Сборник задач по высшей математике. Часть II. Пределы. Производные. Графики функций. Самохин А.В - 94 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

94 çÌÁ×Á III. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÅ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÅ
585. ax + by − xy = c;
586. x
m
y
n
= 1;
587. x
2
− y
2
= a
2
;
588. (x − α)
2
+ (y − β)
2
= R
2
;
589. arctg y = x + y;
590. x
2
+ xy + y
2
= a
2
.
§12. òÁÓËÒÙÔÉÅ ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔÅÊ. ðÒÁ×ÉÌÁ ìÏÐÉÔÁ-
ÌÑ
12.1. òÁÓËÒÙÔÉÅ ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔÅÊ ×ÉÄÁ
0
0
. ðÅÒ×ÏÅ ÐÒÁ×ÉÌÏ ìÏ-
ÐÉÔÁÌÑ
âÕÄÅÍ ÇÏ×ÏÒÉÔØ, ÞÔÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ Ä×ÕÈ ÆÕÎËÃÉÊ
f(x)
g(x)
ÐÒÉ x → a ÅÓÔØ ÎÅ-
ÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔØ ×ÉÄÁ
0
0
, ÅÓÌÉ
lim
x→a
f(x) = lim
x→a
g(x) = 0.
òÁÓËÒÙÔØ ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔØ ¡ ÚÎÁÞÉÔ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ ÐÒÅÄÅÌ lim
x→a
f(x)
g(x)
, ÅÓÌÉ
ÏÎ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ, ÉÌÉ ÕÓÔÁÎÏ×ÉÔØ, ÞÔÏ ÏÎ ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ.
óÆÏÒÍÕÌÉÒÕÅÍ ÐÅÒ×ÏÅ ÐÒÁ×ÉÌÏ ìÏÐÉÔÁÌÑ. ðÕÓÔØ ÆÕÎËÃÉÉ f(x) É g(x)
ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÙ É ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÅÍÙ × ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÔÏÞËÉ a, ÚÁ ÉÓ-
ËÌÀÞÅÎÉÅÍ, ÂÙÔØ ÍÏÖÅÔ, ÓÁÍÏÊ ÔÏÞËÉ a. ðÕÓÔØ, ÄÁÌÅÅ,
lim
x→a
f(x) = lim
x→a
g(x) = 0 É g
0
(x) 6= 0
× ÕËÁÚÁÎÎÏÊ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÔÏÞËÉ a, ÚÁ ÉÓËÌÀÞÅÎÉÅÍ, ÂÙÔØ ÍÏÖÅÔ, ÓÁÍÏÊ ÔÏÞËÉ
a. ôÏÇÄÁ, ÅÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÐÒÅÄÅÌ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÈ lim
x→a
f
0
(x)
g
0
(x)
(ËÏÎÅÞ-
ÎÙÊ ÉÌÉ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÙÊ), ÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ É ÐÒÅÄÅÌ lim
x→a
f(x)
g(x)
, ÐÒÉÞ¾Í ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Á
ÆÏÒÍÕÌÁ
lim
x→a
f(x)
g(x)
= lim
x→a
f
0
(x)
g
0
(x)
.
úÁÍÅÞÁÎÉÅ. æÏÒÍÕÌÁ (ÐÒÁ×ÉÌÏ ìÏÐÉÔÁÌÑ) ÏÓÔÁ¾ÔÓÑ ×ÅÒÎÏÊ É × ÓÌÕÞÁÅ,
ËÏÇÄÁ x → a−, x → a+, x → ∞, x → +∞ É x → −∞.
ðÒÉÍÅÒ 1.
lim
x→4
x
2
− 16
x
2
− 5x + 4
=
0
0
= lim
x→4
(x
2
− 16)
0
(x
2
− 5x + 4)
0
= lim
x→4
2x
2x − 5
=
8
3
.
94                                     çÌÁ×Á III. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÅ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÅ

     585.   ax + by − xy = c;
     586.   xmy n = 1;
     587.   x 2 − y 2 = a2 ;
     588.   (x − α)2 + (y − β)2 = R2 ;
     589.   arctg y = x + y;
     590.   x2 + xy + y 2 = a2 .


§12. òÁÓËÒÙÔÉÅ ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔÅÊ. ðÒÁ×ÉÌÁ ìÏÐÉÔÁ-
     ÌÑ
                                                        0
12.1. òÁÓËÒÙÔÉÅ ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔÅÊ ×ÉÄÁ                  0.   ðÅÒ×ÏÅ ÐÒÁ×ÉÌÏ ìÏ-
      ÐÉÔÁÌÑ
                                                             f (x)
  âÕÄÅÍ ÇÏ×ÏÒÉÔØ, ÞÔÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ Ä×ÕÈ ÆÕÎËÃÉÊ                 g(x)    ÐÒÉ x → a ÅÓÔØ ÎÅ-
ÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔØ ×ÉÄÁ 00 , ÅÓÌÉ
                               lim f (x) = lim g(x) = 0.
                               x→a         x→a

   òÁÓËÒÙÔØ ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔØ ¡ ÚÎÁÞÉÔ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ ÐÒÅÄÅÌ lim fg(x)
                                                             (x)
                                                                 , ÅÓÌÉ
                                                       x→a
ÏÎ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ, ÉÌÉ ÕÓÔÁÎÏ×ÉÔØ, ÞÔÏ ÏÎ ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ.
   óÆÏÒÍÕÌÉÒÕÅÍ ÐÅÒ×ÏÅ ÐÒÁ×ÉÌÏ ìÏÐÉÔÁÌÑ. ðÕÓÔØ ÆÕÎËÃÉÉ f (x) É g(x)
ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÙ É ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÅÍÙ × ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÔÏÞËÉ a, ÚÁ ÉÓ-
ËÌÀÞÅÎÉÅÍ, ÂÙÔØ ÍÏÖÅÔ, ÓÁÍÏÊ ÔÏÞËÉ a. ðÕÓÔØ, ÄÁÌÅÅ,
                        lim f (x) = lim g(x) = 0 É g 0 (x) 6= 0
                       x→a           x→a

× ÕËÁÚÁÎÎÏÊ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÔÏÞËÉ a, ÚÁ ÉÓËÌÀÞÅÎÉÅÍ, ÂÙÔØ ÍÏÖÅÔ, ÓÁÍÏÊ ÔÏÞËÉ
                                                               0
a. ôÏÇÄÁ, ÅÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÐÒÅÄÅÌ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÈ lim fg0(x)(x)
                                                                     (ËÏÎÅÞ-
                                                                         x→a
ÎÙÊ ÉÌÉ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÙÊ), ÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ É ÐÒÅÄÅÌ         lim fg(x)
                                                           (x)
                                                               ,     ÐÒÉÞ¾Í ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Á
                                                     x→a
ÆÏÒÍÕÌÁ
                              f (x)       f 0 (x)
                          lim       = lim 0 .
                          x→a g(x)    x→a g (x)

   úÁÍÅÞÁÎÉÅ. æÏÒÍÕÌÁ (ÐÒÁ×ÉÌÏ ìÏÐÉÔÁÌÑ) ÏÓÔÁ¾ÔÓÑ ×ÅÒÎÏÊ É × ÓÌÕÞÁÅ,
ËÏÇÄÁ x → a−, x → a+, x → ∞, x → +∞ É x → −∞.
   ðÒÉÍÅÒ 1.
              x2 − 16                (x2 − 16)0
                          
                          0                               2x    8
        lim 2          =     = lim 2            0
                                                  = lim        = .
        x→4 x − 5x + 4    0    x→4 (x − 5x + 4)     x→4 2x − 5  3

Страницы