Сборник задач по высшей математике. Часть II. Пределы. Производные. Графики функций. Самохин А.В - 96 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

96 çÌÁ×Á III. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÅ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÅ
óÆÏÒÍÕÌÉÒÕÅÍ ×ÔÏÒÏÅ ÐÒÁ×ÉÌÏ ìÏÐÉÔÁÌÑ. ðÕÓÔØ ÆÕÎËÃÉÉ f(x) É g(x)
ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÙ É ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÅÍÙ × ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÔÏÞËÉ a, ÚÁ ÉÓ-
ËÌÀÞÅÎÉÅÍ, ÂÙÔØ ÍÏÖÅÔ, ÓÁÍÏÊ ÔÏÞËÉ a. ðÕÓÔØ, ÄÁÌÅÅ,
lim
x→a
f(x) = lim
x→a
g(x) = ∞ É g
0
(x) 6= 0
× ÕËÁÚÁÎÎÏÊ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÔÏÞËÉ a, ÚÁ ÉÓËÌÀÞÅÎÉÅÍ, ÂÙÔØ ÍÏÖÅÔ, ÓÁÍÏÊ ÔÏÞËÉ
a. ôÏÇÄÁ, ÅÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÐÒÅÄÅÌ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÈ lim
x→a
f
0
(x)
g
0
(x)
(ËÏÎÅÞ-
ÎÙÊ ÉÌÉ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÙÊ), ÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ É ÐÒÅÄÅÌ lim
x→a
f(x)
g(x)
, ÐÒÉÞ¾Í ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Á
ÆÏÒÍÕÌÁ
lim
x→a
f(x)
g(x)
= lim
x→a
f
0
(x)
g
0
(x)
.
úÁÍÅÞÁÎÉÅ. ðÒÉ×ÅľÎÎÏÅ ÐÒÁ×ÉÌÏ ÒÁÓËÒÙÔÉÑ ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔÉ ×ÉÄÁ
∞
∞
ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÐÒÁ×ÉÌÕ ÒÁÓËÒÙÔÉÑ ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔÉ ×ÉÄÁ
0
0
. úÁÍÅÞÁÎÉÑ, ÏÔ-
ÎÏÓÑÝÉÅÓÑ Ë ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔÉ ×ÉÄÁ
0
0
ÏÓÔÁÀÔÓÑ × ÓÉÌÅ É ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÄÒÕÇÉÈ
ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔÅÊ.
ðÒÉÍÅÒ 6.
lim
x→∞
6x
2
− 11
5x
2
+ 4
=
h
∞
∞
i
= lim
x→∞
(6x
2
− 11)
0
(5x
2
+ 4)
0
= lim
x→∞
12x
10x
=
12
10
=
6
5
.
ðÒÉÍÅÒ 7.
lim
x→+∞
ln x
x
=
h
∞
∞
i
= lim
x→+∞
(ln x)
0
x
0
= lim
x→+∞
1/x
1
= lim
x→+∞
1
x
= 0.
ðÒÉÍÅÒ 8.
lim
x→+∞
x
100
e
x
=
h
∞
∞
i
= lim
x→+∞
x
100
0
(e
x
)
0
= lim
x→+∞
100 · x
99
e
x
=
h
∞
∞
i
=
= lim
x→+∞
100 · x
99
0
(e
x
)
0
= lim
x→+∞
100 · 99 · x
98
e
x
=
h
∞
∞
i
=
= lim
x→+∞
100 · 99 · 98 · x
97
e
x
= . . . = lim
x→+∞
100!
e
x
= 0.
12.3. òÁÓËÒÙÔÉÅ ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔÅÊ ×ÉÄÁ 0 · ∞ É ∞ − ∞
îÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔÉ ×ÉÄÁ 0·∞ É ∞−∞ ÍÏÖÎÏ Ó×ÅÓÔÉ Ë ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔÑÍ
×ÉÄÁ
0
0
É
∞
∞
.
ðÒÉÍÅÒ 9. îÁÊÔÉ lim
x→0+
x ln x.
96                                  çÌÁ×Á III. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÅ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÅ

  óÆÏÒÍÕÌÉÒÕÅÍ ×ÔÏÒÏÅ ÐÒÁ×ÉÌÏ ìÏÐÉÔÁÌÑ. ðÕÓÔØ ÆÕÎËÃÉÉ f (x) É g(x)
ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÙ É ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÅÍÙ × ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÔÏÞËÉ a, ÚÁ ÉÓ-
ËÌÀÞÅÎÉÅÍ, ÂÙÔØ ÍÏÖÅÔ, ÓÁÍÏÊ ÔÏÞËÉ a. ðÕÓÔØ, ÄÁÌÅÅ,
                     lim f (x) = lim g(x) = ∞ É g 0 (x) 6= 0
                    x→a          x→a

× ÕËÁÚÁÎÎÏÊ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÔÏÞËÉ a, ÚÁ ÉÓËÌÀÞÅÎÉÅÍ, ÂÙÔØ ÍÏÖÅÔ, ÓÁÍÏÊ ÔÏÞËÉ
                                                               0
a. ôÏÇÄÁ, ÅÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÐÒÅÄÅÌ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÈ lim fg0(x)(x)
                                                                     (ËÏÎÅÞ-
                                                                     x→a
ÎÙÊ ÉÌÉ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÙÊ), ÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ É ÐÒÅÄÅÌ          lim fg(x)
                                                            (x)
                                                                ,
                                                         ÐÒÉÞ¾Í ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Á
                                                      x→a
ÆÏÒÍÕÌÁ
                              f (x)        f 0 (x)
                          lim        = lim 0 .
                          x→a g(x)     x→a g (x)
                                                                         ∞
   úÁÍÅÞÁÎÉÅ. ðÒÉ×ÅľÎÎÏÅ ÐÒÁ×ÉÌÏ ÒÁÓËÒÙÔÉÑ ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔÉ ×ÉÄÁ ∞
ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÐÒÁ×ÉÌÕ ÒÁÓËÒÙÔÉÑ ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔÉ ×ÉÄÁ 00 . úÁÍÅÞÁÎÉÑ, ÏÔ-
ÎÏÓÑÝÉÅÓÑ Ë ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔÉ ×ÉÄÁ 00 ÏÓÔÁÀÔÓÑ × ÓÉÌÅ É ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÄÒÕÇÉÈ
ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔÅÊ.
   ðÒÉÍÅÒ 6.
            6x2 − 11 h ∞ i          (6x2 − 11)0         12x 12 6
        lim         =       =  lim               =  lim    =    = .
       x→∞ 5x2 + 4     ∞      x→∞ (5x2 + 4)0       x→∞ 10x   10 5
     ðÒÉÍÅÒ 7.
             ln x h ∞ i               (ln x)0            1/x             1
        lim      =       = lim                =    lim       =     lim     = 0.
       x→+∞ x       ∞       x→+∞         x0      x→+∞ 1          x→+∞ x

  ðÒÉÍÅÒ 8.
                                   0
      x100 h ∞ i              x100               100 · x99 h ∞ i
  lim      =      = lim                = lim                =         =
 x→+∞ ex       ∞    x→+∞ (ex )0           x→+∞       ex         ∞
                                0
                     100 · x99                100 · 99 · x98 h ∞ i
            = lim                  = lim                     =           =
               x→+∞    (ex )0          x→+∞          ex             ∞
                                        100 · 99 · 98 · x97                  100!
                           = lim                            = . . . =   lim       = 0.
                               x→+∞             ex                     x→+∞ ex


12.3. òÁÓËÒÙÔÉÅ ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔÅÊ ×ÉÄÁ 0 · ∞ É ∞ − ∞

  îÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔÉ ×ÉÄÁ 0·∞ É ∞−∞ ÍÏÖÎÏ Ó×ÅÓÔÉ Ë ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔÑÍ
          ∞
×ÉÄÁ 00 É ∞ .
  ðÒÉÍÅÒ 9. îÁÊÔÉ lim x ln x.
                          x→0+

Страницы