Сборник задач по высшей математике. Часть II. Пределы. Производные. Графики функций. Самохин А.В - 91 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§11. ðÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÉ, ÚÁÄÁÎÎÏÊ ÎÅÑ×ÎÏ 91
ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ ÎÁÊÄÅÎÎÙÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ × ÆÏÒÍÕÌÕ, ÏËÏÎÞÁÔÅÌØÎÏ ÐÏÌÕÞÁÅÍ:
y
00
xx
(t) =
2 ·
−
1
1−t
−
−
1
(1−t)
2
· 2(t + 1)
−
1
1−t
3
=
=
2 ·
1
1 − t
−
1
(1 − t)
2
· 2(t + 1)
· (1 − t)
3
=
= 2(1 −t)
2
− 2(1 − t)(t + 1) = 4t
2
− 4t.
éÔÁË, y
00
xx
(t) = 4t
2
− 4t.
úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ
îÁÊÔÉ y
0
x
(t) É y
00
xx
(t) ÆÕÎËÃÉÉ, ÚÁÄÁÎÎÏÊ ÐÁÒÁÍÅÔÒÉÞÅÓËÉ:
561. x(t) = 3 cos t, y(t) = −2 sin t;
562. x(t) = t
2
, y(t) =
t
3
3
− t;
563. x(t) = e
2t
, y(t) = e
3t
;
564. x(t) = t
2
, y(t) = t
3
+ t;
565. x(t) = 4 cos
3
t, y(t) = 4 sin
3
t;
566. x(t) =
1−t
(t+1)
2
, y(t) =
t(1−t)
(t+1)
2
;
567. x(t) =
t
t
3
+1
, y(t) =
t
2
t
3
+1
.
§11. ðÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÉ, ÚÁÄÁÎÎÏÊ ÎÅÑ×ÎÏ
ðÕÓÔØ ÆÕÎËÃÉÑ y = f(x) ÚÁÄÁÎÁ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ F (x, y) = 0. üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ,
ÞÔÏ F (x, f(x)) ≡ 0 ÎÁ ÎÅËÏÔÏÒÏÍ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ (ËÏÎÅÞÎÏÍ ÉÌÉ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÍ).
ôÏÇÄÁ ÆÕÎËÃÉÑ y = f(x) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÎÅÑ×ÎÏ ÚÁÄÁÎÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÅÊ.
11.1. ðÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ
åÓÌÉ ÆÕÎËÃÉÑ y = f(x) ¡ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÅÍÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ, ÚÁÄÁÎÎÁÑ ÕÒÁ×-
ÎÅÎÉÅÍ F (x, y) = 0, ÔÏ Å¾ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ ÍÏÖÎÏ ÎÁÊÔÉ ÉÚ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
d
dx
(F (x, f (x))) = 0.
ðÒÉÍÅÒ 1. îÁÊÔÉ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ y
0
ÆÕÎËÃÉÉ y, ÚÁÄÁÎÎÏÊ ÎÅÑ×ÎÏ ÕÒÁ×ÎÅ-
ÎÉÅÍ x
2
+ 2xy − y
2
= 4x.
§11. ðÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÉ, ÚÁÄÁÎÎÏÊ ÎÅÑ×ÎÏ                                    91

ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ ÎÁÊÄÅÎÎÙÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ × ÆÏÒÍÕÌÕ, ÏËÏÎÞÁÔÅÌØÎÏ ÐÏÌÕÞÁÅÍ:

                  1
                           1
                                 
           2 · − 1−t − − (1−t)2 · 2(t + 1)
  00
 yxx (t) =                                  =
                          1 3
                             
                       − 1−t
                                                 
                         1         1
                  = 2·         −      2
                                        · 2(t + 1) · (1 − t)3 =
                       1 − t (1 − t)
                                     = 2(1 − t)2 − 2(1 − t)(t + 1) = 4t2 − 4t.
       00
éÔÁË, yxx (t) = 4t2 − 4t.


úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ

îÁÊÔÉ yx0 (t) É yxx
                 00
                    (t) ÆÕÎËÃÉÉ, ÚÁÄÁÎÎÏÊ ÐÁÒÁÍÅÔÒÉÞÅÓËÉ:
  561. x(t) = 3 cos t, y(t) = −2 sin t;
                               3
  562. x(t) = t2 , y(t) = t3 − t;
  563. x(t) = e2t , y(t) = e3t ;
  564. x(t) = t2 , y(t) = t3 + t;
  565. x(t) = 4 cos3 t, y(t) = 4 sin3 t;
                  1−t            t(1−t)
  566. x(t) = (t+1)   2 , y(t) = (t+1)2 ;

                    t                 t2
   567. x(t) =   t3 +1
                       ,   y(t) =   t3 +1
                                          .


§11. ðÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÉ, ÚÁÄÁÎÎÏÊ ÎÅÑ×ÎÏ
  ðÕÓÔØ ÆÕÎËÃÉÑ y = f (x) ÚÁÄÁÎÁ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ F (x, y) = 0. üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ,
ÞÔÏ F (x, f (x)) ≡ 0 ÎÁ ÎÅËÏÔÏÒÏÍ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ (ËÏÎÅÞÎÏÍ ÉÌÉ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÍ).
ôÏÇÄÁ ÆÕÎËÃÉÑ y = f (x) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÎÅÑ×ÎÏ ÚÁÄÁÎÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÅÊ.


11.1. ðÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ

   åÓÌÉ ÆÕÎËÃÉÑ y = f (x) ¡ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÅÍÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ, ÚÁÄÁÎÎÁÑ ÕÒÁ×-
ÎÅÎÉÅÍ F (x, y) = 0, ÔÏ Å¾ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ ÍÏÖÎÏ ÎÁÊÔÉ ÉÚ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
                                       d
                                         (F (x, f (x))) = 0.
                                      dx
  ðÒÉÍÅÒ 1. îÁÊÔÉ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ y 0 ÆÕÎËÃÉÉ y, ÚÁÄÁÎÎÏÊ ÎÅÑ×ÎÏ ÕÒÁ×ÎÅ-
ÎÉÅÍ x2 + 2xy − y 2 = 4x.

Страницы