Сборник задач по высшей математике. Часть II. Пределы. Производные. Графики функций. Самохин А.В - 92 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

92 çÌÁ×Á III. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÅ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÅ
òÅÛÅÎÉÅ. ðÕÓÔØ y = f(x) ¡ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÅÍÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÄÁÎÎÏÇÏ ÕÒÁ×-
ÎÅÎÉÑ. ôÏÇÄÁ
x
2
+ 2xf(x) − (f(x))
2
≡ 4x ÉÌÉ x
2
+ 2xf(x) − (f(x))
2
− 4x ≡ 0
ÎÁ ÎÅËÏÔÏÒÏÍ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ. ðÏÓËÏÌØËÕ ×ÓÅ ÓÌÁÇÁÅÍÙÅ × ÔÏÖÄÅÓÔ×Å ÄÉÆÆÅÒÅÎ-
ÃÉÒÕÅÍÙ, ÔÏ ÐÏÓÌÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÐÏÌÕÞÁÅÍ
2x + 2f(x) + 2xf
0
(x) −2f(x)f
0
(x) −4 ≡ 0,
ÏÔËÕÄÁ
f
0
(x) =
f(x) + x −2
f(x) − x
, f(x) 6= x.
éÔÁË, y
0
=
y+x−2
y−x
.
ðÒÉÍÅÒ 2. îÁÊÔÉ y
0
ÉÚ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ x
2
3
+ y
2
3
= 1.
òÅÛÅÎÉÅ. ðÏÄÓÔÁ×É× × ÄÁÎÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÅÍÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ
y = f(x), ÐÏÌÕÞÉÍ ÔÏÖÄÅÓÔ×Ï
x
2
3
+ (f(x))
2
3
≡ 1,
ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÑ ËÏÔÏÒÏÅ, ÉÍÅÅÍ
2
3
x
−
1
3
+
2
3
(f(x))
−
1
3
f
0
(x) ≡ 0.
ïÔÓÀÄÁ ÎÁÈÏÄÉÍ
f
0
(x) = −
3
r
f(x)
x
, x 6= 0.
éÔÁË, y
0
= −
3
p
y
x
.
11.2. ðÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ×ÔÏÒÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ
ðÒÉÍÅÒ 3. îÁÊÔÉ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ y
0
É y
00
ÆÕÎËÃÉÉ y, ÚÁÄÁÎÎÏÊ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ
x
2
+ y
2
= 5xy
3
.
òÅÛÅÎÉÅ. ðÕÓÔØ y = f (x) ¡ Ä×ÁÖÄÙ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÅÍÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÄÁÎ-
ÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ. ôÏÇÄÁ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÑ ÔÏÖÄÅÓÔ×Ï
x
2
+ (f(x))
2
≡ 5x (f(x))
3
ÐÏ x, ÐÏÌÕÞÁÅÍ
2x + 2f(x)f
0
(x) ≡ 5 (f(x))
3
+ 15xf
2
(x)f
0
(x),
ÏÔËÕÄÁ
f
0
(x) =
2x −5f
3
(x)
15xf
2
(x) −2f(x)
, ÅÓÌÉ 15xf
2
(x) −2f(x) 6= 0.
92                                          çÌÁ×Á III. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÅ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÅ

   òÅÛÅÎÉÅ. ðÕÓÔØ y = f (x) ¡ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÅÍÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÄÁÎÎÏÇÏ ÕÒÁ×-
ÎÅÎÉÑ. ôÏÇÄÁ
     x2 + 2xf (x) − (f (x))2 ≡ 4x ÉÌÉ x2 + 2xf (x) − (f (x))2 − 4x ≡ 0
ÎÁ ÎÅËÏÔÏÒÏÍ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ. ðÏÓËÏÌØËÕ ×ÓÅ ÓÌÁÇÁÅÍÙÅ × ÔÏÖÄÅÓÔ×Å ÄÉÆÆÅÒÅÎ-
ÃÉÒÕÅÍÙ, ÔÏ ÐÏÓÌÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÐÏÌÕÞÁÅÍ
                       2x + 2f (x) + 2xf 0(x) − 2f (x)f 0(x) − 4 ≡ 0,
ÏÔËÕÄÁ
                                       f (x) + x − 2
                            f 0(x) =                 , f (x) 6= x.
                                          f (x) − x
              y+x−2
éÔÁË, y 0 =    y−x .
                                                   2     2
   ðÒÉÍÅÒ 2. îÁÊÔÉ y 0 ÉÚ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ x 3 + y 3 = 1.
   òÅÛÅÎÉÅ. ðÏÄÓÔÁ×É× × ÄÁÎÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÅÍÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ
y = f (x), ÐÏÌÕÞÉÍ ÔÏÖÄÅÓÔ×Ï
                                        2           2
                                       x 3 + (f (x)) 3 ≡ 1,
ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÑ ËÏÔÏÒÏÅ, ÉÍÅÅÍ
                     2 −1 2              1
                       x 3 + (f (x))− 3 f 0 (x) ≡ 0.
                     3         3
ïÔÓÀÄÁ ÎÁÈÏÄÉÍ                     r
                                   3 f (x)
                       f 0 (x) = −         , x 6= 0.
                                       x
éÔÁË, y 0 = − 3 xy .
             p


11.2. ðÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ×ÔÏÒÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ

   ðÒÉÍÅÒ 3. îÁÊÔÉ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ y 0 É y 00 ÆÕÎËÃÉÉ y, ÚÁÄÁÎÎÏÊ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ
x2 + y 2 = 5xy 3.
   òÅÛÅÎÉÅ. ðÕÓÔØ y = f (x) ¡ Ä×ÁÖÄÙ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÅÍÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÄÁÎ-
ÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ. ôÏÇÄÁ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÑ ÔÏÖÄÅÓÔ×Ï
                                x2 + (f (x))2 ≡ 5x (f (x))3
ÐÏ x, ÐÏÌÕÞÁÅÍ
                    2x + 2f (x)f 0(x) ≡ 5 (f (x))3 + 15xf 2(x)f 0(x),
ÏÔËÕÄÁ
               0        2x − 5f 3(x)
              f (x) =                    ,       ÅÓÌÉ 15xf 2(x) − 2f (x) 6= 0.
                      15xf 2(x) − 2f (x)

Страницы