, ÉÍÅÅÍ
                         y 0 (t)   8 sin3 2t cos 2t    tg3 2t
              yx0 (t)   = 0      =        3
                                                    =−        = − tg2 2t.
                         x (t) −8 cos 2t sin 2t         tg 2t
éÔÁË, yx0 (t) = − tg2 2t.

10.2. ðÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ×ÔÏÒÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ

  ÷ÔÏÒÁÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÉ y (ÚÁÄÁÎÎÏÊ ÐÁÒÁÍÅÔÒÉÞÅÓËÉ) ÐÏ ÐÅÒÅÍÅÎ-
ÎÏÊ x ÎÁÈÏÄÉÔÓÑ ÐÏ ÏÄÎÏÊ ÉÚ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÆÏÒÍÕÌ:

                                00                 0    (yx0 (t))0
                               yxx (t) =  (yx0 (t))x = 0           ;
                                                          x (t)
                              00       y 00 (t)x0(t) − x00 (t)y 0(t)
                             yxx (t) =                               .
                                                  (x0(t))3
   úÁÍÅÞÁÎÉÅ. éÎÄÅËÓ xx Õ ÆÕÎËÃÉÉ y 00 ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÂÅÒ¾ÔÓÑ ×ÔÏÒÁÑ ÐÒÏ-
ÉÚ×ÏÄÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÉ y ÐÏ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ x. ôÁÍ, ÇÄÅ ÉÎÄÅËÓ ÎÅ ÕËÁÚÁÎ, ÐÒÏÉÚ×ÏÄ-
ÎÁÑ ÉÝÅÔÓÑ ÐÏ ÁÒÇÕÍÅÎÔÕ, × ÄÁÎÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÐÏ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ t.
   ðÒÉÍÅÒ 2. îÁÊÔÉ yx0 (t) É yxx
                              00
                                 (t) ÆÕÎËÃÉÉ, ÚÁÄÁÎÎÏÊ ÐÁÒÁÍÅÔÒÉÞÅÓËÉ:
                         x(t) = 7(t − sin t),     y(t) = 7(1 − cos t).
   òÅÛÅÎÉÅ. îÁÈÏÄÉÍ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ x0(t) É y 0 (t):
                           x0 (t) = 7(1 − cos t),      y 0 (t) = 7 sin t,
                              x0 (t) 6= 0 ÐÒÉ t 6= 2πk, k ∈ Z.

Страницы