Сборник задач по высшей математике. Часть II. Пределы. Производные. Графики функций. Самохин А.В - 97 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§12. òÁÓËÒÙÔÉÅ ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔÅÊ. ðÒÁ×ÉÌÁ ìÏÐÉÔÁÌÑ 97
òÅÛÅÎÉÅ. éÍÅÅÍ ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔØ ×ÉÄÁ 0 · ∞. ôÁË ËÁË x ln x =
ln x
1/x
, ÔÏ
ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔØ ×ÉÄÁ
∞
∞
. ðÒÉÍÅÎÑÑ ×ÔÏÒÏÅ ÐÒÁ×ÉÌÏ ìÏÐÉÔÁÌÑ,
ÉÍÅÅÍ
lim
x→0+
x ln x = lim
x→0+
(ln x)
0
(1/x)
0
= lim
x→0+
1/x
−1/x
2
= − lim
x→0+
x = 0.
ðÒÉÍÅÒ 10.
lim
x→0+
√
x ln x = [0 ·∞] = lim
x→0+
ln x
x
−1/2
=
h
∞
∞
i
= lim
x→0+
(ln x)
0
x
−1/2
0
=
= lim
x→0+
1/x
(−1/2)x
−3/2
= −2 lim
x→0+
√
x = 0.
ðÒÉÍÅÒ 11. îÁÊÔÉ lim
x→
π
2
1
cos x
− tg x
.
òÅÛÅÎÉÅ. éÍÅÅÍ ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔØ ×ÉÄÁ ∞ − ∞. ôÁË ËÁË
1
cos x
− tg x =
1
cos x
−
sin x
cos x
=
1 − sin x
cos x
,
ÔÏ ÐÒÉ ÔÏÍ ÖÅ ÕÓÌÏ×ÉÉ x →
π
2
ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔØ ×ÉÄÁ
0
0
. ÷ÏÓÐÏÌØ-
ÚÏ×Á×ÛÉÓØ ÐÅÒ×ÙÍ ÐÒÁ×ÉÌÏÍ ìÏÐÉÔÁÌÑ, ÐÏÌÕÞÁÅÍ
lim
x→
π
2
1
cos x
− tg x
= lim
x→
π
2
1 − sin x
cos x
= lim
x→
π
2
−cos x
−sin x
= 0.
ðÒÉÍÅÒ 12.
lim
x→1
1
ln x
−
1
x − 1
= [∞ − ∞] = lim
x→1
x − 1 − ln x
(x −1) ln x
=
0
0
=
= lim
x→1
1 −
1
x
ln x + (x − 1)
1
x
= lim
x→1
x − 1
x ln x + x − 1
=
0
0
= lim
x→1
1
ln x + 1 + 1
=
1
2
.
12.4. òÁÓËÒÙÔÉÅ ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔÅÊ ×ÉÄÁ 0
0
, 1
∞
É ∞
0
îÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔÉ ×ÉÄÁ 0
0
, 1
∞
É ∞
0
ÉÍÅÀÔ ÍÅÓÔÏ ÐÒÉ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÉÉ ÆÕÎË-
ÃÉÊ ×ÉÄÁ y = f(x)
g(x)
, ÅÓÌÉ ÐÒÉ x → a ÆÕÎËÃÉÑ f(x) ÓÔÒÅÍÉÔÓÑ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎ-
ÎÏ Ë 0, 1 É ∞, Á ÆÕÎËÃÉÑ g(x) ¡ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ Ë 0, ∞ É 0.
üÔÉ ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔÉ Ó ÐÏÍÏÝØÀ ÔÏÖÄÅÓÔ×Á
f(x)
g(x)
= e
g(x) ln f(x)
Ó×ÏÄÑÔÓÑ Ë ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔÉ ×ÉÄÁ 0 · ∞.
ðÒÉÍÅÒ 13. îÁÊÔÉ lim
x→0+
x
x
.
§12. òÁÓËÒÙÔÉÅ ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔÅÊ. ðÒÁ×ÉÌÁ ìÏÐÉÔÁÌÑ                             97
                                                                         ln x
   òÅÛÅÎÉÅ. éÍÅÅÍ ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔØ ×ÉÄÁ 0 · ∞. ôÁË ËÁË x ln x = 1/x           , ÔÏ
                                     ∞
ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔØ ×ÉÄÁ ∞       . ðÒÉÍÅÎÑÑ ×ÔÏÒÏÅ ÐÒÁ×ÉÌÏ ìÏÐÉÔÁÌÑ,
ÉÍÅÅÍ
                             (ln x)0           1/x
           lim x ln x = lim          =    lim        = − lim x = 0.
          x→0+          x→0+ (1/x)0      x→0+ −1/x2      x→0+

   ðÒÉÍÅÒ 10.
       √                        ln x       h∞i         (ln x)0
   lim x ln x = [0 · ∞] = lim −1/2 =            = lim         =
  x→0+                    x→0+ x             ∞   x→0+ x−1/2 0

                                                   1/x                 √
                                      = lim                =   −2  lim  x = 0.
                                          x→0+ (−1/2)x−3/2        x→0+

   ðÒÉÍÅÒ 11. îÁÊÔÉ limπ cos1 x − tg x .
                                           
                         x→ 2
   òÅÛÅÎÉÅ. éÍÅÅÍ ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔØ ×ÉÄÁ ∞ − ∞. ôÁË ËÁË
                      1             1      sin x   1 − sin x
                         − tg x =       −        =           ,
                   cos x          cos x cos x        cos x
ÔÏ ÐÒÉ ÔÏÍ ÖÅ ÕÓÌÏ×ÉÉ x → π2 ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔØ ×ÉÄÁ 00 . ÷ÏÓÐÏÌØ-
ÚÏ×Á×ÛÉÓØ ÐÅÒ×ÙÍ ÐÒÁ×ÉÌÏÍ ìÏÐÉÔÁÌÑ, ÐÏÌÕÞÁÅÍ
                             
                    1                  1 − sin x        − cos x
           limπ         − tg x = limπ            = limπ         = 0.
           x→ 2   cos x           x→ 2   cos x     x→ 2 − sin x

   ðÒÉÍÅÒ 12.
                                                        
        1       1                         x − 1 − ln x     0
  lim       −          = [∞ − ∞] = lim                 =      =
  x→1 ln x     x−1                    x→1 (x − 1) ln x     0
               1 − x1
                                                    
                                      x−1            0              1       1
    = lim                1 = lim                =      = lim               = .
      x→1 ln x + (x − 1)     x→1 x ln x + x − 1      0    x→1 ln x + 1 + 1  2
                         x


12.4. òÁÓËÒÙÔÉÅ ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔÅÊ ×ÉÄÁ 00, 1∞ É ∞0

   îÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔÉ ×ÉÄÁ 00 , 1∞ É ∞0 ÉÍÅÀÔ ÍÅÓÔÏ ÐÒÉ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÉÉ ÆÕÎË-
ÃÉÊ ×ÉÄÁ y = f (x)g(x), ÅÓÌÉ ÐÒÉ x → a ÆÕÎËÃÉÑ f (x) ÓÔÒÅÍÉÔÓÑ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎ-
ÎÏ Ë 0, 1 É ∞, Á ÆÕÎËÃÉÑ g(x) ¡ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ Ë 0, ∞ É 0.
   üÔÉ ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔÉ Ó ÐÏÍÏÝØÀ ÔÏÖÄÅÓÔ×Á
                                f (x)g(x) = eg(x) ln f (x)
Ó×ÏÄÑÔÓÑ Ë ÎÅÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÏÓÔÉ ×ÉÄÁ 0 · ∞.
   ðÒÉÍÅÒ 13. îÁÊÔÉ lim xx .
                         x→0+

Страницы